湖南省长沙市弘益高级中学2023-2024学年高二上册数学入学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二上·长沙开学考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高二上·长沙开学考）从，，，，中任取个不同的数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·长沙开学考）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023高二上·长沙开学考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·盐田月考）直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
8．（2023高二上·长沙开学考）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二上·长沙开学考）关于直线，则下列结论正确的是（ ）
A．倾斜角为 B．斜率为
C．在轴上的截距为 D．在轴上的截距为
10．（2023高二上·长沙开学考）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是 B．的虚部是
C． D．
11．（2023高二上·长沙开学考）下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据，，，，，的中位数为，众数为和
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
12．（2023高二上·长沙开学考）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是平面的一个法向量
B．直线平面
C．异面直线与垂直
D．存在点、使得直线与平面所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2022高二上·崇明期末）同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为 ．
14．（2023高二上·长沙开学考）已知，则的值为 ．
15．（2023高二上·长沙开学考）已知点和点到直线的距离相等，则 ．
16．（2023高二上·长沙开学考）已知函数，，若存在个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·长沙开学考）已知的三个顶点是，，，求：
（1）边所在直线的一般方程；
（2）边的垂直平分线所在直线的方程．
18．（2023高二上·长沙开学考）已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．
19．（2023高二上·长沙开学考）中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．（2023高二上·长沙开学考）某校高三年级甲班名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，其中，且．
（1）根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；
（2）求数学成绩的第百分位数．
21．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
22．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，平面平面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，
集合，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用数轴法对集合间的并集运算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：根据复数的除法运算可得，
复数
则复数对应点为 ， 位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算即可求出对应点的坐标从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从 中任取 2 个不同的数，
有 共 10 种结果，
取出的两个数之和是 3 的倍数的情况有 共 3 种结果，
故取出的两个数之和是 3 的倍数的概率为 .
故答案为：C.
【分析】利用列举法将事件的所有可能结果列举出来， 再用古典概型公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】逻辑联结词“非”；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：根据题意，：或；：或，
可得 ，
由于 是的真子集，
所以由 可以推出 ，
不可以推出.
因此， 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出、对应的取值范围， 再根据范围大小可判断出是的真子集，从而可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，
因为，， 且，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
.
所以.
故答案为：D.
【分析】根据向量的垂直关系以及数量积的坐标表示求出，再由向量坐标的减法运算、向量的模进行运算即可得出结论.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题设，而.
故答案为：A
【分析】 根据已知求出sina，cosa，再根据正弦的倍角公式化简即可求解出答案.
7．【答案】C
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】当时 ， ，满足题意；
当时 ，直线斜率为 ，直线斜率为，由知当，解得。
故答案为：C
【分析】 由知当斜率存在时两直线斜率乘积等于-1，即，再另外分析斜率不存在时。
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为函数是 上的奇函数，
且当时， ，
所以当 时，
所以函数，
所以当 时， 为单调递增函数，
当 时， 为单调递增函数，
所以函数 在区间上单调递增.
，
即 ， ，
， .
故答案为：D.
【分析】先由函数的奇偶性求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围.
9．【答案】B,D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线， 化为斜截式可得： ，
所以直线的斜率为， 倾斜角为，且在 y 轴上的截距为，
故可判断知 A 错误， B 正确， C 错误，
令 ， 得， 所以直线在 x 轴上的截距为， 故 D 正确.
故答案为：BD.
【分析】将直线一般式转化为斜截式， 即可根据选项逐一求解.
10．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为， 所以 ， 故A正确；
复数 的虚部为 1， 故B 错误；
， 故C错误；
复数， 则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数以及共轭复数的的概念、复数的模、复数的除法运算等性质对各个选项进行验证即可得出结论.
11．【答案】A,C
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点， 故 A 正确；
将数据，，，，，从小到大排列为 2 ， 3 ， 3 ， 5 ， 9 ， 9，
所以中位数为， 众数为 3 和 9 ， 故 B 错误；
极差和标准差都能描述一组数据的离散程度， 故 C正确；
若数据的方差为 ，
则数据 的方差为 ， 故 D 错误.
故答案为：AC.
【分析】根据中位数、众数、极差、方差和标准差以及抽样调查的特点对各个选项分别判断即可得出结论.
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意得，
对于A，，
，
，
即
平面，
所以是平面的一个法向量，故A正确；
对于B，，
，平面，
所以是平面的一个法向量，
，即.
所以直线平面，故B正确；
对于C，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，因为点在线段上运动，
所以可设，所以，
是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
，
解得 符合题意， 故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用空间向量的异面直线所成角的向量求法、向量数量积的坐标运算、求平面的法向量方法以及线面角公式对各个选项进行验算即可得出结论.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数组合如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由上表知：所有可能组合有36种，其中点数相等有6种，
所以所得点数相等的概率为.
故答案为：
【分析】同时投掷两颗均匀的骰子，基本事件总数n=36种，所得点数相等的基本事件有6种，再利用古典概型的概率公式求解即可得答案.
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由 可得 ，
解得 .
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.
15．【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意得，
因为点 和点 到直线的距离相等，
， 解得 或 .
故答案为： 3 或.【分析】根据点到直线的距离公式运算即可求解.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
函数 存在 3 个零点， 等价于 与 有 3 个交点，
，
画出函数和 的图象， 如下图：
由图知， 要使函数 和有 3 个交点，
则， 即 .
故答案为：.
【分析】数形结合，将问题转化为与有3个交点，结合图象可确定临界情况，进而求得结论.
17．【答案】（1）解：由直线方程的两点式得，
直线的一般方程为；
（2）解：显然边的中点坐标为，
边所在直线的斜率为，
直线的斜率为．
直线的方程为，即．
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的两点式方程；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】(1)已知两点坐标，根据直线的两点式方程求解即可；
(2)根据中点坐标公式， 再结合直线的点斜式方程进行求解即可.
18．【答案】（1）解：根据题意，向量，，．
若，则，
则有，解可得，故；
（2）解：根据题意，，，
若向量与向量共线，则有，
解可得：．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【分析】(1)根据已知向量，，的坐标，结合向量的坐标运算法则即可求解.
(2)先求出向量与向量的坐标，再结合共线向量的性质即可.
19．【答案】（1）解：由正弦定理及，得，
，，即，
，
，，即．
（2）解：的面积为，
，解得，
由余弦定理得，，
，即，
联立，解得，
所以的周长为．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用正弦定理对进行边角互化，并结合辅助角公式可得，从而得解；
(2)结合三角形面积公式和余弦定理，解出的值，进而得解.
20．【答案】（1）解：因为，且，
所以，可得，
由频率分布直方图，可得，
所以，解得，所以、，
所以估计甲班数学成绩的平均分为：
．
（2）解：设第百分位数是，
由，
，
得，则，
解得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中，总频率等于所有小矩形面积之和=1。再结合，即可求出的值，从而求得平均数；
(2)设是第百分位数，由百分位数的概念可判断的范围，从而由题意即可得到方程，从而求解即可.
21．【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由，
得四边形是菱形，且，
因为，分别为，的中点，
则，，，
于是四边形是平行四边形，
即，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：解：由知，，平面，平面，
则平面，
于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，，平面，
得，，
而，
则，
则底边上的高，
于是的面积，
而，
由，得，
即，
解得，
所以点到平面的距离是．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)转化成求点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.
22．【答案】（1）解：证明：取中点，连结，，
因为是等边三角形，所以．
又因为，，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：由平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在中由余弦定理：，
因为，可得，解得，
可得，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面垂直的判定定理， 先证得平面， 再由线面垂直的性质定理即可得证；
(2)利用空间向量法， 求出向量 的坐标，以及求出平面的一个法向量， 再根据向量法求直线与平面的夹角公式， 即可得出结论.
1 / 1湖南省长沙市弘益高级中学2023-2024学年高二上册数学入学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，
集合，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用数轴法对集合间的并集运算即可求解.
2．（2023高二上·长沙开学考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：根据复数的除法运算可得，
复数
则复数对应点为 ， 位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算即可求出对应点的坐标从而得出结论.
3．（2023高二上·长沙开学考）从，，，，中任取个不同的数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从 中任取 2 个不同的数，
有 共 10 种结果，
取出的两个数之和是 3 的倍数的情况有 共 3 种结果，
故取出的两个数之和是 3 的倍数的概率为 .
故答案为：C.
【分析】利用列举法将事件的所有可能结果列举出来， 再用古典概型公式计算即可.
4．（2023高二上·长沙开学考）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】逻辑联结词“非”；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：根据题意，：或；：或，
可得 ，
由于 是的真子集，
所以由 可以推出 ，
不可以推出.
因此， 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出、对应的取值范围， 再根据范围大小可判断出是的真子集，从而可得出结论.
5．（2023高二上·长沙开学考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，
因为，， 且，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
.
所以.
故答案为：D.
【分析】根据向量的垂直关系以及数量积的坐标表示求出，再由向量坐标的减法运算、向量的模进行运算即可得出结论.
6．（2022·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题设，而.
故答案为：A
【分析】 根据已知求出sina，cosa，再根据正弦的倍角公式化简即可求解出答案.
7．（2023高二下·盐田月考）直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
【答案】C
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】当时 ， ，满足题意；
当时 ，直线斜率为 ，直线斜率为，由知当，解得。
故答案为：C
【分析】 由知当斜率存在时两直线斜率乘积等于-1，即，再另外分析斜率不存在时。
8．（2023高二上·长沙开学考）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为函数是 上的奇函数，
且当时， ，
所以当 时，
所以函数，
所以当 时， 为单调递增函数，
当 时， 为单调递增函数，
所以函数 在区间上单调递增.
，
即 ， ，
， .
故答案为：D.
【分析】先由函数的奇偶性求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二上·长沙开学考）关于直线，则下列结论正确的是（ ）
A．倾斜角为 B．斜率为
C．在轴上的截距为 D．在轴上的截距为
【答案】B,D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线， 化为斜截式可得： ，
所以直线的斜率为， 倾斜角为，且在 y 轴上的截距为，
故可判断知 A 错误， B 正确， C 错误，
令 ， 得， 所以直线在 x 轴上的截距为， 故 D 正确.
故答案为：BD.
【分析】将直线一般式转化为斜截式， 即可根据选项逐一求解.
10．（2023高二上·长沙开学考）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是 B．的虚部是
C． D．
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为， 所以 ， 故A正确；
复数 的虚部为 1， 故B 错误；
， 故C错误；
复数， 则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数以及共轭复数的的概念、复数的模、复数的除法运算等性质对各个选项进行验证即可得出结论.
11．（2023高二上·长沙开学考）下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据，，，，，的中位数为，众数为和
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
【答案】A,C
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点， 故 A 正确；
将数据，，，，，从小到大排列为 2 ， 3 ， 3 ， 5 ， 9 ， 9，
所以中位数为， 众数为 3 和 9 ， 故 B 错误；
极差和标准差都能描述一组数据的离散程度， 故 C正确；
若数据的方差为 ，
则数据 的方差为 ， 故 D 错误.
故答案为：AC.
【分析】根据中位数、众数、极差、方差和标准差以及抽样调查的特点对各个选项分别判断即可得出结论.
12．（2023高二上·长沙开学考）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是平面的一个法向量
B．直线平面
C．异面直线与垂直
D．存在点、使得直线与平面所成的角为
【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意得，
对于A，，
，
，
即
平面，
所以是平面的一个法向量，故A正确；
对于B，，
，平面，
所以是平面的一个法向量，
，即.
所以直线平面，故B正确；
对于C，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，因为点在线段上运动，
所以可设，所以，
是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
，
解得 符合题意， 故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用空间向量的异面直线所成角的向量求法、向量数量积的坐标运算、求平面的法向量方法以及线面角公式对各个选项进行验算即可得出结论.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2022高二上·崇明期末）同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数组合如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由上表知：所有可能组合有36种，其中点数相等有6种，
所以所得点数相等的概率为.
故答案为：
【分析】同时投掷两颗均匀的骰子，基本事件总数n=36种，所得点数相等的基本事件有6种，再利用古典概型的概率公式求解即可得答案.
14．（2023高二上·长沙开学考）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由 可得 ，
解得 .
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.
15．（2023高二上·长沙开学考）已知点和点到直线的距离相等，则 ．
【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意得，
因为点 和点 到直线的距离相等，
， 解得 或 .
故答案为： 3 或.【分析】根据点到直线的距离公式运算即可求解.
16．（2023高二上·长沙开学考）已知函数，，若存在个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
函数 存在 3 个零点， 等价于 与 有 3 个交点，
，
画出函数和 的图象， 如下图：
由图知， 要使函数 和有 3 个交点，
则， 即 .
故答案为：.
【分析】数形结合，将问题转化为与有3个交点，结合图象可确定临界情况，进而求得结论.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·长沙开学考）已知的三个顶点是，，，求：
（1）边所在直线的一般方程；
（2）边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】（1）解：由直线方程的两点式得，
直线的一般方程为；
（2）解：显然边的中点坐标为，
边所在直线的斜率为，
直线的斜率为．
直线的方程为，即．
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的两点式方程；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程
【解析】【分析】(1)已知两点坐标，根据直线的两点式方程求解即可；
(2)根据中点坐标公式， 再结合直线的点斜式方程进行求解即可.
18．（2023高二上·长沙开学考）已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．
【答案】（1）解：根据题意，向量，，．
若，则，
则有，解可得，故；
（2）解：根据题意，，，
若向量与向量共线，则有，
解可得：．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【分析】(1)根据已知向量，，的坐标，结合向量的坐标运算法则即可求解.
(2)先求出向量与向量的坐标，再结合共线向量的性质即可.
19．（2023高二上·长沙开学考）中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：由正弦定理及，得，
，，即，
，
，，即．
（2）解：的面积为，
，解得，
由余弦定理得，，
，即，
联立，解得，
所以的周长为．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用正弦定理对进行边角互化，并结合辅助角公式可得，从而得解；
(2)结合三角形面积公式和余弦定理，解出的值，进而得解.
20．（2023高二上·长沙开学考）某校高三年级甲班名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，其中，且．
（1）根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；
（2）求数学成绩的第百分位数．
【答案】（1）解：因为，且，
所以，可得，
由频率分布直方图，可得，
所以，解得，所以、，
所以估计甲班数学成绩的平均分为：
．
（2）解：设第百分位数是，
由，
，
得，则，
解得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中，总频率等于所有小矩形面积之和=1。再结合，即可求出的值，从而求得平均数；
(2)设是第百分位数，由百分位数的概念可判断的范围，从而由题意即可得到方程，从而求解即可.
21．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由，
得四边形是菱形，且，
因为，分别为，的中点，
则，，，
于是四边形是平行四边形，
即，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：解：由知，，平面，平面，
则平面，
于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，，平面，
得，，
而，
则，
则底边上的高，
于是的面积，
而，
由，得，
即，
解得，
所以点到平面的距离是．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)转化成求点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.
22．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，平面平面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）解：证明：取中点，连结，，
因为是等边三角形，所以．
又因为，，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：由平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在中由余弦定理：，
因为，可得，解得，
可得，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面垂直的判定定理， 先证得平面， 再由线面垂直的性质定理即可得证；
(2)利用空间向量法， 求出向量 的坐标，以及求出平面的一个法向量， 再根据向量法求直线与平面的夹角公式， 即可得出结论.
1 / 1
