吉林省四平市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．（2022高二上·河南月考）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.
故答案为：C．
【分析】 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标即可.
2．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
3．（2023高二上·北海期末）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故答案为：C.
【分析】求出直线与两坐标轴的交点为，，因为，所以椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，求出即可.
4．已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
5．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
6．已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
7．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的简单性质
8．如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程
10．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为
B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为
D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质
12．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）
A．
B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
三、填空题
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【知识点】椭圆的简单性质
14．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
【答案】25
【知识点】椭圆的简单性质
16．已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
四、解答应
17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.
【答案】（1）法一：由题意得直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
法二：由两点式方程可得，，
化简得.
（2）可设直线m的方程为，
由题意得，解得或，
故直线m的方程为或.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；平面内两条平行直线间的距离
18．已知点、，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，
∴圆的方程为，
∴圆与圆两圆心的距离为，
∵圆与圆有公共点，∴，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
19．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
20．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
21．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）由题知，，
所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为
（2）设，
由，得
所以，
所以
，
所以，解得，
所以存在定点，使得为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
22．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点.
【答案】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为，所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以，
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
1 / 1吉林省四平市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．（2022高二上·河南月考）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
3．（2023高二上·北海期末）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为
B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为
D．的最小值为
12．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）
A．
B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C．
D．
三、填空题
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
14．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
16．已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则 .
四、解答应
17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.
18．已知点、，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
19．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
20．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
21．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.
故答案为：C．
【分析】 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标即可.
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
3．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故答案为：C.
【分析】求出直线与两坐标轴的交点为，，因为，所以椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，求出即可.
4．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
7．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的简单性质
8．【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
9．【答案】A,C
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程
10．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
11．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质
12．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
13．【答案】.
【知识点】椭圆的简单性质
14．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
15．【答案】25
【知识点】椭圆的简单性质
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
17．【答案】（1）法一：由题意得直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
法二：由两点式方程可得，，
化简得.
（2）可设直线m的方程为，
由题意得，解得或，
故直线m的方程为或.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；平面内两条平行直线间的距离
18．【答案】（1）解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，
∴圆的方程为，
∴圆与圆两圆心的距离为，
∵圆与圆有公共点，∴，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
19．【答案】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
20．【答案】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
21．【答案】（1）由题知，，
所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为
（2）设，
由，得
所以，
所以
，
所以，解得，
所以存在定点，使得为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
22．【答案】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为，所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以，
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
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