第五章 一元函数的导数及其应用 综合练习（含解析）2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用 综合练习（含解析）2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 20:00:27 | ||
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文档简介
第五章一元函数的导数及其应用综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在R上的奇函数满足，且当时,.若函数有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若直线与曲线相切，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
5．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．， B．
C． D．
8．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
C．当时，函数与的图象有两个不同的公共点
D．当时，若不等式在时恒成立，则的取值范围是
三、填空题
13．已知直线是函数在点处的切线，则 ．
14．函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
15．已知直三棱柱的外接球半径为2，，，则三棱柱的体积的最大值为 .
16．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 ；当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为 .
四、解答题
17．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：当时，；
(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：.
18．已知
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设是函数的极值点，证明：.
19．已知函数，其中，设函数的反函数为.
(1)记函数的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：；
(2)若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围.
20．实验表明，将1kg铁从0℃加热到t℃需要的热量为Q（单位：J），它们的函数关系为．
(1)当t从10℃变到20℃时，热量Q关于温度t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？
(2)求，，并解释它们的实际意义．
21．记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
22．已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
(2)当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据已知可得关于原点和直线对称，故4为周期，结合区间解析式画出的大致图象，数形结合研究与的交点情况求参数范围.
【详解】由，故，
所以，又，且为奇函数，
所以函数关于原点和直线对称，故4为周期，
结合已知区间解析式，函数的大致图象如图所示，
直线过时，有3个交点；
直线过时，有5个交点；
直线过时，有3个交点；
直线过时，有7个交点；
由上，则，且，
所以在原点处的切线为直线，此时，有3个交点；
由图知：，故.
故选：D
2．B
【分析】根据题意，求得，可得，令，求得，进而求得切点坐标，得到的值.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由函数，可得，可得，
所以，可得，解得，
则，即切点为，
将切点代入，
可得，所以，
当时，可得.
故选：B.
3．D
【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
4．B
【分析】递推数列和数列的通项公式结合转化与化归思想即可求解.
【详解】因为，所以．
两式相减，得，则，
则，所以，故A错误．
，．
而，故B正确．
设，记，则
故，在上恒成立，
所以，故C错误．
，所以，
所以不是递增数列，故D错误．
故选：B．
5．A
【分析】将式子变形，得到与的关系，利用导函数运算求解可得.
【详解】由，
又，则，
则.
故选：A.
6．C
【分析】将函数转化为及上两点间距离的平方，求出直线与函数相切的切点，从而求出切点到的距离，得到，结合题干中得到，并求出点坐标，求出实数的值.
【详解】设点，则，
令，，
可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值，
若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为，
因为，可得，解得：，
则切点为，且切点在上，故，
点到直线的距离为，所以，
又因为有解，则，
此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上，
其中直线在点P处的垂线的斜率为，
所以直线在点P处的垂线方程为：
即点坐标满足，解得，即.
故选：C．
【点睛】方法点睛：由不等式求参数范围常用方法和思路：
1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
3.数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
7．B
【分析】根据所给定义得到方程组，再根据图像判断或构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解.
【详解】对于A:，函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，，则，
所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点，
所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误；
对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确；
对于C:在上单调递增，
若函数存在“2倍值区间”，则，
所以，解得.
所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误；
对于D：为增函数，
若存在“2倍值区间”，则，
结合及的图象知，方程无解，
故不存在“2倍值区间”，D错误；
故选：B
8．C
【分析】由题意先求出内的极大值，通过运算发现极大值成等比数列，由等比数列求和公式运算即可.
【详解】函数，求导，
当时，，时，，
当时，函数递增，时，函数递减，
故当时，取极大值，
其极大值为，
又，
∴函数的各极大值之和.
故选：C．
9．AC
【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对A，B选项，利用导数可判断单调性；对C，令，易判断仅在时取等号，可判断；对D，原不等式恒成立等价于在时恒成立，只需即可，构造函数求出最大值可判断.
【详解】对于A，由题意得，当时，，则在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，令，
利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误；
对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故，
故，即实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
13．4
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
因为直线是函数在点处的切线，
所以，解得，
所以，
故答案为：4
14．
【分析】根据函数关系式，先求出，再对原函数求导，并求出，然后利用切点处导数等于切线斜率，列点斜式方程，最后转化成一般式即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，整理得，
故答案为：.
15．
【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解棱长，求出三棱柱体积表达式，方法一：利用导数研究函数的单调性，进一步求出最值；方法二：利用基本不等式求解最值.
【详解】如图，将直三棱柱补成长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
且长方体的体对角线长为直三棱柱的外接球的直径4，
设，，则，所以，即，
所以三棱柱的体积，
其中.
方法一：由得，当时，；
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，.
方法二：，
当且仅当即取等号，所以.
故答案为：
16． /0.5
【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径，再表达出圆柱体积关于高的关系式，求导得到其单调性和最值，得到答案.
【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱，
其中分别在棱上，
要使圆柱体侧面积最大和体积最大，则需其底面圆为正四棱柱的内切圆，
连接，设圆柱的底面圆半径为，高为，
则，，连接，则点在上，
在平面内，平行，则，即，
解得，，
圆柱侧面积为，
故当时，圆柱侧面积最大，
圆柱体积，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，圆柱体体积最大，此时，
故答案为：
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）点在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入，计算出，再对进行求二阶导数，分析在时的情况即可.
（2）现根据的表达式化简，在对其求导，当导函数为零时，对应的方程在有两个不同实根，，结合二次方程根的分布化简，得到的表达式，利用换元法，转化为：，分析的单调性讨论其正负即可.
【详解】（1）由题知，，，.
，，
设，则.
单调递增，
当时，.
（2）
，
.
由题知，即在有两个不同实根
，即
，
，，
设，则，单调递减，
当时，，
，即，
又，.
【点睛】方法点睛：切线问题：可分为在某点的切线和过某点的切线两种；
“在某点”时，此点即为切点，直接代入导数求出斜率，然后用点斜式即可书写切线方程；
“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导，求斜率利用点斜式求方程即可：（2）令导函数为0，转化为则，记此方程的实数根为，且利用零点存在定理及单调性得转化为，构造函数求最值即可证明
【详解】（1）当时，，
，切点为，
所以在处的切线方程为，即
（2）证明：的定义域为，
，令，
则，记此方程的实数根为，且
记，由，
则知.
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
则是函数唯一的极值点，
，其中，
所以，记
，所以在单调递减，，
故
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题设，对、求导，根据得，化简即可证结论；
（2）问题化为与在第一象限有两个交点，研究与相切的情况求得，结合指数函数的图象性质确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，且，
若，则，
所以，得证.
（2）由、关于对称，要使与的图象有两个交点且，
只需与在第一象限有两个交点即可，而，
若与相切且切点为，则，
所以，则，结合指数函数的图象性质：
若时与在第一象限有两个交点；
若时与在第一象限无交点；
综上，.
20．(1)0.44981，意义见解析；
(2)，，意义见解析.
【分析】（1）利用平均变化率计算公式计算即可；
（2）先求出导函数，再带入求导数值即可.
【详解】（1）由题意可知t从10℃变到20℃时的平均变化率为：，
它表示铁块的温度在从10℃变到20℃的过程中，平均每增加1℃需要吸收0.44981J热量；
（2）由题意可得，
所以，
表示铁块在温度为10℃的这一时刻，每增加1℃需要吸收0.44684J热量，
表示铁块在温度为100℃的这一时刻，每增加1℃需要吸收0.5003J热量.
21．(1)
(2)．
【分析】（1）求导，即可代入求解，
（2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可.
【详解】（1）
因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．
所以，，
所以函数在上的值域为．
22．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义直接计算即可.
（2）将原问题等价转换为方程有两个不相等的实数根，从而求导研究当，函数的增减情况、最值情况即可得解.
（3）将原问题等价转换为对恒成立，即即可．
【详解】（1）因为
所以，即.
（2）由题意，，即，
所以，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
，，；
所以，即，
所以m的取值范围为.
（3）因为(x)对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立．
设，其中，
所以，
，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增．
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以．
因为，则，
由（2）得，当时，在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第一、二问比较常规，第三问的关键是在求时，要先得出，，由此即可顺利得解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在R上的奇函数满足，且当时,.若函数有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若直线与曲线相切，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
5．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．， B．
C． D．
8．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
C．当时，函数与的图象有两个不同的公共点
D．当时，若不等式在时恒成立，则的取值范围是
三、填空题
13．已知直线是函数在点处的切线，则 ．
14．函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
15．已知直三棱柱的外接球半径为2，，，则三棱柱的体积的最大值为 .
16．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 ；当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为 .
四、解答题
17．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：当时，；
(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：.
18．已知
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设是函数的极值点，证明：.
19．已知函数，其中，设函数的反函数为.
(1)记函数的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：；
(2)若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围.
20．实验表明，将1kg铁从0℃加热到t℃需要的热量为Q（单位：J），它们的函数关系为．
(1)当t从10℃变到20℃时，热量Q关于温度t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？
(2)求，，并解释它们的实际意义．
21．记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
22．已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
(2)当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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参考答案：
1．D
【分析】根据已知可得关于原点和直线对称，故4为周期，结合区间解析式画出的大致图象，数形结合研究与的交点情况求参数范围.
【详解】由，故，
所以，又，且为奇函数，
所以函数关于原点和直线对称，故4为周期，
结合已知区间解析式，函数的大致图象如图所示，
直线过时，有3个交点；
直线过时，有5个交点；
直线过时，有3个交点；
直线过时，有7个交点；
由上，则，且，
所以在原点处的切线为直线，此时，有3个交点；
由图知：，故.
故选：D
2．B
【分析】根据题意，求得，可得，令，求得，进而求得切点坐标，得到的值.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由函数，可得，可得，
所以，可得，解得，
则，即切点为，
将切点代入，
可得，所以，
当时，可得.
故选：B.
3．D
【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
4．B
【分析】递推数列和数列的通项公式结合转化与化归思想即可求解.
【详解】因为，所以．
两式相减，得，则，
则，所以，故A错误．
，．
而，故B正确．
设，记，则
故，在上恒成立，
所以，故C错误．
，所以，
所以不是递增数列，故D错误．
故选：B．
5．A
【分析】将式子变形，得到与的关系，利用导函数运算求解可得.
【详解】由，
又，则，
则.
故选：A.
6．C
【分析】将函数转化为及上两点间距离的平方，求出直线与函数相切的切点，从而求出切点到的距离，得到，结合题干中得到，并求出点坐标，求出实数的值.
【详解】设点，则，
令，，
可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值，
若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为，
因为，可得，解得：，
则切点为，且切点在上，故，
点到直线的距离为，所以，
又因为有解，则，
此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上，
其中直线在点P处的垂线的斜率为，
所以直线在点P处的垂线方程为：
即点坐标满足，解得，即.
故选：C．
【点睛】方法点睛：由不等式求参数范围常用方法和思路：
1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
3.数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
7．B
【分析】根据所给定义得到方程组，再根据图像判断或构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解.
【详解】对于A:，函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，，则，
所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点，
所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误；
对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确；
对于C:在上单调递增，
若函数存在“2倍值区间”，则，
所以，解得.
所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误；
对于D：为增函数，
若存在“2倍值区间”，则，
结合及的图象知，方程无解，
故不存在“2倍值区间”，D错误；
故选：B
8．C
【分析】由题意先求出内的极大值，通过运算发现极大值成等比数列，由等比数列求和公式运算即可.
【详解】函数，求导，
当时，，时，，
当时，函数递增，时，函数递减，
故当时，取极大值，
其极大值为，
又，
∴函数的各极大值之和.
故选：C．
9．AC
【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对A，B选项，利用导数可判断单调性；对C，令，易判断仅在时取等号，可判断；对D，原不等式恒成立等价于在时恒成立，只需即可，构造函数求出最大值可判断.
【详解】对于A，由题意得，当时，，则在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，令，
利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误；
对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故，
故，即实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
13．4
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
因为直线是函数在点处的切线，
所以，解得，
所以，
故答案为：4
14．
【分析】根据函数关系式，先求出，再对原函数求导，并求出，然后利用切点处导数等于切线斜率，列点斜式方程，最后转化成一般式即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，整理得，
故答案为：.
15．
【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解棱长，求出三棱柱体积表达式，方法一：利用导数研究函数的单调性，进一步求出最值；方法二：利用基本不等式求解最值.
【详解】如图，将直三棱柱补成长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
且长方体的体对角线长为直三棱柱的外接球的直径4，
设，，则，所以，即，
所以三棱柱的体积，
其中.
方法一：由得，当时，；
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，.
方法二：，
当且仅当即取等号，所以.
故答案为：
16． /0.5
【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径，再表达出圆柱体积关于高的关系式，求导得到其单调性和最值，得到答案.
【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱，
其中分别在棱上，
要使圆柱体侧面积最大和体积最大，则需其底面圆为正四棱柱的内切圆，
连接，设圆柱的底面圆半径为，高为，
则，，连接，则点在上，
在平面内，平行，则，即，
解得，，
圆柱侧面积为，
故当时，圆柱侧面积最大，
圆柱体积，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，圆柱体体积最大，此时，
故答案为：
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）点在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入，计算出，再对进行求二阶导数，分析在时的情况即可.
（2）现根据的表达式化简，在对其求导，当导函数为零时，对应的方程在有两个不同实根，，结合二次方程根的分布化简，得到的表达式，利用换元法，转化为：，分析的单调性讨论其正负即可.
【详解】（1）由题知，，，.
，，
设，则.
单调递增，
当时，.
（2）
，
.
由题知，即在有两个不同实根
，即
，
，，
设，则，单调递减，
当时，，
，即，
又，.
【点睛】方法点睛：切线问题：可分为在某点的切线和过某点的切线两种；
“在某点”时，此点即为切点，直接代入导数求出斜率，然后用点斜式即可书写切线方程；
“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导，求斜率利用点斜式求方程即可：（2）令导函数为0，转化为则，记此方程的实数根为，且利用零点存在定理及单调性得转化为，构造函数求最值即可证明
【详解】（1）当时，，
，切点为，
所以在处的切线方程为，即
（2）证明：的定义域为，
，令，
则，记此方程的实数根为，且
记，由，
则知.
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
则是函数唯一的极值点，
，其中，
所以，记
，所以在单调递减，，
故
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题设，对、求导，根据得，化简即可证结论；
（2）问题化为与在第一象限有两个交点，研究与相切的情况求得，结合指数函数的图象性质确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，且，
若，则，
所以，得证.
（2）由、关于对称，要使与的图象有两个交点且，
只需与在第一象限有两个交点即可，而，
若与相切且切点为，则，
所以，则，结合指数函数的图象性质：
若时与在第一象限有两个交点；
若时与在第一象限无交点；
综上，.
20．(1)0.44981，意义见解析；
(2)，，意义见解析.
【分析】（1）利用平均变化率计算公式计算即可；
（2）先求出导函数，再带入求导数值即可.
【详解】（1）由题意可知t从10℃变到20℃时的平均变化率为：，
它表示铁块的温度在从10℃变到20℃的过程中，平均每增加1℃需要吸收0.44981J热量；
（2）由题意可得，
所以，
表示铁块在温度为10℃的这一时刻，每增加1℃需要吸收0.44684J热量，
表示铁块在温度为100℃的这一时刻，每增加1℃需要吸收0.5003J热量.
21．(1)
(2)．
【分析】（1）求导，即可代入求解，
（2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可.
【详解】（1）
因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．
所以，，
所以函数在上的值域为．
22．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义直接计算即可.
（2）将原问题等价转换为方程有两个不相等的实数根，从而求导研究当，函数的增减情况、最值情况即可得解.
（3）将原问题等价转换为对恒成立，即即可．
【详解】（1）因为
所以，即.
（2）由题意，，即，
所以，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
，，；
所以，即，
所以m的取值范围为.
（3）因为(x)对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立．
设，其中，
所以，
，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增．
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以．
因为，则，
由（2）得，当时，在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第一、二问比较常规，第三问的关键是在求时，要先得出，，由此即可顺利得解.
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