浙江省金华市东阳市外国语学校2023-2024学年高二上册数学开学检测试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2023高一下·湖州期末）设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·柳州模拟）已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高二上·东阳开学考）在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·东阳开学考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
5．（2023高一下·湖州期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·东阳开学考）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·东阳开学考）“忽登最高塔，眼界穷大千，下峰照城郭，震泽浮云天.”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”习英塔.某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得飞英塔顶端的仰角，则飞英塔的高度约是（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．50米 C．55米 D．60米
8．（2023高二上·东阳开学考）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分）
9．（2023高二上·东阳开学考）某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.006
B．估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04
C．从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为
D．受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6
10．（2023高一下·湖州期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件A与C互斥 B．
C．事件B与D对立 D．事件B与C相互独立
11．（2023高一下·浙江月考）已知函数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，在有且只有3个零点
12．（2023高二上·东阳开学考）已知，方程，在区间的根分别为，以下结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高一下·湖州期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则 .
14．（2023高二上·东阳开学考）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 .
15．（2023高二上·东阳开学考）已知正数满足，则的最小值为 .
16．（2023高二上·东阳开学考）如图，已知两矩形与所在平面互相垂直，是，若将沿着直线翻折，使得点落在边上（即点），则当取最小值时，边的长是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·东阳开学考）设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若当时，且存在，使成立，求实数的取值范围.
18．（2023高二上·东阳开学考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=150°.
（1）若，求的面积；
（2）若，求.
19．（2023高二上·东阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上不单调，求的取值范围.
20．（2023高二上·东阳开学考）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.
（1）若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；
（2）求的取值范围.
21．（2023高二上·东阳开学考）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点.现将沿折起，使得点到达点的位置.
（1）若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
（2）若二面角的平面角，点在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围.
22．（2023高二上·东阳开学考）已知函数.
（1）若函数在区间的值域为，求的值；
（2）令，
①若在上恒成立，求证：；
②若对任意实数，方程恒有三个不等的实数根，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】，解得， ， .
故答案为：A
【分析】先求解一元二次不等式 ，结合集合交集概念求解 。
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
z对应的点为，在第三象限.
故答案为：C.
【分析】由复数的乘除运算化简，即可求解。
3．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，则，
由余弦定理可得，
且，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若， 则 或 相交或异面，故A错误；
对于B： 若，则 或，故B错误；
对于C： 若，， 因为没有 是否在平面内，
根据面面垂直的性质定理无法判断与平面的位置关系，故C错误；
对于D： 若，则，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知圆柱高等于底面直径，设底面半径为，
圆柱表面积为，，解得，
圆柱体积为，
由题意知该模型中球的表面积也是圆柱表面积的三分之二为，
圆柱的体积与球的体积之和为。
故答案为：C
【分析】由题意知圆柱高等于底面直径，进而通过圆柱表面积计算圆柱体积，再根据题意计算圆柱的体积与球的体积之和。
6．【答案】B
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为 ， 则，即，
所以 在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算的几何意义可得，进而结合投影向量的定义运算求解.
7．【答案】C
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
且，
在中，由正弦定理，可得，
在中，可得（米）.
故答案为：C.
【分析】在中，利用正弦定理可得，进而在中，结合正切值运算求解.
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
在中，由余弦定理可得，即，
设的外心为，连接，且，连接PH，
因为，则，
可得的外接圆半径，即，
则，
又因为，且为的中点，则，可得，
因为，可知为等边三角形，设的外接圆圆心为D，，
则，可知，
由，可得平面ABC，
设O为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，
因为，可得，
所以 该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，利用余弦定理可得，可得，的外接圆圆心和半径，结合球的性质分析求解.
9．【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意可知：各组的频率依次为，
对于A：因为，解得，故A正确；
对于B： 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为，故B错误；
对于C：评分 在内的受访人数为，设为，
评分 在内的受访人数为，设为，
随机抽取2人，则有，共10种可能，
2人评分都在只有1种，所以2人评分都在的概率为，故C正确；
对于D：因为，
设 第40百分位数为，则，解得，
所以 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数约为72.86，故D错误
故答案为：D.
【分析】对于A：根据频率和为1运算求解；对于B：根据题意利用频率估计概率；对于C：根据题意结合古典概型运算求解；对于D：根据百分位数的定义运算求解.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】用实数对，，表示事件，共有36种结果，
事件A：、、、、、
事件B：、、、、、、、、、、、、、、、、、
事件C：、、、
A、因为事件A与事件C不可能同时发生，所以事件A与C互斥 ，A正确；
B、 事件D对立事件为“奇数点没有出现过”：、、、、 、、、、，概率为，所以事件D概率为，B正确；
C、由B知C错误；
D、事件B概率为，事件C概率为，
事件BC为“ 第二次掷出的点数是偶数且两次掷出的点数之和是5”有、，概率为， 所以 即事件B与C相互独立，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据事件互斥的定义判断；
B、 利用对立事件求解 ；
C、结合B选项根据事件对立的定义判断；
D、根据相互独立事件的概率公式判断。
11．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 ， ，
A.若 ， ，将f(x)图象向左平移 个单位长度后得到 ，其图象关于原点对称，故正确；
B.若 ，且 的最小值为 ，则 ，故正确；
C. 当 时， ，若f(x)在 上单 单调递增，则 ，解得 ，故错误；
D.当 时， ，令 ，因为 ，所以 ，所以f(x) 在 有且只有3个零点，故正确；
故选： ABD
【分析】由 ，逐项判断.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
因为和互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
可知的图象关于直线对称，
可得，，
对于A：可得，故A正确；
对于B：可得，整理得 ，故B正确；
对于C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以，故C错误；
对于D：令，且在上单调递减，
且，则，
又因为，，
可知在内单调递减，且，
所以，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意分析可知：a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，结合对称性可得：，，整理即可判断AB；对于C：利用基本不等式分析判断；对于D：构建函数，根据单调性和零点存在性定理分析可得，进而利用函数，分析判断即可.
13．【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，，解得.
故答案为：2
【分析】由 知，，进而求的值。
14．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得或，
当， 为偶函数，符合题意；
当， 为奇函数，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：2.
【分析】根据幂函数的定义和性质分析判断.
15．【答案】-1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 为正数，则 为正数，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，可得，所以，
则 的最小值为-1 .
故答案为： -1 .
【分析】根据题意利用基本不等式可得，进而可得结果.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面ABCD，且平面ABCD，则，
又因为，且，所以平面AFP，
且平面AFP，则，
设，
因为，即，可得，
当且仅当时取等号，所以.
故答案为： .
【分析】根据题意利用垂直关系可证，设，整理得，利用基本不等式求最值，进而可得结果.
17．【答案】（1）解：因为的解集为，所以，解得；
（2）解：因为当时，所以
因为存在成立，即存在成立，
当时，，成立；
当时，函数图象开口向下，成立；
当时，，即，解得或，
此时或，综上，实数的取值范围为或.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解；
(2)由题意可得 ，代入可得 存在成立， 分类讨论的符号，结合存在性问题分析求解.
18．【答案】（1）解：中，，
，
∴（负值舍去），，
∴；
（2）解：，
即，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】 (1) 利用余弦定理可得 ，再利用面积公式运算求解；
(2)根据三角形角的关系结合三角恒等变换可得 ，结合角C的范围分析求解.
19．【答案】（1）解：由题图可知，的最小正周期，所以，
因为，所以，解得，
又，所以，故；
（2）解：由题可知，，
当时，，
因为在区间上不单调，所以，解得，故的取值范围为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意利用五点法求正弦型函数解析式；
(2)根据三角函数图象变换可得 ，以为整体，结合正弦函数分析求解.
20．【答案】（1）解：，
；
（2）解：直接转化
设，，则
，
∵，故的取值范围是.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据题意结合向量的线性运算求解；
(2)以为基底向量，结合数量积的运算分析求解.
21．【答案】（1）解：因为菱形的面积为，得，
又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，
故点到平面的距离为，由于的面积为，
则三棱锥的体积为；
（2）解：取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接，易证平面，故点的轨迹长度即为的周长.
由于，
且二面角的大小平面角，则易得，
所以点的轨迹长度的取值范围为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由题意可知： ，结合二面角可得， 进而可得 点到平面的距离 ，结合锥体的体积公式运算求解；
(2) 取边上靠近点的四等分点，取的中点为， 因为 平面， 可证 点的轨迹长度即为的周长，结合二面角运算求解.
22．【答案】（1）解：函数在区间单调递减，所以，即，
解得；
（2）解：①由题意可得，，若在恒成立，则在恒成立，即，，所以；
②因为有三个零点，及的函数特征，所以有一根，有两个不同的根，三根互不相同；
令，则，则要求恒成立，①，
令有两个不同的根，即有两个不同的实数根，则恒成立，即，所以或②，设方程的两根为，不妨设，，则要求
恒成立，即，即③，
由①②③可得：.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合二次函数单调性分析求解；
(2) ① 根据题意可得 ， 可知 ， 结合判别式运算求解；
② 分析可知： 有一根，有两个不同的根， 结合二次函数的零点分别运算求解.
1 / 1浙江省金华市东阳市外国语学校2023-2024学年高二上册数学开学检测试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2023高一下·湖州期末）设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】，解得， ， .
故答案为：A
【分析】先求解一元二次不等式 ，结合集合交集概念求解 。
2．（2022·柳州模拟）已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
z对应的点为，在第三象限.
故答案为：C.
【分析】由复数的乘除运算化简，即可求解。
3．（2023高二上·东阳开学考）在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，则，
由余弦定理可得，
且，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.
4．（2023高二上·东阳开学考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若， 则 或 相交或异面，故A错误；
对于B： 若，则 或，故B错误；
对于C： 若，， 因为没有 是否在平面内，
根据面面垂直的性质定理无法判断与平面的位置关系，故C错误；
对于D： 若，则，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断.
5．（2023高一下·湖州期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知圆柱高等于底面直径，设底面半径为，
圆柱表面积为，，解得，
圆柱体积为，
由题意知该模型中球的表面积也是圆柱表面积的三分之二为，
圆柱的体积与球的体积之和为。
故答案为：C
【分析】由题意知圆柱高等于底面直径，进而通过圆柱表面积计算圆柱体积，再根据题意计算圆柱的体积与球的体积之和。
6．（2023高二上·东阳开学考）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为 ， 则，即，
所以 在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算的几何意义可得，进而结合投影向量的定义运算求解.
7．（2023高二上·东阳开学考）“忽登最高塔，眼界穷大千，下峰照城郭，震泽浮云天.”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”习英塔.某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得飞英塔顶端的仰角，则飞英塔的高度约是（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．50米 C．55米 D．60米
【答案】C
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
且，
在中，由正弦定理，可得，
在中，可得（米）.
故答案为：C.
【分析】在中，利用正弦定理可得，进而在中，结合正切值运算求解.
8．（2023高二上·东阳开学考）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
在中，由余弦定理可得，即，
设的外心为，连接，且，连接PH，
因为，则，
可得的外接圆半径，即，
则，
又因为，且为的中点，则，可得，
因为，可知为等边三角形，设的外接圆圆心为D，，
则，可知，
由，可得平面ABC，
设O为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，
因为，可得，
所以 该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，利用余弦定理可得，可得，的外接圆圆心和半径，结合球的性质分析求解.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分）
9．（2023高二上·东阳开学考）某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.006
B．估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04
C．从评分在的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率为
D．受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6
【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意可知：各组的频率依次为，
对于A：因为，解得，故A正确；
对于B： 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为，故B错误；
对于C：评分 在内的受访人数为，设为，
评分 在内的受访人数为，设为，
随机抽取2人，则有，共10种可能，
2人评分都在只有1种，所以2人评分都在的概率为，故C正确；
对于D：因为，
设 第40百分位数为，则，解得，
所以 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数约为72.86，故D错误
故答案为：D.
【分析】对于A：根据频率和为1运算求解；对于B：根据题意利用频率估计概率；对于C：根据题意结合古典概型运算求解；对于D：根据百分位数的定义运算求解.
10．（2023高一下·湖州期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件A与C互斥 B．
C．事件B与D对立 D．事件B与C相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】用实数对，，表示事件，共有36种结果，
事件A：、、、、、
事件B：、、、、、、、、、、、、、、、、、
事件C：、、、
A、因为事件A与事件C不可能同时发生，所以事件A与C互斥 ，A正确；
B、 事件D对立事件为“奇数点没有出现过”：、、、、 、、、、，概率为，所以事件D概率为，B正确；
C、由B知C错误；
D、事件B概率为，事件C概率为，
事件BC为“ 第二次掷出的点数是偶数且两次掷出的点数之和是5”有、，概率为， 所以 即事件B与C相互独立，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据事件互斥的定义判断；
B、 利用对立事件求解 ；
C、结合B选项根据事件对立的定义判断；
D、根据相互独立事件的概率公式判断。
11．（2023高一下·浙江月考）已知函数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，在有且只有3个零点
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 ， ，
A.若 ， ，将f(x)图象向左平移 个单位长度后得到 ，其图象关于原点对称，故正确；
B.若 ，且 的最小值为 ，则 ，故正确；
C. 当 时， ，若f(x)在 上单 单调递增，则 ，解得 ，故错误；
D.当 时， ，令 ，因为 ，所以 ，所以f(x) 在 有且只有3个零点，故正确；
故选： ABD
【分析】由 ，逐项判断.
12．（2023高二上·东阳开学考）已知，方程，在区间的根分别为，以下结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
因为和互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
可知的图象关于直线对称，
可得，，
对于A：可得，故A正确；
对于B：可得，整理得 ，故B正确；
对于C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以，故C错误；
对于D：令，且在上单调递减，
且，则，
又因为，，
可知在内单调递减，且，
所以，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意分析可知：a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，结合对称性可得：，，整理即可判断AB；对于C：利用基本不等式分析判断；对于D：构建函数，根据单调性和零点存在性定理分析可得，进而利用函数，分析判断即可.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高一下·湖州期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则 .
【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，，解得.
故答案为：2
【分析】由 知，，进而求的值。
14．（2023高二上·东阳开学考）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得或，
当， 为偶函数，符合题意；
当， 为奇函数，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：2.
【分析】根据幂函数的定义和性质分析判断.
15．（2023高二上·东阳开学考）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】-1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 为正数，则 为正数，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，可得，所以，
则 的最小值为-1 .
故答案为： -1 .
【分析】根据题意利用基本不等式可得，进而可得结果.
16．（2023高二上·东阳开学考）如图，已知两矩形与所在平面互相垂直，是，若将沿着直线翻折，使得点落在边上（即点），则当取最小值时，边的长是 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面ABCD，且平面ABCD，则，
又因为，且，所以平面AFP，
且平面AFP，则，
设，
因为，即，可得，
当且仅当时取等号，所以.
故答案为： .
【分析】根据题意利用垂直关系可证，设，整理得，利用基本不等式求最值，进而可得结果.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·东阳开学考）设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若当时，且存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为的解集为，所以，解得；
（2）解：因为当时，所以
因为存在成立，即存在成立，
当时，，成立；
当时，函数图象开口向下，成立；
当时，，即，解得或，
此时或，综上，实数的取值范围为或.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解；
(2)由题意可得 ，代入可得 存在成立， 分类讨论的符号，结合存在性问题分析求解.
18．（2023高二上·东阳开学考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=150°.
（1）若，求的面积；
（2）若，求.
【答案】（1）解：中，，
，
∴（负值舍去），，
∴；
（2）解：，
即，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】 (1) 利用余弦定理可得 ，再利用面积公式运算求解；
(2)根据三角形角的关系结合三角恒等变换可得 ，结合角C的范围分析求解.
19．（2023高二上·东阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上不单调，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题图可知，的最小正周期，所以，
因为，所以，解得，
又，所以，故；
（2）解：由题可知，，
当时，，
因为在区间上不单调，所以，解得，故的取值范围为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意利用五点法求正弦型函数解析式；
(2)根据三角函数图象变换可得 ，以为整体，结合正弦函数分析求解.
20．（2023高二上·东阳开学考）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.
（1）若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：，
；
（2）解：直接转化
设，，则
，
∵，故的取值范围是.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据题意结合向量的线性运算求解；
(2)以为基底向量，结合数量积的运算分析求解.
21．（2023高二上·东阳开学考）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点.现将沿折起，使得点到达点的位置.
（1）若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
（2）若二面角的平面角，点在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围.
【答案】（1）解：因为菱形的面积为，得，
又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，
故点到平面的距离为，由于的面积为，
则三棱锥的体积为；
（2）解：取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接，易证平面，故点的轨迹长度即为的周长.
由于，
且二面角的大小平面角，则易得，
所以点的轨迹长度的取值范围为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由题意可知： ，结合二面角可得， 进而可得 点到平面的距离 ，结合锥体的体积公式运算求解；
(2) 取边上靠近点的四等分点，取的中点为， 因为 平面， 可证 点的轨迹长度即为的周长，结合二面角运算求解.
22．（2023高二上·东阳开学考）已知函数.
（1）若函数在区间的值域为，求的值；
（2）令，
①若在上恒成立，求证：；
②若对任意实数，方程恒有三个不等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数在区间单调递减，所以，即，
解得；
（2）解：①由题意可得，，若在恒成立，则在恒成立，即，，所以；
②因为有三个零点，及的函数特征，所以有一根，有两个不同的根，三根互不相同；
令，则，则要求恒成立，①，
令有两个不同的根，即有两个不同的实数根，则恒成立，即，所以或②，设方程的两根为，不妨设，，则要求
恒成立，即，即③，
由①②③可得：.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合二次函数单调性分析求解；
(2) ① 根据题意可得 ， 可知 ， 结合判别式运算求解；
② 分析可知： 有一根，有两个不同的根， 结合二次函数的零点分别运算求解.
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