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博爱县2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A.0 B. C. D.
2.已知函数，方程，，则方程的根的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，直三棱柱 的六个顶点都在半径为1的半球面上， ，侧面 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 的面积为（ ）
A.2 B.1 C. D.
4.中，角，，的对边分别为.若向量，，且，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，，，则（ ）A. B. C. D.
6.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早系外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P A B C，其中平面，，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.设点是曲线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（ ）
A.
B.的坐标为
C.的坐标为
D.
10.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.若，则的最大值为
C.若，则复平面内对应的点位于第二象限
D.若是关于的方程的一个根，则
11.已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A.若直线的斜率为2，则的面积为12
B.的最小值为
C.
D.若，则
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
14.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为 .
15.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为 .
16.如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.分别为内角的对边，已知.
（1）求；
（2）若在线段上，，且的面积，求的周长.
18.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，平面平面，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
19.已知直线经过点，圆.
(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程.
20.已知椭圆的长轴长为，且其离心率小于为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点、的面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点.
21.如图，多面体中，平面，
.
（1）在线段上是否存在一点，使得平面 如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由.
（2）当三棱锥的体积为8时，求平面与平面夹角的余弦值.
22.已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，
次数（x） 1 2 3 4 5
考试成绩（y） 498 499 497 501 505
设变量x，y满足回归直线方程 .
（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2024年的高考的成绩；
（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩都大于500分的概率.
参考公式：回归直线方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
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数学 参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为.故选C.
2.【答案】D
【解析】，即或，
如图，画出函数的图象
由图象可知时，有2个交点，当，时有3个交点，
所以共有5个交点，故选D.
3.【答案】C
【解析】连接 ， ，交于点O，则O为平面 的中心，由题意知，球心为侧面 的中心O，BC为截面圆的直径，所以 ，则 的外接圆圆心N位于BC的中点.同理， 的外接圆圆心M位于 的中点，设正方形 的边长为x，在 中， ， ， （R为球的半径），所以 ，解得 ，所以 .同理，在 中，解得 ，又因为三棱柱 是直三棱柱，所以侧面 是长方形，所以侧面 的面积为 .故选C.
4.【答案】B
【解析】由得，
，
由正弦定理得，，
化为，
即，
由于，
，又
，
故选.
5.【答案】D
【解析】解：因为
=-.
，
；
，，
所以，
故.
故选：D.
6.【答案】C
【解析】因为平面，平面，
所以，
又，
所以两两垂直，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，
因为，
所以，
所以该球的半径为2，体积为.
故选：C
7.【答案】B
【解析】曲线表示以为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，
表示点与连线的斜率，
当直线与圆相切时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得或，
因为，所以，
当直线经过点时，，
由图可知，
所以的最小值是，
故选B.
8.【答案】D
【解析】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
二、多项选择题
9.【答案】BCD
【解析】由题意可知点，点，故，
因为，故，
又，即，故，
所以，故A错误，B正确；
因为点绕点沿逆时针方向旋转得到点，
所以，
则由，可得点坐标为，故C正确；
故，则，D正确，故选BCD.
10.【答案】BC
【解析】对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作
该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误.
故选：BC
11.【答案】AC
【解析】设，可得，由，得到
，整理得，，分别代入各个选项，可得A与C选项符合题意.故选AC.
12.【答案】BD
【解析】若直线的斜率为2，则直线的方程为，即，设，，由 得，所以，，
所以的面积，故A错误；
由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
由得，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；，同理，可得，则
，故C错误；
，即，
所以，故D正确.
故选:BD.
三、填空题
13.【答案】/
【解析】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点，
所以，，当伞完全收拢时，，
所以，，
在中，，
则为锐角，所以，
所以.
故答案为：
14.【答案】
【解析】由题意得，
则，因为对任意的，均有成立，所以，即，又，所以当时，的最小值为，
故答案为：.
15.【答案】2.
【解析】如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得.又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为.
16.【答案】
【分析】确定，根据共面得到，解得答案.
【解析】
；
四点共面，故，即.
故答案为：
四、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理及，得.
因为，所以，
所以，
所以，
即，
因为，所以.
又，所以.
（2），
因为，所以.
又，所以.
由余弦定理得，
则，
所以.
故的周长为.
18.【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】（1），
，.
平面平面，且交线为，平面，
平面，
平面，.
连接，，如图，
因为四边形是边长为的菱形，，
所以为等边三角形.
又因为为的中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，则，
因为，所以，又由（1）知，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，，
又由，，，平面，平面，
所以平面，且，，
所以，即，
所以点到平面的距离为.
19.【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆C的圆心到直线l的距离，解得，
故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，
所以圆心到直线l的距离为.
由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或.
故直线l的方程为或.
20.【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）由题意可知：
，
故椭圆的标准方程为：.
（2）设.
联立直线与椭圆的方程可得：，则
，
，则，令，解得：.
故直线的方程为：，
根据对称性，直线所过的定点在轴上，不妨令，
则
，
故直线过定点.
21.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）存在，点为中点，理由如下：
取线段的中点，连接.
四边形是平行四边形，.
又平面平面平面.
分别为的中点，是的中位线，.
平面平面平面.
平面平面平面.
平面平面.
（2）由，可得，
以为坐标原点，以的正方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知，，
设平面的一个法向量为，则可以取，
设平面的一个法向量为，
则可以取，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为.
22.【答案】（1）预测2024年的高考成绩为511.2分；（2） .
【解析】（1）由表得 ，
，
.
将点代入回归直线方程可得 ，
解得，
回归直线方程为.
当 时， ，
预测2024年的高考成绩为511.2分.
（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，则事件A的情况有
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种情况，
其中2次成绩都大于500分情况有 ， ， ，共3种情况，
所求的概率 .
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