四川省成都市彭州市2023-2024学年上学期高三期中考试数学（理科）试题
一、单选题
1．（2023高三上·彭州期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】A∪B={1，3，4，5}， .
故答案为：A．
【分析】根据并集、补集运算求解即可.
2．（2023高三上·彭州期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】根据题意，z=-1+i， .
故答案为：A．
【分析】根据复数的几何意义确定复数z，利用共轭复数的概念和复数的运算即可求解.
3．（2023高三上·彭州期中）已知命题，不是素数，则为（ ）
A．，是素数 B．，是素数
C．，是素数 D．，是素数
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据题意，命题，不是素数，则，是素数.
故答案为：D．
【分析】根据全称命题和特称命题的关系求解即可.
4．（2023高三上·彭州期中）已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】根据题意，设等差数列的公差为d，若，即，所以d=2.
故答案为：B．
【分析】根据题意，设等差数列的公差为d，结合等差数列前n项和公式求解即可.
5．（2023高三上·彭州期中）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意 ，所以，即当且仅当x（x+1）=0，当且仅当x=0或x=-1，而“x=0或x=-1”是“x=0”的必要不充分条件，所以“”是“x=0”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】先求得的充要条件“x=0或x=-1”，然后根据必要不充分条件的定义求解即可.
6．（2023高三上·彭州期中） 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 A、由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25-2-23，A不符合题意；
B、易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，B不符合题意；
C、2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，C符合题意；
D、2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，故D正确.
7．（2023高三上·彭州期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】根据函数图象可得，解得T=π，所以，所以f（x）=2sin（2x+φ），又因为f（）=2，即2sin（2×+φ）=2，解得φ=+2kπ，k∈Z，因为＜，所以φ=，所以f（x）=2sin（2x+），所以f（）=2sin[2×（）+]=2sin（）=-1.
故答案为：D．
【分析】根据图象，结合三角函数的性质，求得f（x）=2sin（2x+），代入x=求解即可.
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
9．（2023高三上·彭州期中）已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，且O是F1F2的中点，由三角形中位线定理可得PF2⊥F1F2，由解得，则P（c，），而F1（-c，0），所以，即8ac=3c2-3a2，即3c2-8ac-3a2=0，由离心率e=，两边除以a2得3e2-8e-3=0，解得e=3或e=（舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据题意，求解P点坐标，根据直线PF1的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率即可.
10．（2023高三上·彭州期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】由f(2-x)+f(x)=0f(x)=-f(2-x)=f(x-2)，可得f(x)是一个周期为2的奇函数，当x∈(0，1］时，f(x)=-log2x，因此f()=-log2=1，f(1)=0，因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，f()=-1， f(-1)=0，且g(x)=sin(πx)的周期为T=2，且g(-1)=0，g()=-1，g(0)=0，g()=1，g(1)=0，
求F(x)=f(x)-sin(πx)的零点，即求f(x)与g(x)的交点，如图所示：
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知F(x)的零点周期为，若在区间［-1，m］上有10个零点，则第10个零点坐标为（3.5，0），第11个零点坐标为（4，0），因此3.5≤m<4.
故答案为：A．
【分析】根据题意，f(x)和sin(πx)都是周期为2的周期函数，因此可将F(x)=f(x)-sin(πx)的零点问题转换为f(x)和sin(πx)图象的交点问题，作出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
11．（2023高三上·彭州期中）已知，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】因为f(x)=ex+e2-x，f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x，f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x，所以f(1-x)=f(1+x)，函数关于x=1对称，因为f(x)=ex+e2-x，所以f'(x)=(ex)'+(e2-x)'=ex-，根据函数的单调性，f'(x)=ex-单调递增，令f'(x)=0，x=1，所以x∈(-∞，1)，函数f(x)单调递减，x∈(1，+∞)，函数f(x)单调递增，因为f(2x+1)故答案为：B．
【分析】首先确定函数关于x=1对称，利用导数研究函数的单调性，然后根据函数的单调性求解即可.
12．（2023高三上·彭州期中）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】因为x1∈[0，]，所以sinx1∈[0，1]，f（x1）∈[2，5]，因为都存在x2∈[0，]，使得f（x）=2f（x+θ）+2成立，所以f（x2+θ）min≤0，f（x2+θ）max≥，因为f（x）=3sinx+2，所以sin（x2+θ）min≤，sin（x2+θ）max≥，y=sinx在[，]上单调递减.
A、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）=sin＞sin=，A错误；
B、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）min=sin＜sin=＜，sin（x2+θ）max=sin＞0，B正确；
C、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）max=sin＜sin=＜，C错误；
D、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）max=sin＜sin=＜，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据题意，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，所以f（x1）∈[2，5]，将存在任意的，都存在，使得成立，转化为f（x2+θ）min≤0，f（x2+θ）max≥，又由f（x）=3sinx+2可得sin（x2+θ）min≤，sin（x2+θ）max≥，将各选项依次代入验证即可求解.
二、填空题
13．（2023高三上·彭州期中）展开式中的常数项为 ．
【答案】24
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】二项式展开式的通项为，令r=2，.
故答案为：24．
【分析】根据题意求得二项式展开式的通项，即可求解常数项.
14．（2023高三上·彭州期中）已知数列满足，且，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1.
故答案为：．
【分析】根据等比数列的定义判断直接求解通项公式即可.
15．（2023高三上·彭州期中）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得AB∥x轴，A（5，4），将y=4代入y2=4x得x=4，即B（4，4），又F（1，0），所以kBF=，故BC的方程为y=（x-1），联立y2=4x得4x2-17x+4=0，解得x=或x=4（此时C与B关于x轴对称，不符题意），所以C（，-1），所以.
故答案为：．
【分析】根据题意作图，求解B点坐标，进而求出直线BC方程，联立抛物线方程求得C点坐标，即可求解.
16．（2023高三上·彭州期中）已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：
①②③④
其中正确的是 （填序号）.
【答案】①②③④
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意可得ea+lnea=b+lnb=2，令f(x)=x+lnx，x＞0，则f'(x)=1+＞0，恒成立，所以f(x)=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，所以ea=b，所以ea+a=b+a=2，②正确，beb=ea·eb=ea+b=e2，①正确，ea+lnb=b+lnb=2，④正确，f()=+ln=+ln2＜+＜2，f()=+ln=+ln3＞+＞2，又f(x)=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，f(b)=2，故＜b＜，从而eb+lna=eb+ln(2-b)，设g(x)=ex+ln(2-x)，(＜x＜)，g'(x)=ex+，(＜x＜)，又g'(x)＞0恒成立，g(x)在（，）上单调递增，所以g(x)＞g()=e+ln(2-)＞4-2=2，③正确.
故答案为：①②③④．
【分析】构造函数f(x)=x+lnx，利用函数的单调性得到ea=b，通过变换可得到①②③④正确.
三、解答题
17．（2023高三上·彭州期中）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，即．
因为，所以．
（2）解法1：由正弦定理，所以，
可得，，
因为，，所以，
所以的面积为．
解法2：因为，且，
所以，
可得
，
所以，
因为，所以，可得，所以，
因此，所以，
因为，由余弦定理得，即，
解得，即，
所以的面积为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，即，即可求解；
（2）解法1：利用正弦定理得到，，求解得到，进而求解△ABC面积即可；
解法2：根据题意求解得到，所以，利用余弦定理列方程求解得到，进而求解△ABC面积即可.
18．（2023高三上·彭州期中）如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：
方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面平面，
又平面，
故平面平面，
平面，
平面；
方法二：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面，
，，
平面平面，
平面，
又平面，
平面平面，
平面，
平面.
方法三：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结，
，即，又，
，
又，，
平面平面，
平面．
方法四：空间向量方法
底面平面，
，
又，
故两两垂直，
以A为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图：
由知：
，，
设平面的一个法向量为
由得，取得，
平面，
平面.
（2）方法一
由（1）方法四可得：，
，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，
由几何体的空间结构知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
方法二
连结，由得：，
，
，
在中，，由余弦定理得：，
则，，
底面平面，
，
平面，
平面．
又平面，，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；平面的法向量；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）方法一、方法二，构造并证明面面平行，利用面面平行的性质定理证明结论；
方法三，连结延长交的延长线于，连结，证明，利用线面平行的判定证明结论；
方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.
（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求解；
方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求解.
19．（2023高三上·彭州期中）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.072
【答案】（1）由直方图可得A学科良好的人数为，
所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设：A学科良好与B学科良好无关，
，
所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．
（2）AB学科均良好的概率，
X的可能取值为0，1，2，3，且．
所以，，
，．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；概率分布列
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得A学科良好人数，进而可得2x2列联表，根据公式计算得出的值，比较即可根据独立性检验求解；
（2）根据（1）中得出AB学科均良好的概率，可知，然后计算得出X取不同值的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可.
20．（2023高三上·彭州期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【答案】（1）由题意知，
又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得（*）
由消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
.
方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；
（2）设直线方程，利用韦达定理求解直线方程，方法一：求出弦长及三角形的高即可求解面积，方法二：利用面积分割法求解面积.
21．（2023高三上·彭州期中）已知函数，其中．
（1）若，证明：；
（2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明：若，则，且，则，
令，得．
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故．
（2），．
当时，易得，所以由（1）可得，
若，则，
所以在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾．
若，令，则，
又令，则对恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
因为，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，单调递减．
又，所以
在上，，故单调递增；
在上，，故单调递减．
所以为函数的极大值点，满足题意．
综上，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，得到函数的最值，即可证明；
（2）求解函数g（x）的导数，分类讨论确定函数的单调性，验证极值后即可得到a的取值范围.
22．（2023高三上·彭州期中）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.
【答案】（1）曲线，
所以曲线的极坐标方程为：，
曲线的参数方程为
所以曲线的普通方程为：，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为，
射线与曲线分别交于两点，联立解得：
点的极坐标为，点的极坐标为，
.
【知识点】极坐标系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据曲线C1的普通方程求解极坐标方程，根据曲线C2的参数方程求得普通方程进而求解极坐标方程；
（2）联立射线与曲线C1、C2方程，求解A、B点的极坐标，即可求解的长度.
23．（2023高三上·彭州期中）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）方法一：当时，，
①，无解；
②，解得；
③，解得；
综上：原不等式的解集为；
方法二：原不等式等价于：，
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到-2所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，
又的解为，
原不等式的解集为；
（2）当时，，
原不等式等价于：，即，则，
，故，解得，
的取值范围为.
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）方法一，利用绝对值的含义，分类讨论解不等式，即x≤2，-2＜x≤0，x＞0，最后求并集即可；方法二，利用绝对值的几何意义解绝对值不等式即可；
（2）将绝对值不等式恒成立问题转化为-（x+3）＜ax＜x+3，利用一次不等式恒成立法则列不等式关系求解即可.
1 / 1四川省成都市彭州市2023-2024学年上学期高三期中考试数学（理科）试题
一、单选题
1．（2023高三上·彭州期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·彭州期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·彭州期中）已知命题，不是素数，则为（ ）
A．，是素数 B．，是素数
C．，是素数 D．，是素数
4．（2023高三上·彭州期中）已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023高三上·彭州期中）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023高三上·彭州期中） 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
7．（2023高三上·彭州期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
9．（2023高三上·彭州期中）已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．（2023高三上·彭州期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三上·彭州期中）已知，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高三上·彭州期中）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023高三上·彭州期中）展开式中的常数项为 ．
14．（2023高三上·彭州期中）已知数列满足，且，则 .
15．（2023高三上·彭州期中）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
16．（2023高三上·彭州期中）已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：
①②③④
其中正确的是 （填序号）.
三、解答题
17．（2023高三上·彭州期中）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
18．（2023高三上·彭州期中）如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（2023高三上·彭州期中）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.072
20．（2023高三上·彭州期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
21．（2023高三上·彭州期中）已知函数，其中．
（1）若，证明：；
（2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．
22．（2023高三上·彭州期中）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.
23．（2023高三上·彭州期中）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】A∪B={1，3，4，5}， .
故答案为：A．
【分析】根据并集、补集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】根据题意，z=-1+i， .
故答案为：A．
【分析】根据复数的几何意义确定复数z，利用共轭复数的概念和复数的运算即可求解.
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据题意，命题，不是素数，则，是素数.
故答案为：D．
【分析】根据全称命题和特称命题的关系求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】根据题意，设等差数列的公差为d，若，即，所以d=2.
故答案为：B．
【分析】根据题意，设等差数列的公差为d，结合等差数列前n项和公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意 ，所以，即当且仅当x（x+1）=0，当且仅当x=0或x=-1，而“x=0或x=-1”是“x=0”的必要不充分条件，所以“”是“x=0”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】先求得的充要条件“x=0或x=-1”，然后根据必要不充分条件的定义求解即可.
6．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 A、由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25-2-23，A不符合题意；
B、易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，B不符合题意；
C、2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，C符合题意；
D、2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，故D正确.
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】根据函数图象可得，解得T=π，所以，所以f（x）=2sin（2x+φ），又因为f（）=2，即2sin（2×+φ）=2，解得φ=+2kπ，k∈Z，因为＜，所以φ=，所以f（x）=2sin（2x+），所以f（）=2sin[2×（）+]=2sin（）=-1.
故答案为：D．
【分析】根据图象，结合三角函数的性质，求得f（x）=2sin（2x+），代入x=求解即可.
8．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
9．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，且O是F1F2的中点，由三角形中位线定理可得PF2⊥F1F2，由解得，则P（c，），而F1（-c，0），所以，即8ac=3c2-3a2，即3c2-8ac-3a2=0，由离心率e=，两边除以a2得3e2-8e-3=0，解得e=3或e=（舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据题意，求解P点坐标，根据直线PF1的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率即可.
10．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】由f(2-x)+f(x)=0f(x)=-f(2-x)=f(x-2)，可得f(x)是一个周期为2的奇函数，当x∈(0，1］时，f(x)=-log2x，因此f()=-log2=1，f(1)=0，因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，f()=-1， f(-1)=0，且g(x)=sin(πx)的周期为T=2，且g(-1)=0，g()=-1，g(0)=0，g()=1，g(1)=0，
求F(x)=f(x)-sin(πx)的零点，即求f(x)与g(x)的交点，如图所示：
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知F(x)的零点周期为，若在区间［-1，m］上有10个零点，则第10个零点坐标为（3.5，0），第11个零点坐标为（4，0），因此3.5≤m<4.
故答案为：A．
【分析】根据题意，f(x)和sin(πx)都是周期为2的周期函数，因此可将F(x)=f(x)-sin(πx)的零点问题转换为f(x)和sin(πx)图象的交点问题，作出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
11．【答案】B
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】因为f(x)=ex+e2-x，f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x，f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x，所以f(1-x)=f(1+x)，函数关于x=1对称，因为f(x)=ex+e2-x，所以f'(x)=(ex)'+(e2-x)'=ex-，根据函数的单调性，f'(x)=ex-单调递增，令f'(x)=0，x=1，所以x∈(-∞，1)，函数f(x)单调递减，x∈(1，+∞)，函数f(x)单调递增，因为f(2x+1)故答案为：B．
【分析】首先确定函数关于x=1对称，利用导数研究函数的单调性，然后根据函数的单调性求解即可.
12．【答案】B
【知识点】利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】因为x1∈[0，]，所以sinx1∈[0，1]，f（x1）∈[2，5]，因为都存在x2∈[0，]，使得f（x）=2f（x+θ）+2成立，所以f（x2+θ）min≤0，f（x2+θ）max≥，因为f（x）=3sinx+2，所以sin（x2+θ）min≤，sin（x2+θ）max≥，y=sinx在[，]上单调递减.
A、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）=sin＞sin=，A错误；
B、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）min=sin＜sin=＜，sin（x2+θ）max=sin＞0，B正确；
C、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）max=sin＜sin=＜，C错误；
D、当θ=时，x2+θ∈[，]，所以sin（x2+θ）max=sin＜sin=＜，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据题意，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，所以f（x1）∈[2，5]，将存在任意的，都存在，使得成立，转化为f（x2+θ）min≤0，f（x2+θ）max≥，又由f（x）=3sinx+2可得sin（x2+θ）min≤，sin（x2+θ）max≥，将各选项依次代入验证即可求解.
13．【答案】24
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】二项式展开式的通项为，令r=2，.
故答案为：24．
【分析】根据题意求得二项式展开式的通项，即可求解常数项.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1.
故答案为：．
【分析】根据等比数列的定义判断直接求解通项公式即可.
15．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得AB∥x轴，A（5，4），将y=4代入y2=4x得x=4，即B（4，4），又F（1，0），所以kBF=，故BC的方程为y=（x-1），联立y2=4x得4x2-17x+4=0，解得x=或x=4（此时C与B关于x轴对称，不符题意），所以C（，-1），所以.
故答案为：．
【分析】根据题意作图，求解B点坐标，进而求出直线BC方程，联立抛物线方程求得C点坐标，即可求解.
16．【答案】①②③④
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意可得ea+lnea=b+lnb=2，令f(x)=x+lnx，x＞0，则f'(x)=1+＞0，恒成立，所以f(x)=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，所以ea=b，所以ea+a=b+a=2，②正确，beb=ea·eb=ea+b=e2，①正确，ea+lnb=b+lnb=2，④正确，f()=+ln=+ln2＜+＜2，f()=+ln=+ln3＞+＞2，又f(x)=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，f(b)=2，故＜b＜，从而eb+lna=eb+ln(2-b)，设g(x)=ex+ln(2-x)，(＜x＜)，g'(x)=ex+，(＜x＜)，又g'(x)＞0恒成立，g(x)在（，）上单调递增，所以g(x)＞g()=e+ln(2-)＞4-2=2，③正确.
故答案为：①②③④．
【分析】构造函数f(x)=x+lnx，利用函数的单调性得到ea=b，通过变换可得到①②③④正确.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，即．
因为，所以．
（2）解法1：由正弦定理，所以，
可得，，
因为，，所以，
所以的面积为．
解法2：因为，且，
所以，
可得
，
所以，
因为，所以，可得，所以，
因此，所以，
因为，由余弦定理得，即，
解得，即，
所以的面积为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，即，即可求解；
（2）解法1：利用正弦定理得到，，求解得到，进而求解△ABC面积即可；
解法2：根据题意求解得到，所以，利用余弦定理列方程求解得到，进而求解△ABC面积即可.
18．【答案】（1）证明：
方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面平面，
又平面，
故平面平面，
平面，
平面；
方法二：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）
由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面，
，，
平面平面，
平面，
又平面，
平面平面，
平面，
平面.
方法三：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结，
，即，又，
，
又，，
平面平面，
平面．
方法四：空间向量方法
底面平面，
，
又，
故两两垂直，
以A为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图：
由知：
，，
设平面的一个法向量为
由得，取得，
平面，
平面.
（2）方法一
由（1）方法四可得：，
，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，
由几何体的空间结构知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
方法二
连结，由得：，
，
，
在中，，由余弦定理得：，
则，，
底面平面，
，
平面，
平面．
又平面，，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；平面的法向量；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）方法一、方法二，构造并证明面面平行，利用面面平行的性质定理证明结论；
方法三，连结延长交的延长线于，连结，证明，利用线面平行的判定证明结论；
方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.
（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求解；
方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求解.
19．【答案】（1）由直方图可得A学科良好的人数为，
所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设：A学科良好与B学科良好无关，
，
所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．
（2）AB学科均良好的概率，
X的可能取值为0，1，2，3，且．
所以，，
，．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；概率分布列
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得A学科良好人数，进而可得2x2列联表，根据公式计算得出的值，比较即可根据独立性检验求解；
（2）根据（1）中得出AB学科均良好的概率，可知，然后计算得出X取不同值的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可.
20．【答案】（1）由题意知，
又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得（*）
由消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
.
方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；
（2）设直线方程，利用韦达定理求解直线方程，方法一：求出弦长及三角形的高即可求解面积，方法二：利用面积分割法求解面积.
21．【答案】（1）证明：若，则，且，则，
令，得．
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故．
（2），．
当时，易得，所以由（1）可得，
若，则，
所以在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾．
若，令，则，
又令，则对恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
因为，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，单调递减．
又，所以
在上，，故单调递增；
在上，，故单调递减．
所以为函数的极大值点，满足题意．
综上，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，得到函数的最值，即可证明；
（2）求解函数g（x）的导数，分类讨论确定函数的单调性，验证极值后即可得到a的取值范围.
22．【答案】（1）曲线，
所以曲线的极坐标方程为：，
曲线的参数方程为
所以曲线的普通方程为：，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为，
射线与曲线分别交于两点，联立解得：
点的极坐标为，点的极坐标为，
.
【知识点】极坐标系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据曲线C1的普通方程求解极坐标方程，根据曲线C2的参数方程求得普通方程进而求解极坐标方程；
（2）联立射线与曲线C1、C2方程，求解A、B点的极坐标，即可求解的长度.
23．【答案】（1）方法一：当时，，
①，无解；
②，解得；
③，解得；
综上：原不等式的解集为；
方法二：原不等式等价于：，
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到-2所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，
又的解为，
原不等式的解集为；
（2）当时，，
原不等式等价于：，即，则，
，故，解得，
的取值范围为.
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）方法一，利用绝对值的含义，分类讨论解不等式，即x≤2，-2＜x≤0，x＞0，最后求并集即可；方法二，利用绝对值的几何意义解绝对值不等式即可；
（2）将绝对值不等式恒成立问题转化为-（x+3）＜ax＜x+3，利用一次不等式恒成立法则列不等式关系求解即可.
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