江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题
一、单选题
1．（2022高二上·溧阳期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为一条直线经过两点和，
所以该直线的斜率为：
所以该直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
3．为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但直线不过圆心 B．相切
C．相离 D．相交且直线过圆心
【答案】A
5．（2020高二上·迁安期末）已知椭圆： ，左、右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，若 的最大值为5，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b 。
故答案为：D．
【分析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，所以过F1的直线l交椭圆于A，B两点，再利用椭圆的定义结合三角形的周长公式，从而得出|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，从而得出此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，进而求出b的值。
6．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点
【答案】B
8．已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、多选题
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】B,C,D
10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13
D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列
【答案】A,D
11．（2021高二上·湖北月考）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ，
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
12．数列满足，，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
三、填空题
13．（2022高二上·如皋期中）已知数列中，，则此数列的前8项和为 ．
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】，
的前8项和为．
故答案为：
【分析】通过，利用裂项求和法可求出答案.
14．点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为 .
【答案】
15．（2022高二上·如东期中）圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 与圆 联立可得：
公共弦的方程为 ，
变形为 ，
故 的圆心为 ，半径为 ，
而 满足 ，故弦AB的长为圆 的直径，
故弦AB的长为 ．
故答案为： .
【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.
16．（2022高二上·湖北期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
【答案】-2
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
【分析】连接，设（），则，利用椭圆的定义表示出，，，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
四、解答题
17．（2022高二上·如皋期中）设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求；
（2）若为与的等比中项，求．
【答案】（1）解：设等差数列公差为，，解得，
，所以，，
（2）解：由题意：，，即，
化简得：，
解之得或（舍），故.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1) 设等差数列公差为，由已知利用等差数列的求和公式和通项公式即可求解出 ；
(2)由题意利用等比数列的性质可求 ， 解方程即可得解n的值.
18．已知直线
（1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；
（2）求点到直线的距离d的最大值.
【答案】（1）当时，直线：，：，则，
解得交点
又由直线l垂直于直线，而直线的斜率，
两直线垂直得斜率乘积为，得到
又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即
（2）直线：过定点，又，
点M到直线的距离d的最大值为
19．已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和.
【答案】（1）由已知，
设数列首项为，公差为
，
解得：，
所以
因为，，
数列是单调递增的等比数列，
设数列首项为，公比为，所以
解得：， ，所以
所以
（2）由已知
所以
20．（2022高三上·辽宁开学考）已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
【答案】（1）解：由题意知，故可设椭圆方程为，
由在上可得，，
解得或（舍去），
故所求椭圆的方程为.
（2）解：设直线，，
把代入椭圆方程整理可得：
，
设，则，
，
从而得点，
在上式中以代替，得，
即直线的斜率为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以以代替，求出Q点坐标，由两点坐标求出直线的斜率.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆．
（1）求圆的方程；
（2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围．
【答案】（1）设直线的方程为，因为圆半径为，，所以圆心到直线的距离，即，解得，
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
即所求圆方程为或
（2）由圆的性质可知，只研究圆方程为时即可
设与圆相切，则有，
即有，从而有
设与圆相切，则有，
即有，从而有
联立直线，由得，
所以
当时，.
22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标
【答案】（1）椭圆过点，
可得，且离心率为．，解得，
所求椭圆方程为：
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
，则，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，
得，
设，，，，有
则
将式代入化简可得：，即，
直线，恒过定点.
1 / 1江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题
一、单选题
1．（2022高二上·溧阳期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但直线不过圆心 B．相切
C．相离 D．相交且直线过圆心
5．（2020高二上·迁安期末）已知椭圆： ，左、右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，若 的最大值为5，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点
8．已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13
D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列
11．（2021高二上·湖北月考）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
12．数列满足，，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022高二上·如皋期中）已知数列中，，则此数列的前8项和为 ．
14．点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为 .
15．（2022高二上·如东期中）圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ．
16．（2022高二上·湖北期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·如皋期中）设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求；
（2）若为与的等比中项，求．
18．已知直线
（1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；
（2）求点到直线的距离d的最大值.
19．已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和.
20．（2022高三上·辽宁开学考）已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆．
（1）求圆的方程；
（2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围．
22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为一条直线经过两点和，
所以该直线的斜率为：
所以该直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b 。
故答案为：D．
【分析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，所以过F1的直线l交椭圆于A，B两点，再利用椭圆的定义结合三角形的周长公式，从而得出|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，从而得出此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，进而求出b的值。
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,D
11．【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ，
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
12．【答案】A,B,C
13．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】，
的前8项和为．
故答案为：
【分析】通过，利用裂项求和法可求出答案.
14．【答案】
15．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 与圆 联立可得：
公共弦的方程为 ，
变形为 ，
故 的圆心为 ，半径为 ，
而 满足 ，故弦AB的长为圆 的直径，
故弦AB的长为 ．
故答案为： .
【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.
16．【答案】-2
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
【分析】连接，设（），则，利用椭圆的定义表示出，，，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
17．【答案】（1）解：设等差数列公差为，，解得，
，所以，，
（2）解：由题意：，，即，
化简得：，
解之得或（舍），故.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1) 设等差数列公差为，由已知利用等差数列的求和公式和通项公式即可求解出 ；
(2)由题意利用等比数列的性质可求 ， 解方程即可得解n的值.
18．【答案】（1）当时，直线：，：，则，
解得交点
又由直线l垂直于直线，而直线的斜率，
两直线垂直得斜率乘积为，得到
又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即
（2）直线：过定点，又，
点M到直线的距离d的最大值为
19．【答案】（1）由已知，
设数列首项为，公差为
，
解得：，
所以
因为，，
数列是单调递增的等比数列，
设数列首项为，公比为，所以
解得：， ，所以
所以
（2）由已知
所以
20．【答案】（1）解：由题意知，故可设椭圆方程为，
由在上可得，，
解得或（舍去），
故所求椭圆的方程为.
（2）解：设直线，，
把代入椭圆方程整理可得：
，
设，则，
，
从而得点，
在上式中以代替，得，
即直线的斜率为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以以代替，求出Q点坐标，由两点坐标求出直线的斜率.
21．【答案】（1）设直线的方程为，因为圆半径为，，所以圆心到直线的距离，即，解得，
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为
即所求圆方程为或
（2）由圆的性质可知，只研究圆方程为时即可
设与圆相切，则有，
即有，从而有
设与圆相切，则有，
即有，从而有
联立直线，由得，
所以
当时，.
22．【答案】（1）椭圆过点，
可得，且离心率为．，解得，
所求椭圆方程为：
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
，则，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，
得，
设，，，，有
则
将式代入化简可得：，即，
直线，恒过定点.
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