数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1任意角 课件（共24张ppt）

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5.1.1任意角
第五章 三角函数
情景引入，温故知新
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律, 这种变化规律称为周期性.例如: 地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等.这些现象都可以用三角函数刻画.
对比：初高中“角”的概念
角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.
角(高中)：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么
始边
终边
新知1：任意角的概念
该图中的角是一个正角，它等于.
该图中，正角21负角
时钟慢了1小时10分钟，
校准时分针要___时针旋转____°
主动轮逆时针旋转80°
被动轮顺时针旋转80°
顺
420
新知1：任意角的概念
新知1：任意角的概念
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
已知一条射线的起始位置OA：
[注]①在不引起混淆的情况下，“角 ”或“∠ ”可以简写成“ ”;
②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… ;
③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” ( 与﹣ 互为相反角) ;
④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.
⑤角的减法：α－β=α+(﹣β )
新知2：象限角的定义
我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，下图中的40°角、-130°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
新知3：终边相同的角
问题：在直角坐标系中，给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；
反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？
不难发现，在图中，如果-32°角的终边是，那么328°，-392°，…角的终边都是，并且与-32°角终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与个周角的和，如：
与角α终边相同的所有角组成的集合：
象限角的集合表示：
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
新知3：终边相同的角
【例1】每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分针是顺时针走的，
形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
走过的角度大小为，
综上，分针走过的角度是．
故选：D．
题型一：角的概念
【对点训练1】射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　）
A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针，
【答案】B
【解析】由题意可得，
设，
则，
解得，
所以射线绕端点顺时针旋转，
故选：B
题型一：角的概念
【对点训练2】下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】第一象限角的集合为
，
锐角是大于小于的角，
锐角的集合为，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，
故选：C．
题型一：角的概念
【例2】在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）因为，
所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因为，
所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因为，
所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．
题型二：终边相同的角的表示
【对点训练3】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，;当时，，当时，，
所以，适合不等式的元素为、、．
（2）因为，所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，;当时，;当时，，
所以，适合不等式的元素为、、．
（3）因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，;当时，;当时，，
所以，适合不等式的元素为、、．
（4）因为，所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，;当时，;当时，．
所以，适合不等式的元素为、、．
题型二：终边相同的角的表示
【例3】若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【解析】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，当时，
，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
题型三：角所在象限的研究
【对点训练4】若，，试确定，分别是第几象限角．
【解析】由得：，
为第一象限角；
由得：，
当时，，
则为第一象限角；
当时，，
则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角．
题型三：角所在象限的研究
【例4】若是第二象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角．
故选：D．
题型四：象限角的判定
【对点训练5】若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若是第一象限角，
则，
，
则是第四象限角，故D错误；
，
则是第一象限角，故A错误；
，则是第二象限角，故B错误；
，则是第三象限角，故C错误．
故选：C．
题型四：象限角的判定
【对点训练6】若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【解析】因为为第二象限角，
则，
因此，
而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，
当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，
所以的终边所在的象限是第二、四象限．
故选：D
题型四：象限角的判定
【例5】分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

【解析】（1）角的终边可以看作是角的终边，角的终边，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
．
题型五：区域角的表示
【对点训练7】如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
【解析】（1）①
；
②．
题型五：区域角的表示
小结提升，形成结构
请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
(1)任意角的概念；
(2)象限角与终边相同的角；
(3)象限角及轴线角的集合表示.
布置作业，应用迁移
作业：教科书第175页习题5．1第1、2题．
好学数学
数学好学
学好数学