高中数学北师大版必修一 第三章 指数运算与指数函数 测评 同步练习（含解析）

第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.计算:=(　　).
A. B. C.- D.±
2.函数y=2x+2+1的图象过定点(　　).
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,2) D.(-1,1)
3.化简-3·()÷的结果为(　　).
A.-9a B.-a C.6a D.9a
4.设a=20.3,b=32,c=2-0.3,则a,b,c的大小关系是(　　).
A.aC.c5.定义运算a b=则f(x)=2x 2-x的图象大致是(　　).
6.函数f(x)=·2x的大致图象是(　　).
7.已知f(x)=满足对任意x1≠x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,那么实数a的取值范围是(　　).
A.(0,1) B.
C. D.
8.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列说法中,错误的有(　　).
A.y=2x+1是指数函数
B.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0
C.对任意的x∈R,都有3x>2x
D.函数y=ax与y=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称
10.关于函数f(x)=的说法,正确的有(　　).
A.定义域关于原点对称
B.图象关于直线y=x对称
C.图象关于x轴对称
D.图象关于y轴对称
11.下列各式不成立的有(　　).
A.=m7(m,n>0)
B.
C.=(x+y(x,y>0)
D.
12.已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x),g(x)满足(　　).
A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)
B.f(x)-g(x)=π-x
C.f(2x)=2f(x)g(x)
D.[f(x)]2-[g(x)]2=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=则f(f(2))=　　　　　.
14.若函数f(x)=2ax-b+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点(2,3),则b的值是　　　　　.
15.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在区间[0,+∞)上是增函数,则a=　　　　　,m=　　　　　.
16.关于函数y=f(x)=有以下4个结论:①定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞);②单调递增区间为[1,+∞);③是非奇非偶函数;④值域是.其中正确的结论有　　　　　.(填序号)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算:0.06-(0.125)0+1+0.2;
(2)若a>0,b>0,化简-(4a-1).
18.(12分)已知函数f(x)=,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.
19.(12分)已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求函数g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
20.(12分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数,
(1)求k,b的值;
(2)解不等式f(2x-7)>f(4x-3).
21.(12分)已知函数f(x)=2a-(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.
22.(12分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=满足f(-x)+f(x)=0.
(1)确定函数y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的值域;
(3)若对任意的t∈(-1,4),不等式f(2t-3)+f(t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围
1.解析:.
答案:B
2.解析:令x+2=0,得x=-2,当x=-2时,y=20+1=1+1=2,故函数图象过定点(-2,2).
答案:C
3.解析:原式=-3=-9=-9a.
答案:A
4.解析:∵c=2-0.3<1∴c答案:C
5.解析:当x≥0时,2x≥1≥2-x>0;当x<0时,0<2x<1<2-x.
所以f(x)=2x 2-x=
结合选项,可知选C.
答案:C
6.解析:由函数f(x)=·2x=
可得函数在区间(0,+∞)上单调递增,此时函数值大于1;在区间(-∞,0)上单调递减,且此时函数的值大于-1且小于0.
结合所给的选项,只有B满足条件,故选B.
答案:B
7.解析:若对任意x1≠x2,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立,
则函数f(x)为减函数,则
解得≤a<.
答案:D
8.解析:当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=1,故函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减,当x=1时,函数f(x)取最大值1,当x=4时,函数f(x)取最小值-8.
又函数f(x)的值域为[-8,1],∴y=-,a≤x<0的值域为[-8,1]的子集.
∵函数y=-在区间[a,0)上单调递增,
∴只需
解得-3≤a<0.
答案:B
9.解析:根据指数函数的定义,可知y=2x+1不是指数函数,故A错误;y=ax>0(a>0,且a≠1),所以B错误;因当x=0时,3x=2x,故C错误.D显然正确.
答案:ABC
10.解析:易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
答案:AD
11.解析:=m7n-7≠m7(m,n>0);;
=(x3+y3≠(x+y(x,y>0);=(32=(32.
答案:ABC
12.解析:f(-x)==-f(x),
g(-x)==g(x),
所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x),故A正确;
f(x)-g(x)==-π-x,故B错误;
f(2x)==2·=2f(x)g(x),故C正确;
[f(x)]2-[g(x)]2=()2-()2=()()==-1,故D错误.
答案:AC
13.解析:f(2)=2-4=-2,f(-2)=3-2=,
即f(f(2))=.
答案:
14.解析:∵函数f(x)=2ax-b+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点(2,3),
∴2a2-b+1=3,
∴a2-b=1,∴2-b=0,∴b=2.
答案:2
15.解析:当a>1时,根据题意有a2=4,a-1=m,解得a=2,m=,此时g(x)=-在区间[0,+∞)上是减函数,不符合题意.
当0答案:
16.解析:①不正确,因为y=的定义域为R.
②正确,因为y=2u为增函数,u=x2-2x-3在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,所以y=的单调递增区间为[1,+∞).
③正确,因为f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)=是非奇非偶函数.
④不正确,因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,所以≥2-4=,即值域为.
答案:②③
17.解:(1)原式=(0.43-1+(24+(0.52=0.4-1-1+8+0.5=2.5+7+0.5=10.
(2)原式=-(4a-1)=4a-4a+1=1.
18.解:(1)由已知得=2,解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=,
又g(x)=f(x),所以4-x-2=,
即-2=0,
令=t,则t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0.
又t>0,所以t=2,即=2,解得x=-1.
故满足条件的x的值为-1.
19.解:(1)∵f(x)=2x,
∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.
又f(x)的定义域是[0,3],
∴解得0≤x≤1.
∴函数g(x)的定义域是[0,1].
(2)由(1)知,g(x)=(2x)2-4×2x=(2x-2)2-4.
∵x∈[0,1],
∴2x∈[1,2].
∴当2x=1,即x=0时,g(x)取得最大值-3;
当2x=2,即x=1时,g(x)取得最小值-4.
20.解:(1)∵f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数,
∴k+3=1且3-b=0,解得k=-2,且b=3.
(2)由(1)得f(x)=ax(a>0,且a≠1),
则f(2x-7)>f(4x-3),即a2x-7>a4x-3.
当a>1时,函数f(x)=ax为增函数,则不等式等价于2x-7>4x-3,解得x<-2;
当0-2.
综上,当a>1时,不等式的解集为{x|x<-2};
当0-2}.
21.解:(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即2a-=0,解得a=.
(2)f(x)在R上是增函数.证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1∵函数y=3x在R上是增函数,且x1∴,即<0.
又3x>0,∴+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)22.解:(1)设g(x)=ax(a>0,且a≠1).
∵g(3)=8,
∴a3=8,解得a=2,∴g(x)=2x.
∴f(x)=.
由已知得,f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,即=0,解得n=1,
∴f(x)=.
又f(-1)=-f(1),∴=-,解得m=2,∴f(x)=.
(2)由(1)知y=f(x)=,化简得2x=.
∵2x>0,∴>0,
即<0,等价于(2y-1)(2y+1)<0,
解得-故函数y=f(x)的值域为.
(3)由(1)知f(x)==-,易知f(x)在R上为减函数.
又f(x)是奇函数,∴f(2t-3)+f(t2-k)<0,
即f(2t-3)<-f(t2-k)=f(k-t2).
∵f(x)在R上为减函数,∴2t-3>k-t2,即对任意的t∈(-1,4),有t2+2t-3>k恒成立.
令m(t)=t2+2t-3,t∈(-1,4),易知m(t)>-4,
∴k≤-4,即实数k的取值范围是(-∞,-4].
.
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