河南省商丘市部分学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

商丘市部分学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．
1．已知直线与直线间的距离为，则（）
A．或 B． C．或11 D．6或
2．已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
3．已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（）
A．1 B． C．2 D．3
4．在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（）
A．2 B．1 C． D．
6．已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
7．已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（）
A．或 B．4 C． D．或4
8．过椭圆的左焦点的直线与的一个交点为，与圆相切于点，若，则的离心率为（）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（）
A．若，则曲线是圆
B．若曲线是椭圆，则
C．若曲线是双曲线，则且
D．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
10．已知点，，直线与线段有交点，则可以为（）
A． B． C．1 D．3
11．已知点，，是圆上一点，，则实数的可能取值为（）
A．1 B．2 C． D．
12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（）
A．存在点，使得直线 B．存在点，使得平面
C．点到直线距离的最小值为 D．三棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线过点且与以为方向向量的直线垂直，则直线的方程为__________．
14．圆的圆心在直线上，且与轴、轴均相切，则的半径为__________．
15．已知是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆上一点，是圆柱的母线，且，则点到平面的距离为__________．
16．已知，是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点，，的周长为，面积为，则的离心率为__________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆关于直线对称，点，在圆上．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线，（的倾斜角大于的倾斜角）均与圆相切，且，相交于点，求，的方程．
18．（12分）
已知点，，，是圆上的动点．
（Ⅰ）求面积的最小值；
（Ⅱ）求线段的中点的轨迹方程．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
21．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
22．（12分）
已知，分别是椭圆的左顶点与左焦点，，是上关于原点对称的两点，，．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线交于，两点，，是直线上关于轴对称的两点，证明：直线，的交点在一条定直线上．
商丘市部分学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案A
命题意图 本题考查两条平行直线间的距离公式．
解析 直线可化为，，解得或．
2．答案C
命题意图 本题考查双曲线的渐近线．
解析 由题知，该双曲线的焦点在轴上，，，，，，该双曲线的渐近线方程为．
3．答案C
命题意图 本题考查利用空间向量计算空间距离．
解析 由题知，，在上的投影向量的模为，到直线的距离为．
4．答案D
命题意图 本题考查空间向量的线性运算．
解析 ．
5．答案B
命题意图 本题考查抛物线与直线的位置关系．
解析 由题知，，，的方程为，将代入，整理得，与直线相切，，．
6．答案C
命题意图 本题考查点与直线的位置关系．
解析 设点关于直线的对称点为，则解得
即，．
7．答案D
命题意图 本题考查空间向量的应用．
解析 以向量，，为基底，由题知，，，，，
，或，
则，
当时，，，
当时，，．
8．答案B
命题意图 本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系．
解析 如图所示，设椭圆的右焦点为．直线与圆相切，．
又，，．，是的中点，
又是的中点，，，
，即的离心率为．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案ACD
命题意图 本题考查曲线与方程．
解析 对于A，若，则，方程化为，故A正确；
对于B，若曲线是椭圆，则解得且，故B错误；
对于C，若曲线是双曲线，则，解得且，故C正确；
对于D，若，则且，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，故D正确．
10．答案AD
命题意图 本题考查直线的方程．
解析 ，，即直线过定点，斜率为，，，由图知，或，或，
A，D正确，B，C错误．
11．答案BCD
命题意图 本题考查圆与圆的位置关系．
解析 ，在以为直径的圆上，其圆心为，半径，
圆的圆心为，半径．由题知，圆与圆有公共点，则，
即，解得或，
故选B，C，D．
12．答案BC
命题意图 本题考查空间向量的应用．
解析 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设，则，，，
，故A错误；
连接，，且，
当为的中点时，，此时四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，故B正确；
连接，由题知，平面，平面，，线段的长为到直线的距离，由题图知，当为的中点时，的长度最小，最小值为，故C正确；，平面，，易得，，，，故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查直线与直线的位置关系．
解析 由题知，，，，直线的方程为，即．
14．答案2或6
命题意图 本题考查圆的方程与性质．
解析 因为与轴、轴均相切，所以的圆心在直线或上，分别与联立，解得或所以的半径为2或6．
15．答案
命题意图 本题考查空间几何体的基本结构．
解析 由题知，，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，
该圆柱过的母线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，，
点到平面的距离为．
16．答案
命题意图 本题考查双曲线的几何性质．
解析 的周长为，，由双曲线定义知，，，，，，，，在中，由余弦定理得，，得的离心率．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查圆的方程，圆与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题意可知圆心在直线上，
设，则，解得，
圆的半径为，所以圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意知，，是过点所作的圆的两条切线，若切线斜率不存在，其方程为，与圆相切，符合条件．
若切线斜率存在，设其方程为，由圆心到切线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
又的倾斜角大于的倾斜角，所以，．
18．命题意图 本题考查直线与圆的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题知，，直线的方程为．
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为．
设点到直线的距离为，则，
面积的最小值为．
（Ⅱ）设，，由题意知，，，，
将代入，整理得，
点的轨迹方程为，即．
19．命题意图 本题考查面面平行的证明，以及利用空间向量计算线面角．
解析 （Ⅰ）在直三棱柱中，四边形为矩形，
，分别为，的中点，，，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面，
同理，平面．
平面，平面，，平面平面．
（Ⅱ）由题知，平面，，
故以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，设直线与平面所成的角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
20．命题意图 本题考查抛物线的方程与性质，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题知，，
由抛物线的定义知，，，的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，．
直线的方程为，代入，整理得，
由题易知，，，
，
到直线的距离为，
，
解得，
直线的方程为．
21．命题意图 本题考查垂直的证明，以及利用空间向量求二面角．
解析 （Ⅰ）如图，设是的中点，连接，，．
，．
在菱形中，，，
是等边三角形，．
，
平面，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，．
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，则令，则，，．
设平面的法向量为，则令，则，，．
，
平面与平面夹角的余弦值为．
22．命题意图 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为，右焦点是，连接，．
由题知，四边形为平行四边形，，
由椭圆定义知，，．
，，，的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，．
将代入，整理得，
，且，，
设，，则，
则直线的方程为，直线的方程为，
两式相减得，
，
，，
直线，的交点在定直线上．