江西省赣州市全南县2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

全南县2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．满足条件 的所有集合的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
2．已知为虚数单位，若复数的模为该复数的实部的倍，则
A．0 B．-4 C．1或-1 D．1
3．已知p：x2+x-2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A． B．10
C．20 D．100
5．已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．2 C． D．
7．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数是偶函数
10．已知，为定义在上的函数，且对任意的x，y满足：，且，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．若，则3是的一个周期
11．已知矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（ ）
A．四棱锥的体积最大值为 B．四棱锥的外接球体积不变
C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为
12．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列”
三、填空题（共20分）
13．已知等差数列满足，，则的前项的和为
14．已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则 .
15．四个棱长为1的正方体拼成如图所示长方体，为上表面异于B的8个点，结果有 个不同的值．
16．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（共70分）
17．在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，证明：，.
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
20．为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：

(1)若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；；
(2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．
21．已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.
22．已知函数．
（1）试判断函数的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
答案
1．B
由集合满足条件 ，
所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，
则上述集合关系式变成： ，
则此时集合为集合的真子集，
问题转化为求集合的真子集的个数即：，
故满足题意的集合有31个.
故选：B.
2．A
复数.
模为：.
根据题意得：，解得.
故选：A.
3．D
由得或，设,
若q是p的充分不必要条件，则
所以a≥1．
故选：D．
4．A
a=log2m，b=log5m，则，∴m=，故选A.
5．A
，，
，又，
，，
而，故.
故选：A
6．D
令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，
则四边形的面积，
当且仅当，即四边形为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，
，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，
则，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.
故选：D
7．B
设，由托勒密定理知，，
所以.
又因为，，
所以四边形的面积为.
故选：B.
8．B
由恰有两个零点，即恰有两个根，也就是恰有两个根，进而有函数与的图象恰有两个不同的交点，
由，得，
∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
由知：必过；
函数，的大致图象，如下图示：
设与相切于，切线斜率为，则切线方程为，
把代入可得：，
∴化简得，解得或.
当时，切线斜率大于2，又，
∴，此时切点坐标为，
∴的斜率为1，即时与相切.
由函数增长速率，易知：当x无限趋近于时，无限趋近于0且x小于0.
∴若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为.
故选：B.
9．BD
由函数的图象知：
，所以；即，解得，所以，
因为，所以，，
即，，因为，所以，.
对选项A，因为，故A错误.
对选项B，，故B正确．
对选项C，令，k∈Z，解得，，
所以的对称中心是，，故C错误．
对选项D，设，
则的定义域为R，，
所以为偶函数，故D正确.
故选：BD
10．ACD
因为对任意的x，y满足：，所以
对于，令，则，故正确；
令，，则.又，则，故错误；
令，则，所以为奇函数，故正确；
令，，则，
由于，所以，
令，则，
令，则，
两式相加得：，
即：，所以，
故，所以是的一个周期，所以正确；
故选：ACD.
11．ABD
对A，当平面平面时，
点到的距离为即为棱锥高，
此时体积最大，故A正确；
对B，由，
故四棱锥的外接球的直径为，
四棱锥的外接球体积不变，故B正确；
对C，假设直线与所成角的最大值为，
此时，而，
所以平面，则，而斜边矛盾，故C错误；
对D，当平面平面时，与平面所成角为最大，
由为矩形，，此时，故D正确.
故选：ABD
12．ABD
对A，数列为等差数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，A正确；
对B，数列为等比数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，B正确；
对C，是等差数列，设，
则，若是“线性数列”，
则，则应有，
故不是“线性数列”，C错误；
对D，是等比数列，设首项为，公比为，
若时，，则，满足“线性数列”的定义；
若时，由，得，
，
累加的，
则，
经验证当时，满足，则，
若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，
则，
，
，
则，则，
则是“线性数列”，D正确.
故选：ABD
13．78
由等差数列性质可知，解得；
由，可得；
则数列的前项的和为.
故答案为：
14．
双曲线的离心率，
所以.
故答案为：
15．1
由图象可知，，
则，
因为平面，平面，所以，
所以，则，
即的不同值的个数为，
故答案为：1
16．
若时，时，，舍去.
若时，
令，，，
则在上单调递增，且
①若，即时，则不等式(式恒成立；
②若，即时，而，
令，.
当，，则在上单调递增，
当，，则在上单调递减，
，的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）因为，所以，
又由余弦定理得， ，所以，
则，
所以的周长为：．
18．(1)；(2)证明见详解.
（1）因为，则，解得，
故当时，，
故可得，则，
则数列为首项为3公比为的等比数列，
故，解得.
（2）由（1）中所求可得，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故
.即证.
19．(1)证明见解析；
(2).
（1）如图，取中点，连接，
则,
因为平面平面，且平面平面，平面
所以平面,
因为平面，所以 ,
又因为F为CD的中点，所以，
又，平面PGB，
所以平面，平面，
所以，
，为的中点，
所以，又，平面，平面，
所以平面.
（2）不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系，
则,
，
设平面与平面的法向量分别为，夹角为，
则
不妨设,所以，
，
所以.
20．(1)分布列见解析
(2)能，理由见解析
（1）依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为，
市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为，
所以的所有可能取值为475，513，525，567，
所以，
，
则的分布列为：
475 513 525 567
0.16 0.24 0.24 0.36
（2）由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为
因为，
所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）设，则，，
整理得，即，
故动点的轨迹的方程为.
（2）当直线斜率不存在时不成立，故设直线的方程为.

联立得.
由，得，整理得.
设，则.
直线的方程为，令，得，同理.
，
所以，所以线段的中点坐标为，
故线段的中点为定点.
22．（1）函数在和上单调递减；（2）．
（1）由函数可得定义域为，且，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号，
所以当且时，，所以函数在和上单调递减．
（2）由（1）知且，且，所以，，所以，
因为不等式且恒成立，
所以且，即且恒成立，
所以，其中．
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递减，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，，所以，即；
当时，，所以，即；
所以由可得且，
所以且，即且．
令，则，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以且，所以，所以实数的取值范围为．