江苏省南通市海安市2023-2024学年高三上学期期中学业质量监测数学试卷（含解析）

海安市2023-2024学年高三上学期期中学业质量监测
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则
A. B.
C. D.
2.已知终边上一点，则
A. B. C. D.
3.在中，为的中点，记，，则
A. B. C. D.
4.已知复数满足，当的虚部取最大值时，
A. B. C. D.
5.已知函数的图象关于点对称，方程在上有两个不同的实根，，则的最大值为
A. B. C. D.
6.在四边形中，，，则的最大值为
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，
A.29 B.32 C.33 D.34
8.设，，，则
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若，则下列结论正确的是
A. B.若，则或
C. D.若，则或
10.已知，，，，下列结论正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，且，均为锐角，则
11.设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则
A.不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数
B.不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定
C.是奇函数，且在区间上是单调增函数
D.是偶函数，且在区间上的单调性不能确定
12.已知数列满足，且，则
A.为递增数列 B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设为实数，若向量，，且与共线，则__________.
14.已知函数的减区间为，则__________.
15.设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则_______.
16.已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
18.（12分）如图，是边长为2的正三角形的中位线，将沿折起，使得平面平面.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（12分）设等比数列的首项为2，公比为，前项的和为，等差数列满足.
（1）求；
（2）若，，求数列前项的和.
20.（12分）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员收集了50天的数据，汽车日流量与PM2.5的平均浓度的标准差分别为252，36，制作关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I、II、III、IV，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.
（1）请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关；
汽车日流量 汽车日流量 合计
PM2.5的平均浓度
PM2.5的平均浓度
合计
（2）经计算得回归方程为，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式：①，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
②回归方程，其中.
③.若，则与有较强的相关性.
21.（12分）已知双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的左、右支分别交于点，.
（1）若，求；
（2）若直线，与轴分别交于点，，，求.
22.（12分）已知函数.
（1）若是函数的极小值点，求证：；
（2）若，求.
海安市2023-2024学年高三上学期期中学业质量监测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B 【解析】，选B.
2.【答案】B 【解析】，，选B.
3.【答案】A 【解析】，选A.
4.【答案】B 【解析】令，，则，，∴，∴，，∴，选B.
5.【答案】D 【解析】关于对称，，∴，，，；.
6.【答案】C 【解析】设，，选C.
7.【答案】C 【解析】
，，
，∴，
∴时，取最大值.
8.【答案】A 【解析】令，，
∴，
∴在，，∴.
令，，，
，，，，∴
∴，在，，∴，∴，选A.
对于和的比较，∵（，当且仅当时取“=”）
，（运用了时，），∴.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ACD 【解析】，A对.
，此时且，B错.
，，，，
，，C对.
，则或，D对，选ACD.
10.【答案】ABD 【解析】，，A对.
，B对.
，，，
∴，C错.
，则，则
∴，∴，D对，选ABD.
11.【答案】ABD 【解析】方法一：，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，单调性的没有办法确定，C错.
单调性没有办法确定，为奇函数，为偶函数，奇偶性，A，B对.
，∴为偶函数，D对，选ABD.
方法二：例如取，，，显然非奇非偶，又，，均在上单增，增+增=增，A对.
对于B，，在上；上，B正确.
此时，，在上先减后增了，C错.
对于D，，在上也是先减后增，D正确.
选：ABD.
12.【答案】ABC 【解析】，由知与同号，，
∴易知，，，A正确.
，C正确.
且对于B，∵，∴，∴，
∴，B正确.
对于D，，∴（当且仅当时取“=”），∴，D错.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】 【解析】，，与共线，则，则.
14.【答案】3 【解析】，解集为，则.
15.【答案】 【解析】为等比数列，为等差数列，，则的等比数列，，∴，则，∴，，
，∴，.
16.【答案】 【解析】方法一：，或.
，或.
的图象与轴正半轴交点为，则，.
在，，，，，
外接圆：，
∴，圆心，在以为直径的圆上.
∴，∴，
∴，∴.
方法二：∵的图象与轴正半轴交于，∴，大致图象如下图.
∴，，令或，
∴，，∴，，中垂线方程：，
中垂线方程，∴，，
，∴，∴.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）∵，
∴
.
（2）
当且仅当即，时取“=”.
18.【解析】（1）取中点，连接，∵为等边三角形，∴，
又∵平面平面，∴平面，
∴.
（2）如图建系，∴，，，，，
∴，，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
∴，.
设平面与平面夹角为，
∴.
19.【解析】（1）∵为等差数列，
∴，而，，，
∴，或1.
（2）∵，∴，∴，
，∴，
∴，∴.
20.【解析】（1）2×2列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
∴
∴有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关.
（2），
而，，
∴.
∵，∴与有较强的相关性，∴该回归方程有价值.
21.【解析】（1）直线方程为，即
，∴，，∴.
（2）设直线方程为，，，.
∴，
直线方程：，令
同理
∴
.
22.【解析】（1），∵是的极小值点，
∴.
当时，，当时，，
∴，∴，∴在上.
当时，，
∴在上，∴.
（2）∵恒成立，
∴0为的一个最小值点，也为极小值点（极值点效应）
∴，
且当时，由（1）知（已证）
综上：.