贵池区2023～2024学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学参考答案
单项选择题
1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7. B 8.D
多项选择题
9.BCD 10.ACD 11.ACD 12.BD
填空题
4 14. 70° 15. 16. 8
解答题
17.【详解】（1）设圆的方程为
则，解之得 .......................4分
则圆的方程为
则圆的标准方程为.......................5分
（2）圆的圆心，半径
当过点的直线斜率不存在时直线方程为，与圆相切，符合题意；
当过点的直线斜率存在时直线方程可设为
则，解之得，
则，整理得
故过点的圆的切线方程为或.......................10分
18.【详解】（1）因为2，，所以椭圆的方程为，直线AB：
，所以或，
所以点的坐标为 .......................5分
（2）设，则，
因为点为上顶点，所以，
因为，所以，所以........................7分
在三角形中，,
在三角形中，,
所以，即. .......................12分
注：其它做法可酌情给分。做法不唯一。
19.【详解】（1）由题意知 ，所以，又因为，且，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以. .......................2分
，即，所以，所以，
同理，所以，即. .......................4分
（注：也可以通过计算来论证。）
又由于，所以，且，
又平面，平面，
所以平面，
又因为面，所以平面平面........................6分
（注：通过三垂线定理逆定理也判对。）
（2）由（1）知，平面，所以CP是直线BP在平面内的射影，
所以就是直线BP与平面所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得， .......................7分
又由（1）知，，，两两垂直，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由于，所以，即，
令，则，，即，
易知平面的一个法向量为， .......................10分
设二面角的大小为，可知为锐角，
所以.
故二面角的正弦值为. .......................12分
（注：也可以通过综合法来解答。）
20.【详解】(1)如图，取的中点，连接，则，
又因为平面平面，且平面平面，
平面，则平面， .......................2分
又平面，所以，
又平面，平面，所以平面．
.......................5分
(2)如图，连接，，取的中点，连接，则，
因为，
则等腰的面积为，
所以三棱锥的体积为，
因为平面，平面，则，
又因为，，平面，平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离等于，
因为，则，
又，所以， .......................9分
因为平面，平面，平面，则，，
所以，所以，
所以平面与平面夹角的平面角为，
则，
所以平面与平面夹角的正切值为． .......................12分
注：本题答案是用综合法来做。也可以采用向量法。酌情给分。
21（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以 .......................4分
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即 .......................6分
又平面平面，
所以平面，又平面，
平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l. .......................7分
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，（注：建系不唯一。）
设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得， .......................9分
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为. .......................12分
22.详解（1）圆过坐标原点且圆心在曲线上，设
由，知.
所以，解得. .......................2分
当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；
当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.
所以，所求圆的方程为. .......................5分
（2）设，，，又知，，
所以，．
显然，设，则． .......................6分
从而直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，即；
同理直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，即．
所以；
． .......................9分
消去参数整理得．①
设直线的方程为，代入，
整理得．
所以，．
代入①式，并整理得，
即，解得或．
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点
第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．
所以，直线过定点． .......................12分
注：此题第二问做法不唯一，仅供参考。其它做法酌情给分。贵池区2023～2024学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．直线：与直线：平行，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝（ ）
A． B． C．2 D．4
4．如图，在正三棱柱中，若，
则点到直线的距离为（ ）
A． B．
(
(第4题图)
)C． D．
5．已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱的中点，是棱靠近的四等分点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．已知是圆的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，三点共线
B．当时，平面
C．当时，平面
(
(第8题图)
)D．当时，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于空间一点O，下列命题中正确的是（ ）．
A． 若，则P，A，B，C四点共面
B． 若，则P，A，B，C四点共面
C． 若，则P，A，B三点共线
D． 若，则B是线段AP的中点
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，PB，A，B为切点，则直线经过点
11．已知左、右焦点分别是的椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，现有下列说法正确的有（ ）：
A．的周长为；
B．若直线的斜率为的斜率为，则；
C．若，则的最小值为；
D．若，则的最大值为．
12．如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若平面与平面的交线为，则AC//l
C．三棱柱的外接球的表面积为
(
(第12题图)
)D．当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆与圆的交点为，则弦的长为________．
14．已知点，点Q，则直线的倾斜角为 ．
15．如图，已知两个正四棱锥与的高分别
为1和2，，则异面直线AQ与BP所成角的余弦值
(
(第15题图)
)为 ．
16．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点向圆作切线，求切线方程．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，点为上顶点，直线交椭圆于点．
（1）若，，求点的坐标；
（2）若，求椭圆的离心率．
(
(第18题图)
)
19．如图，四边形与四边形是全等的矩形，．
（1）若P是棱的中点，求证：平面平面；
（2）若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的
(
(第19题图)
)正切值为，求二面角的正弦值．
20．如图，△ACD和都是边长为2的等边三角形，平面平面，
平面．
（1）证明：平面；
（2）若点E到平面的距离为，
求平面与平面夹角的正切值．
(
(第20题图)
)
21．如图，是以AB为直径的圆上异于，的点，平面平面ABC，△PAC为正三角形，，分别是上的动点．
（1）求证：；
（2）若，分别是的中点且异面直线与所成角的
正切值为，记平面与平面的交线为直线，点
为直线上动点，求直线与平面所成角的取值范围．
(
(第21题图)
)
22．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．
（1）设直线：与圆交于，两点，且，求圆的方程；
（2）设直线与（1）中所求圆交于，两点，点为直线上的动点，直线， 与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
