13.4课题学习最短路径问题 同步学案（无答案） 2023—2024学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习最短路径问题 同步学案（无答案） 2023—2024学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-24 21:34:41 | ||
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文档简介
13.4最短路径问题
1．两点一线型
(1)直线异侧两点：连接，两点之间线段最短
如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小，这时点C是直线l与AB的交点．依据是两点之间线段最短．
(2)直线同侧两点：对称点，连接，交点。将军饮马问题 PA+PB最短 PA-PB最长
如图2所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小．这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点；或者先作点A关于直线l的对称点A′，则点C是直线l与A′B的交点．
例1：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
例2：A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
例3如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
例4如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
例5在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0)
例6如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P是直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
例7如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
AB B．DE C．BD D．AF
2、两线一点型：两相交线之间一点到两直线的距离：分别对称，相连
如图3，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋PN的长度之和最小．分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋PN的最小值为P′P″的值．
例8已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )
A．40° B．100° C．140° D．50°
例9如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
例10如图点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
3、两点两线型：两相交线之间两点到两直线的距离和
如图4，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的长度之和最小．分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值为P′Q′＋PQ的值．
4、造桥选址：利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题．
如图5，在互相平行的直线l1，l2上，找一条垂直于l1，l2的线段MN，使AM＋MN＋NB的长度之和最小．
过点A作AA′⊥l1且使AA′的长度等于两平行线间的距离，连接A′B，则A′B与l2的交点即为N点，作MN⊥l1于点M，则根据“两点之间线段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值为MN(两平行线间的距离)＋A′B.
例11A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( )
A B C D
例12如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
1．两点一线型
(1)直线异侧两点：连接，两点之间线段最短
如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小，这时点C是直线l与AB的交点．依据是两点之间线段最短．
(2)直线同侧两点：对称点，连接，交点。将军饮马问题 PA+PB最短 PA-PB最长
如图2所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小．这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点；或者先作点A关于直线l的对称点A′，则点C是直线l与A′B的交点．
例1：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
例2：A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
例3如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
例4如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
例5在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0)
例6如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P是直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
例7如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
AB B．DE C．BD D．AF
2、两线一点型：两相交线之间一点到两直线的距离：分别对称，相连
如图3，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋PN的长度之和最小．分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋PN的最小值为P′P″的值．
例8已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )
A．40° B．100° C．140° D．50°
例9如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
例10如图点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
3、两点两线型：两相交线之间两点到两直线的距离和
如图4，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的长度之和最小．分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值为P′Q′＋PQ的值．
4、造桥选址：利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题．
如图5，在互相平行的直线l1，l2上，找一条垂直于l1，l2的线段MN，使AM＋MN＋NB的长度之和最小．
过点A作AA′⊥l1且使AA′的长度等于两平行线间的距离，连接A′B，则A′B与l2的交点即为N点，作MN⊥l1于点M，则根据“两点之间线段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值为MN(两平行线间的距离)＋A′B.
例11A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( )
A B C D
例12如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？