第九章 9.4 乘法公式课件 47张PPT 苏科版数学七年级下册

(共47张PPT)
9.4乘法公式（1）
苏科版七年级下册 数学
聪明的阿凡提
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷.巴依老爷有两块地，一块面积为a2，另一块面积为b2，而阿凡提只有一块地，面积为(a+b)2 .有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说:“我用我的两块地换你的一块地，可以吧？”
（1）你觉得阿凡提答应了吗？
（2）(a+b)2 与a2 + b2哪个大呢？
因需要将其边长增加 b 米。
一块边长为a米的正方形实验田，
形成四块实验田，以种植不同的新品
种(如图1—6).
a
a
b
b
图1—6
你能计算出现在这块实验田的面积吗
方法一、总面积=(a+b)2
方法二、总面积=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
上面的等式是利用面积的不同表示形式得到的，你还有其他方法吗？
(a+b)2 =
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+
b2
一般的，对于任意的a ,b由多项式乘法法则同样可以得到
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
计算：( a – b )2
方法一：
解：(a-b)2= (a-b) (a-b)
=a2 –ab –ab +b2
=a2 -2ab +b2
方法二：
解：(a –b )2
=[a + (-b)]2
=a2 + 2a(-b) + (-b)2
= a2 -2ab + b2
(a –b )2 = a2 -2ab + b2
这也是完全平方公式哦
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2 － 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾两倍在中间，符号看前方.
例1 运用完全平方公式计算：
(1) (x+2y)2
解： (x+2y)2=
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
x2
+2 x 2y
+(2y)2
=x2
+4xy
+4y2
(2) (x-2y)2
解： (x-2y)2=
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
x2
-2 x 2y
+(2y)2
=x2
-4xy
+4y2
用完全平方公式计算
（3）（ -x + 2y)2 (4) ( -2a - 5)2
方法一、原式=(2y-x)2
=(2y)2-2·2y·x+x2
=4y2-4xy+x2
方法二、原式=(-x)2+2·(-x) ·2y+(2y)2
=x2-4xy+4y2
=(2a+5)2
=(2a)2+2·2a·5+52
=4a2+20a+25
方法二、
原式=(-2a)2+2·(-2a) ·(-5)+(-5)2
=4a2+20a+25
(5) ( 4m2 - n2 )2
分析：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
4m2
a
n2
b
解：
（ 4m2 － n2）2
=( )2－2( )·( )+( )2
4m2
4m2
n2
n2
=16m4－8m2n2+n4
（1）9982；
解：
（1） 9982 ＝(1000-2)2
＝10002-2×1000×2＋22
＝1000000－4000+4
例2、运用乘法公式计算：
＝996004
（2）20012
（2） 20012 ＝(2000 ＋1)2
＝20002＋2×2000×1＋12
＝4000000＋4000＋1＝4004001
运用完全平方公式可以起到
简便运算的作用.
1、下面的计算是否正确？如有错误，请改正：
(1) (x+y)2＝x2+y2;
(2) (-m+n)2＝-m2 +n2；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
解: (1)
×
应改为: (x+y)2＝ x2+2xy+y2
（2）× 第一项 应该是（－m)2 ，丢了一项
应改为: (-m+n)2＝ (-m)2+2 (-m)n +n2
=m2-2mn+n2
（3） ×
应改为:
( a 1)2=(a+1)2=a2+2a+1
2、填空：
(1) (a+_____)2=a2+4ab+4b2
(2) (3x-______)2=9x2-12xy+______
(3) (-x-_____)2=x2+______+1
3、小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是4x2+ +25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是( )
A 10xy B 20xy C±10xy D±20xy
2b
2y
4y2
1
2x
D
(2x 5y)2
±
(x+1)2
4、计算：(x2-2y2)2-(x2+2y2)2
解：原式=(x2)2-2·x2·2y2+(2y2)2 -[ (x2)2+2·x2·2y2+(2y2)2]
=x4-4x2y2+4y4-(x4+4x2y2+4y4)
=x4-4x2y2+4y4-x4-4x2y2-4y4
=-8x2y2
1、如何计算 (a+b+c)2
解: (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
1、(a+b)2=(a-b)2 +_____
4ab
2、(a-b)2=(a+b)2 - _____
4ab
(a+b)2= a2+2ab + b2
(a –b)2 = a2 -2ab + b2
2、已知a+b=3,ab=1,求a2+b2、(a－b)2的值.
解：∵
(a+b)2=a2+2ab+b2
∴(a+b)2-2ab=a2+b2
即a2+b2=(a+b)2-2ab
∵a+b=3 ab=1
∴a2+b2=7
方法1、(a-b)2
=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab
=5
方法2、
(a-b)2=(a+b)2-4ab
=5
=32-4
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a b)2=
a2 2ab+b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
(a+b)2=(a-b)2+4ab
9.4 乘法公式（2）
苏科版七年级下册 数学
完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2 = a2-2ab+b2
用乘法公式计算：
(1) (2a-3)2
(2) (-x+4y)2
(3) (-3a-1) 2
=4a2-12a+9
=16y2-8xy+x2
=9a2+6a+1
=(4y-x)2
=(3a+1)2
情境创设
边长为b 的小正方形纸片放置在边长为a 的大正方形纸片上，如右图，你能用多种方法求出阴影部分的面积吗？
b
a
a
b
方法（1）未被盖住的部分的面积为
b
a
a
b
b
b
a
a
方法（2）：可以拼成等腰梯形，则未被盖住的部分的面积为
a
a
b
a
a
b
b
方法（3）：可以拼成长方形，则未被盖住的部分的面积为
你能用多项式乘法运算法则推导所得到的公式吗？
解:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2
= a2-b2
一般地，对于任意的a、b，
这个公式称为平方差公式。
用语言叙述为：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．
判断下列各式能否运用平方差公式
√
√
√
√
√
√
×
×
例1.计算：
(1) (2x+3y)(2x-3y)=
(2) (-2x+3y)(-2x-3y)=
(3) (-2x+3y)(2x+3y)=
(4) (-2x-3y)(3x-2y)=
(5) (2x-3y)(3y-2x)=
(2x)2-(3y)2
=4x2-9y2
(-2x)2-(3y)2
=4x2-9y2
(3y-2x)(3y+2x)
=9y2-4x2
=(3y)2-(2x)2
-6x2+4xy-9xy+6y2
=-6x2-5xy+6y2
-(2x-3y)(2x-3y)
=-(2x-3y)2
=-(4x2-12xy+9y2)
=-4x2+12xy-9y2
例2.用简便方法计算:
=(100+1)(100-1)
=1002-12
=10000-1
=9999
101×99
例3、化简求值： (2x+y)( -y+2x) －(-2x-y)2， 其中x=-1，y=-2
解：原式=(2x+y)(2x-y)-(2x+y)2
=(2x)2-y2-(4x2+4xy+y2)
=4x2-y2-4x2-4xy-y2
=-2y2-4xy
当x=-1，y=-2时
原式=-2× (-2)2-4×(-1) ×(-2)
=-8-8=-16
填空：
(1) (m+____)(m-____)= m2-36n2
(2) (a+b)(______)= b2-a2
(3) (______)(1-x2)= x4-1
(4) 已知(x-ay)(x+ay)=x2-16y2， 那么a=____
6n
6n
b-a
-x2-1
±4
1.若x2-y2=8, y-x=4,求x+y.
解：∵(x+y)(x-y)=x2-y2
又x2-y2=8, y-x=4
∴(x+y) ×(-4)=8
∴x+y=-2
2、计算(x+3)(x-3)(x2+9)
原式=(x2-32)(x2+9)
=(x2)2-92
=x4-81
=(x2-9)(x2+9)
3.计算
原式=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1
(24)2=28
变式：
原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) ··· (21024+1)
=(22-1)(22+1)(24+1) ··· (21024+1)
=(21024-1)(21024+1)
= 22048-1
(22)2=24
=(21024)2-12
=(28)2-12
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
9.4乘法公式（3）
苏科版七年级下册 数学
完全平方公式
平方差公式
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2
（2） (a-b)2=a2-2ab＋b2
(a+b)(a-b)=a2－b2
乘法公式
1.(2x-y)(_____)=4x2-y2
2.(b-a)(_____)=a2-b2
3. (______)2 =4x2-12xy+(____)
4.(-3x-2)(_____)=4-9x2
5.若x2+6x+m是完全平方式，则m=____
2x+y
-b-a
2x-3y
9y2
3x-2
6.若x2+mx+9是完全平方式，则m=____
9
±6
(x+__)2
3
(x 3)2
±
一、填空：
例1、计算
(1) (2x+3)(4x2+9)(2x-3)
原式= [(2x)2-32 ](4x2+9)
=(4x2-9)(4x2+9)
=(4x2)2-92
=16x4-81
(2)(x-y+1)(x+y-1)
原式=[x-(y-1) ] [ x+(y-1)]
=x2-(y-1)2
=x2-(y2-2·y·1+12)
=x2-(y2-2y+1)
=x2-y2+2y-1
(3) (a+3b)2(a-3b)2
原式=[(a+3b)(a-3b)]2
逆用积的乘方
=[a2-(3b)2]2
=(a2-9b2)2
=(a2)2-2·a2·9b2+(9b2)2
=a4-18a2b2+81b4
(4) (a+3b)2 － (a-3b)2
=(a2+6ab+9b2)－(a2-6ab+9b2)
= a2+6ab+9b2-a2+6ab-9b2
=12ab
原式=[ a2+2·a·3b+(3b)2]－[a2-2·a·3b+(3b)2 ]
(1) a2+b2=(a+b)2_____
(2) a2+b2=(a-b)2_____
(3) (a+b)2+(a-b)2=______
(4) (a+b)2-(a-b)2=______
(5) (a+b)2=(a-b)2______
(6) (a-b)2=(a+b)2______
-2ab
+2ab
2a2+2b2
4ab
+ 4ab
- 4ab
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab＋b2
例2、已知 a+b=1,ab=-6.求a2+b2 ,
(a-b)2的值
解:由题意得
∴a2-12+b2=1
∴a2+b2=13
∵(a-b)2=(a+b)2-4ab
∴ (a-b)2=1-4(-6)=25
(a+b)2=12
∴a2+2ab+b2=1
方法2、
a2+b2=(a+b)2-2ab
=12-2×(-6)
=13
变式：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.
求:(1)a2+b2 (2)ab的值.
解∵(a+b)2=7,(a-b)2=3
∴a2+2ab+b2=7 ①
a2-2ab+b2=3 ②
∴①+②, 得:2a2+2b2=10
∴ a2+b2=5
①-②, 得:4ab=4
∴ab=1.
例3、已知(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，
求a+b的值.
解：∵ (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63
∴(2a+2b)2-12=63
∴(2a+2b)2=64
∴2a+2b=±8
∴2(a+b)=±8
∴a+b=±4
变式：已知(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63，求a2+b2的值.
解：∵ (a2+b2+1)(a2+b2-1)= 63
∴(a2+b2)2-12= 63
∴(a2+b2)2= 64
∴a2+b2=±8
∵a2+b2≥0
∴a2+b2= 8
例4、已知y2+1-2y+︱x-2︱=0，若x、y为等腰三角形的两边，求第三边的长。
解：∵y2+1-2y +︱x-2︱=0
∴y2-2y +12 +︱x-2︱=0
∴(y-1)2 +︱x-2︱=0
y-1=0
x-2=0
∴x=2
且
y=1
∵x、y为等腰三角形
∴三边为1、1、2或
∵三角形的任意两边之和大于第三边
的两边
2、2、1
∴三边为2、2、1，即 第三边为2
完全平方公式
平方差公式
乘法公式
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2
（2） (a-b)2=a2-2ab＋b2
(a+b)(a-b)=a2－b2
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