沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展提升）

沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展提升）
一、手拉手模型
1．（2021八上·铜官期末）如图，是边长为2的等边三角形，是延长线上一点，以为边作等边三角形，连接.
（1）求的度数.
（2）求的值.
2．（2022八上·淮北月考）在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接．
（1）若，
①如图1，求证：；
②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由．
（2）若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明．
3．（2021八上·蚌埠期末）已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．
（1）如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；
（2）如图2，当D点不在直线BC上时， BE、CD相交于M，
①直接写出∠CME的度数；
②求证：MA平分∠CME
4．（2021八上·肥西期末）在ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝　 　．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
5．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
6．（2021八上·蚌埠期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．过点C作CF⊥DE交DE于点F．
（1）如图1，当点B、E、D在同一条线上时，
①求证：；
②求∠BDA的度数；
（2）如图2，连接AF并延长至点G，使AF＝GF，连接GE、GB，试判断△BEG形状，并说明理由．
二、动态几何全等模型
7．（2023八下·潜山期末）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
（1）求证：．
（2）写出线段的长（用含t的式子表示）．
（3）连接，当线段经过点C时，求t的值．
8．（2020八上·肥东期末）如图，已知 中， ，点 为 的中点．如果点 在线段 上以 的速度由点 向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动，设点 运动的时间为 ．
（1）用含 的式子表示 的长为　 　；
（2）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 秒后， 与 是否全等？请说明理由；
（3）若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
9．（2021八上·丹阳期末）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练.已知： 中， ；机器人从点 出发，沿着 边按 的方向匀速移动到点 停止；机器人移动速度为每秒 个单位，移动至拐角处调整方向需要 秒（即在 处拐弯时分别用时 秒）.设机器人所用时间为 秒时，其所在位置用点 表示（机器人大小不计）.
（1）点 到边 的距离是　 　；
（2）是否存在这样的时刻，使 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
10．（2021八上·阜阳期中）如图（1）， ， ， 垂足分别为A、B， ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
三、一线三等角模型
11．（2022八上·利辛月考）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
12．（2021八上·庐阳期末）如图1，在中，，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点O为的中点，连接DO，EO，判断的形状，并说明理由．
13．（2020八上·庐阳月考）如图所示，回答下列问题
（1）如图1， 在 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， ⊥直线 ，垂足分别为点 、 ．证明： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3， 、 是 、 、 三点所在直线 上的两动点（ 、 、 三点互不重合），点 为 平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ，若 ， ，试判断 的形状，并求出 的长．
14．（2020八上·石台期末）利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①， ， ， 三点共线， 于点 ， 于点 ， ，且 ．若 ，求 的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形，直角顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．求直线 与 轴的交点坐标．
（3）如图③， ， 平分 ，若点 坐标为 ，点 坐标为 ．则 　 　．（只需写出结果，用含 ， 的式子表示）
四、倍长中线模型
15．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为　 　.
16．（2021八上·芜湖期中）
（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是　 　；中线BD的取值范围是　 　．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是　 　．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是　 　．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
五、角平分线模型
18．（2020八上·肥东期末）在 中， 为 的角平分线.
图1 图2
（1）如图1， ， ，点 在边 上， ，请直接写出图中所有与 相等的线段.
（2）如图2， ，如果 ，求证： .
19．（2023八上·冠县月考） 如图，在直角坐标系中，的三个顶点都在坐标轴上，，两点关于轴对称，点是轴正半轴上一个动点，是角平分线．
（1）如图，若，直接写出线段，，之间数量关系；
（2）如图，若，求的度数；
（3）如图，若，求证：．
20．（2023八下·平遥期中）如图，在中，平分，，垂足为点E．若的面积为16，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
六、直角三角形判定HL
21．（2020八上·铜陵月考）已知 ≌ ， ．
（1）将 和 按图①方式摆放，使 经过点 ，延长 交线段 于点 ．试判断线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将 和 按图②方式摆放，延 交线段 于点 ．请直接写出 、 、 之间的数量关系　 　．
（3）将 和 按图③方式摆放，延长 交 的延长线于点 ．请直接写出线段 、 、 之间的数量关系：　 　．
七、其他综合
22．（2020八上·马鞍山期末）已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在 中， 、 分别平分 、 ，过点 作直线分别交 、 于点 、 ，若 ，解答下列问题：
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ， ，求 的长．
23．（2022八上·安徽期末）如图，在中，，且，D是的中点，E是延长线上一点，交的延长线于F，的延长线交的延长线于点G，连接．
（1）求证：①；②；
（2）若，求的度数．
24．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
25．（2022八上·蚌山月考）如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
26．（2023八上·蜀山期末）如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F．
（1）在图1中画出正确的图形，并证明；
（2）当时，求证：平分．
27．（2021八上·桐城期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAE=∠ACD=90°，BC=CE．
（1）∠BAC与∠D相等吗 为什么
（2）E点在AD边上，若∠BCE=90°，试判断△ACD的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，BD=BE，∠ABC=∠C=∠BAC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD和△ABE中，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠EAD=180°-60°-60°=60°；
（2）解：∵△CBD≌△ABE，
∴CD=AE，
∴AE-AD=CD-AD=AC=2．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△CBD≌△ABE，可得∠BAE=∠BCD=60°，再利用角的运算可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得CD=AE，再利用线段的和差求出即可。
2．【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②为直角三角形；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴
；
∴为直角三角形；
（2）解：成立，证明如下：
∵，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
②先利用“SAS”证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到为直角三角形；
（2）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
3．【答案】（1）证明：∵△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE+∠DAB=∠CAB+∠DAB，
∴∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠C=45°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，即EB⊥CD
（2）解：①90°；②如图，过点A作AG⊥BE于G，AF⊥CD于F，
∵△BAE≌△CAD，
∴AG=AF，
在Rt△AGM和Rt△AFM中，
，
∴Rt△AGM≌Rt△AFM（HL），
∴∠AMG=∠AMF，即AM平分∠EMC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（2）解：①同理可证△BAE≌△CAD，∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠EMC=∠EBC+∠BCD，
∴∠EMC=∠ABE+∠ABC+∠ACD+∠BCD=90°；
【分析】（1）由△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，证出△CAD≌△BAE（SAS），得出∠ABE=∠C=45°，即可得出结论；
（2）①同理可证△BAE≌△CAD，∠ABC=∠ACB=90°，得出∠ABE=∠ACD，即可得出结论；
②利用△BAE≌△CAD，得出AG=AF，再利用HL证出Rt△AGM≌Rt△AFM，即可得出结论。
4．【答案】（1）26°
（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．
∴α=β；
②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=26°，
∴∠DCE=26°；
(2) ②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β，理由如下：
如图，当D在线段BC上时，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B=∠ACD=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=∠B+∠ACD，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．∠BAC+∠B+∠ACD=180°，
∴α+β=180°；
如图，当点D在线段BC反向延长线上时，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC，∠ACE=∠ACB+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．
∴α=β；
综上所述，当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．
【分析】（1）证出△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证出△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
②当D在线段BC上时，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，分类讨论即可。
5．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
6．【答案】（1）解：①证明：∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF=45°=∠CDE，
∴DF=CF，
同理得到EF=CF，
∴，
∴；
②∵∠DCA+∠ACE=90°，∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠ECB，
∵CD=CE，CA=CB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠ADB=∠ADC-∠CDE=90°；
（2）解：△BEG为等腰直角三角形，
理由如下：
延长BE交AC于点M，交AD的延长线于点H，
∵∠DCA+∠ACE=90°，∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠ECB，
∵CD=CE，CA=CB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵AF=FG，DF=EF，∠AFD=∠GFE，
∴△AFD≌△GFE（SAS），
∴AD=GE，∠ADF=∠GEF，
∴BE=GE，AD∥GE，
∵∠CBE=∠CAD，∠AMH=∠BMC，
∴∠AHM=∠BCM=90°，
又∵AD∥GE，
∴∠GEM=∠AHM=90°，
∴∠BEG=90°，
∴△BEG为等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①证明∠CDE=∠CED=45°，∠DCF=45°=∠CDE，得出DF=CF，同理得到EF=CF，即可得出结论；
②证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠BEC=∠ADC，再得出 ∠ADC=∠BEC=135°，即可得出答案；
（2）延长BE交AC于点M，交AD的延长线于点H，证出△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，BE=AD，再证出△AFD≌△GFE（SAS），得出AD=GE，∠ADF=∠GEF，由此得出结论。
7．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当时，；
当时，
（3）解：当线段经过点C时，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴或，
∴或．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的其他应用；平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS判定△ACB≌△ECD，得出对应角∠A=∠E，然后根据平行线的判定，得出结论即可；
（2）分为两种情况：①从A到B时，AP=2t；从B到A时，AP=10-(2t-10）=20-2t；
（3）首先理解PQ经过点C时，应满足 ， 根据三角形△ACP≌△ECQ，可以得出，此时AP=EQ，把EQ用含t的式子表示出来，结合（2）中AP的长度，可以分两种情况，列出关于t的一元一次方程，求出t的之即可。
8．【答案】（1）8-3t
（2）解：全等，理由：
当t=1时，BP=3，CP=5，CQ=3，
∴BP=CQ，
∵点D是AB的中点，
∴BD= AB=5，
∴CP=BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）解：∵BP=3t，CP=8-3t，
设点Q的运动速度为xcm/s，
∴CQ=xt，
当△BPD≌△CQP时，
∴BP=CQ，
∴3t=xt，
∴x=3（不符合题意），
当△BPD≌△CPQ时，
∴BP=CP，BD=CQ，
∴3t=8-3t，5=xt，
∴t= ，x= ，
∴点Q的运动速度为 cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由运动知，BP=3t，
∵BC=8，
∴PC=BC-BP=8-3t；
【分析】（1）根据题意可得出答案；
（2）利用SAS可证明 △BPD≌△CQP ；
（3）根据全等三角形的性质可以得到BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，则可得出答案。
9．【答案】（1）2.4
（2）解：存在t，使 为等腰三角形.
在 上时，
；
；
当 在 上， .
综上所述， 的值为 或 或 或 秒.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） 设点C到AB的距离为h，
∵ ，
∴AC= =4，
∴ ，
∴h= =2.4，
∴点C到AB的距离为2.4，
故答案为：2.4；
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，再利用等积法求出点C到AB的距离即可；
（2）分三种情况讨论，即在 上时，①当BC=BP，②CB=CP，③PB=CP，当P在AC上，根据等腰三角形的两腰相等，结合行程问题分别列式求解即可.
10．【答案】（1）解：△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=7，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
可得：7=9-2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t
解得：x＝ ，t= ，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或 ．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠B=90°， 再利用SAS证明 △ACP≌△BPQ ，最后求解即可；
（2）分类讨论，利用全等三角形的性质，列方程求解即可。
11．【答案】（1）解：①CD=BE②，理由如下，
即
（2）解：原来结论②不成立，，理由如下，
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
即
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）①
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
故答案为：
【分析】（1）①先利用“AAS”证明，可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
12．【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
（2）解：如图2，连接CO，设AB与CE交于点F，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，CO⊥AB，
∴∠BEF＝∠COF＝90°，
又∵∠BFE＝∠CFO，
∴∠EBO＝∠FCO，
在△EBO和△DCO中，
，
∴△EBO≌△DCO（SAS），
∴EO＝DO，∠BOE＝∠COD，
∴∠DOE＝∠BOE＋∠DOB＝∠COD＋∠BOD＝∠BOC＝90°，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△ACD≌△CBE即可；
（2）连接CO，设AB与CE交于点F，先利用利用“SAS”证明△EBO≌△DCO，可得EO＝DO，∠BOE＝∠COD，再利用角的运算和等量代换求出∠DOE=90°，即可得到是等腰直角三角形。
13．【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ．
，
（2）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
在 和 中，
，
， ．
，
（3）解：△DEF是等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ， ，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据 直线m， 直线m，得 ，而 ，根据等角的余角相等得 ，然后根据“ ”可判断 ，则 ， ，于是 ；
（2）利用 ，则 ，得出 ，进而得出 即可得出答案；
（3）通过证明 和 得到 ，即可求解．
14．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°
∴∠A＋∠ACB=90°，∠ECD＋∠ACB=180°－∠ACE=90°
∴∠A=∠ECD
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=CD＋BC=
（2）解：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB
∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=180°－∠ACB=90°
∴∠DAC =∠ECB
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴CO=1，AD=1，DO=2,
∴OE=OC＋CE= OC＋AD=2，BE=CD=CO＋DO=3，
∴点B的坐标为（2,3）
设直线AB的解析式为y=kx＋b
将A、B两点的坐标代入，得
解得：
∴直线AB的解析式为
当x=0时，解得y=2
∴直线 与 轴的交点坐标为（0,2）；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E
∵OC平分∠AOB
∴CD=CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE=90°，OD=OE
∵∠ACB=90°
∴∠DCA＋∠ACE=∠ECB＋∠ACE=90°
∴∠DCA=∠ECB
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴DA=EB，S△DCA=S△ECB
∵点 坐标为 ，点 坐标为
∴OB=b，OA=a
∵OD=OE
∴OA＋DA=OB－BE
即a＋DA=b－DA
∴DA=
∴OD= OA＋DA=
=
=
= DA2
=
=
故答案为： ．
【分析】（1）利用AAS证出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AB=CD，BC=DE，再根据BD=CD＋BC等量代换即可求出BD；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，利用AAS证出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE，根据点A和点C的坐标即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可求出直线AB与y轴的交点坐标；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，根据正方形的判定可得四边形OECD是正方形，然后利用ASA证出△DCA≌△ECB，从而得出DA=EB，S△DCA=S△ECB，然后利用正方形的边长相等即可求出a、b表示出DA和正方形的边长OD，然后根据 即可推出 = ，最后求正方形的面积即可．
15．【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
16．【答案】（1）SAS；
（2）证明：延长至点F，使，连接、，如图2所示：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至E，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于G，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用“SAS”证明即可，再利用三角形三边的关系及中线的性质可得；
（2）延长至点F，使，连接、，利用全等三角形的性质可得AF=CN，再利用三角形三边的关系可得；
（3）延长至E，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，延长交于G， 再利用角的运算求出，所以，即可得到。
17．【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
18．【答案】（1）解：BE=DE=DC
（2）解：在AB上取点E，使得AE=AC，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C， ED=CD，
∵∠C=2∠B，
又∠AED=∠B+∠BDE=2∠B，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：∵ 为 的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵ ，
在△AED和△ACD中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ；
【分析】（1）根据角平分线的性质结合已知条件可证得 ，再证得 ，从而证得 = ；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，则可证得△AED≌△ACD，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．
19．【答案】（1）
（2）解：设，则，
在上截取，连接，
，
，
是角平分线，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
，，
，
是角平分线，
，
，
在上截取，连接，
由得，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点D作DM⊥AB于点M，如图所示：
∵，两点关于轴对称，
∴CA=CB，
∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，
∴CD=MD，∠ABC=45°，
∴∠BDM=45°，
∴BM=DM，
∴BM=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADM中
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADM（HL），
∴AC=AM，
∴AB=AM+BM=AC+CD，
∴AB=AC+CD，
故答案为：.
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，先利用“HL”证出Rt△ADC≌Rt△ADM，可得AC=AM，再利用线段的和差及等量代换可得AB=AC+CD；
（2） 设，则， 先利用“SAS”证出 ≌，可得，再求出，利用等边对等角的性质可得，利用三角形的内角和可得，求出即可；
（3）在上截取，连接，利用全等三角形的性质可得，，再求出，利用等角对等边的性质可得，再结合，利用线段的和差及等量代换可得.
20．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F，如右图所示，
∵在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴DE=DF
∵=16，AC=8
∴DF=16×2÷8=4
∴DE=4
故答案为C.
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积公式。角平分线的性质是：（1）角平分线把角分成相等的两部分，每部分的大小等于原角的；（2）角平分线上的点，到角两边的距离相等。本题用到第（2）条。三角形的面积公式S=（底×高）
21．【答案】（1）解： ．
证明：如图，连接 ．
∵ ≌ ，
∴ ， ．
∵在 和 中，
，
∴ ≌ （HL）
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
（2）DF+CF=AC
（3）DF+AC=CF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】（2） ；
证明：如图②，连接BF，
与（1）同理，可得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ≌ （HL），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；（3） ；
证明：如图③，连接BF，
与（1）同理，则有
CF=EF，AC=DE，
∴ ；
【分析】（1）DF+CF=AC；理由：如图，连接， 根据全等三角形的性质，可得 ， ，根据HL证明≌，可得CF=EF，由， ，
即得；
（2） ；如图②，连接BF，同（1）证≌，可得，由，，即得 ；
（3） ；如图③，连接BF，与（1）同理，可得CF=EF，AC=DE，从而得出.
22．【答案】（1）证明：连接 ，
，
是等腰三角形，
、 分别平分 、 ，
平分 ，
；
（2）解：在 上取点 ，使得 ，设 ，则 ，
，
为等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
≌ （SAS），
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ （SAS），
，
又 ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，
即 ，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证明 ≌ ，可得DE=DM，∠BED=∠BMD=120°，可证明△DMN是等边三角形，可得DM=DN=MN=DE，由线段的和差关系可求解。
23．【答案】（1）证明：①∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵（等腰直角三角形的性质），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据，可得；
②利用“ASA”证明即可；
（2）先利用“AAS”证明，可得，证出，再利用角的运算求出即可。
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
25．【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明，可得，再利用角的运算可得；
（2）先利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差求出即可。
26．【答案】（1）解：如图1
，
，
在和中
（2）证明：如图2，
由（1）得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出，即可得到 平分。
27．【答案】（1）解：∠BAC=∠D．
理由如下：∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠D
（2）解：△ACD是等腰直角三角形．
理由如下：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC=CD，
又∵∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据∠CAD+∠D=90°，∠BAC+∠CAD=90°，可得∠BAC=∠D；
（2）利用“AAS”证明△ABC≌△DEC，可得AC=CD，再结合∠ACD=90°，即可得到△ACD是等腰直角三角形。
1 / 1沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展提升）
一、手拉手模型
1．（2021八上·铜官期末）如图，是边长为2的等边三角形，是延长线上一点，以为边作等边三角形，连接.
（1）求的度数.
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，BD=BE，∠ABC=∠C=∠BAC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD和△ABE中，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠EAD=180°-60°-60°=60°；
（2）解：∵△CBD≌△ABE，
∴CD=AE，
∴AE-AD=CD-AD=AC=2．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△CBD≌△ABE，可得∠BAE=∠BCD=60°，再利用角的运算可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得CD=AE，再利用线段的和差求出即可。
2．（2022八上·淮北月考）在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接．
（1）若，
①如图1，求证：；
②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由．
（2）若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明．
【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②为直角三角形；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴
；
∴为直角三角形；
（2）解：成立，证明如下：
∵，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
②先利用“SAS”证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到为直角三角形；
（2）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
3．（2021八上·蚌埠期末）已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．
（1）如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；
（2）如图2，当D点不在直线BC上时， BE、CD相交于M，
①直接写出∠CME的度数；
②求证：MA平分∠CME
【答案】（1）证明：∵△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE+∠DAB=∠CAB+∠DAB，
∴∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠C=45°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，即EB⊥CD
（2）解：①90°；②如图，过点A作AG⊥BE于G，AF⊥CD于F，
∵△BAE≌△CAD，
∴AG=AF，
在Rt△AGM和Rt△AFM中，
，
∴Rt△AGM≌Rt△AFM（HL），
∴∠AMG=∠AMF，即AM平分∠EMC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（2）解：①同理可证△BAE≌△CAD，∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠EMC=∠EBC+∠BCD，
∴∠EMC=∠ABE+∠ABC+∠ACD+∠BCD=90°；
【分析】（1）由△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，证出△CAD≌△BAE（SAS），得出∠ABE=∠C=45°，即可得出结论；
（2）①同理可证△BAE≌△CAD，∠ABC=∠ACB=90°，得出∠ABE=∠ACD，即可得出结论；
②利用△BAE≌△CAD，得出AG=AF，再利用HL证出Rt△AGM≌Rt△AFM，即可得出结论。
4．（2021八上·肥西期末）在ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝　 　．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）26°
（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．
∴α=β；
②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=26°，
∴∠DCE=26°；
(2) ②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β，理由如下：
如图，当D在线段BC上时，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B=∠ACD=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=∠B+∠ACD，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．∠BAC+∠B+∠ACD=180°，
∴α+β=180°；
如图，当点D在线段BC反向延长线上时，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC，∠ACE=∠ACB+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β．
∴α=β；
综上所述，当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．
【分析】（1）证出△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证出△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
②当D在线段BC上时，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，分类讨论即可。
5．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
6．（2021八上·蚌埠期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．过点C作CF⊥DE交DE于点F．
（1）如图1，当点B、E、D在同一条线上时，
①求证：；
②求∠BDA的度数；
（2）如图2，连接AF并延长至点G，使AF＝GF，连接GE、GB，试判断△BEG形状，并说明理由．
【答案】（1）解：①证明：∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF=45°=∠CDE，
∴DF=CF，
同理得到EF=CF，
∴，
∴；
②∵∠DCA+∠ACE=90°，∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠ECB，
∵CD=CE，CA=CB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠ADB=∠ADC-∠CDE=90°；
（2）解：△BEG为等腰直角三角形，
理由如下：
延长BE交AC于点M，交AD的延长线于点H，
∵∠DCA+∠ACE=90°，∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠ECB，
∵CD=CE，CA=CB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵AF=FG，DF=EF，∠AFD=∠GFE，
∴△AFD≌△GFE（SAS），
∴AD=GE，∠ADF=∠GEF，
∴BE=GE，AD∥GE，
∵∠CBE=∠CAD，∠AMH=∠BMC，
∴∠AHM=∠BCM=90°，
又∵AD∥GE，
∴∠GEM=∠AHM=90°，
∴∠BEG=90°，
∴△BEG为等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①证明∠CDE=∠CED=45°，∠DCF=45°=∠CDE，得出DF=CF，同理得到EF=CF，即可得出结论；
②证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠BEC=∠ADC，再得出 ∠ADC=∠BEC=135°，即可得出答案；
（2）延长BE交AC于点M，交AD的延长线于点H，证出△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，BE=AD，再证出△AFD≌△GFE（SAS），得出AD=GE，∠ADF=∠GEF，由此得出结论。
二、动态几何全等模型
7．（2023八下·潜山期末）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
（1）求证：．
（2）写出线段的长（用含t的式子表示）．
（3）连接，当线段经过点C时，求t的值．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当时，；
当时，
（3）解：当线段经过点C时，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴或，
∴或．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的其他应用；平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS判定△ACB≌△ECD，得出对应角∠A=∠E，然后根据平行线的判定，得出结论即可；
（2）分为两种情况：①从A到B时，AP=2t；从B到A时，AP=10-(2t-10）=20-2t；
（3）首先理解PQ经过点C时，应满足 ， 根据三角形△ACP≌△ECQ，可以得出，此时AP=EQ，把EQ用含t的式子表示出来，结合（2）中AP的长度，可以分两种情况，列出关于t的一元一次方程，求出t的之即可。
8．（2020八上·肥东期末）如图，已知 中， ，点 为 的中点．如果点 在线段 上以 的速度由点 向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动，设点 运动的时间为 ．
（1）用含 的式子表示 的长为　 　；
（2）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 秒后， 与 是否全等？请说明理由；
（3）若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
【答案】（1）8-3t
（2）解：全等，理由：
当t=1时，BP=3，CP=5，CQ=3，
∴BP=CQ，
∵点D是AB的中点，
∴BD= AB=5，
∴CP=BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）解：∵BP=3t，CP=8-3t，
设点Q的运动速度为xcm/s，
∴CQ=xt，
当△BPD≌△CQP时，
∴BP=CQ，
∴3t=xt，
∴x=3（不符合题意），
当△BPD≌△CPQ时，
∴BP=CP，BD=CQ，
∴3t=8-3t，5=xt，
∴t= ，x= ，
∴点Q的运动速度为 cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由运动知，BP=3t，
∵BC=8，
∴PC=BC-BP=8-3t；
【分析】（1）根据题意可得出答案；
（2）利用SAS可证明 △BPD≌△CQP ；
（3）根据全等三角形的性质可以得到BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，则可得出答案。
9．（2021八上·丹阳期末）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练.已知： 中， ；机器人从点 出发，沿着 边按 的方向匀速移动到点 停止；机器人移动速度为每秒 个单位，移动至拐角处调整方向需要 秒（即在 处拐弯时分别用时 秒）.设机器人所用时间为 秒时，其所在位置用点 表示（机器人大小不计）.
（1）点 到边 的距离是　 　；
（2）是否存在这样的时刻，使 为等腰三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2.4
（2）解：存在t，使 为等腰三角形.
在 上时，
；
；
当 在 上， .
综上所述， 的值为 或 或 或 秒.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） 设点C到AB的距离为h，
∵ ，
∴AC= =4，
∴ ，
∴h= =2.4，
∴点C到AB的距离为2.4，
故答案为：2.4；
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，再利用等积法求出点C到AB的距离即可；
（2）分三种情况讨论，即在 上时，①当BC=BP，②CB=CP，③PB=CP，当P在AC上，根据等腰三角形的两腰相等，结合行程问题分别列式求解即可.
10．（2021八上·阜阳期中）如图（1）， ， ， 垂足分别为A、B， ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】（1）解：△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=7，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
可得：7=9-2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t
解得：x＝ ，t= ，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或 ．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠B=90°， 再利用SAS证明 △ACP≌△BPQ ，最后求解即可；
（2）分类讨论，利用全等三角形的性质，列方程求解即可。
三、一线三等角模型
11．（2022八上·利辛月考）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
【答案】（1）解：①CD=BE②，理由如下，
即
（2）解：原来结论②不成立，，理由如下，
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
即
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）①
AD⊥CM，BE⊥CM，
∠ACB＝90°，
在与中
故答案为：
【分析】（1）①先利用“AAS”证明，可得；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
12．（2021八上·庐阳期末）如图1，在中，，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点O为的中点，连接DO，EO，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
（2）解：如图2，连接CO，设AB与CE交于点F，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，CO⊥AB，
∴∠BEF＝∠COF＝90°，
又∵∠BFE＝∠CFO，
∴∠EBO＝∠FCO，
在△EBO和△DCO中，
，
∴△EBO≌△DCO（SAS），
∴EO＝DO，∠BOE＝∠COD，
∴∠DOE＝∠BOE＋∠DOB＝∠COD＋∠BOD＝∠BOC＝90°，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△ACD≌△CBE即可；
（2）连接CO，设AB与CE交于点F，先利用利用“SAS”证明△EBO≌△DCO，可得EO＝DO，∠BOE＝∠COD，再利用角的运算和等量代换求出∠DOE=90°，即可得到是等腰直角三角形。
13．（2020八上·庐阳月考）如图所示，回答下列问题
（1）如图1， 在 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， ⊥直线 ，垂足分别为点 、 ．证明： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有 ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3， 、 是 、 、 三点所在直线 上的两动点（ 、 、 三点互不重合），点 为 平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ，若 ， ，试判断 的形状，并求出 的长．
【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ．
，
（2）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
在 和 中，
，
， ．
，
（3）解：△DEF是等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ， ，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据 直线m， 直线m，得 ，而 ，根据等角的余角相等得 ，然后根据“ ”可判断 ，则 ， ，于是 ；
（2）利用 ，则 ，得出 ，进而得出 即可得出答案；
（3）通过证明 和 得到 ，即可求解．
14．（2020八上·石台期末）利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①， ， ， 三点共线， 于点 ， 于点 ， ，且 ．若 ，求 的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形，直角顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．求直线 与 轴的交点坐标．
（3）如图③， ， 平分 ，若点 坐标为 ，点 坐标为 ．则 　 　．（只需写出结果，用含 ， 的式子表示）
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°
∴∠A＋∠ACB=90°，∠ECD＋∠ACB=180°－∠ACE=90°
∴∠A=∠ECD
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=CD＋BC=
（2）解：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB
∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=180°－∠ACB=90°
∴∠DAC =∠ECB
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴CO=1，AD=1，DO=2,
∴OE=OC＋CE= OC＋AD=2，BE=CD=CO＋DO=3，
∴点B的坐标为（2,3）
设直线AB的解析式为y=kx＋b
将A、B两点的坐标代入，得
解得：
∴直线AB的解析式为
当x=0时，解得y=2
∴直线 与 轴的交点坐标为（0,2）；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E
∵OC平分∠AOB
∴CD=CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE=90°，OD=OE
∵∠ACB=90°
∴∠DCA＋∠ACE=∠ECB＋∠ACE=90°
∴∠DCA=∠ECB
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴DA=EB，S△DCA=S△ECB
∵点 坐标为 ，点 坐标为
∴OB=b，OA=a
∵OD=OE
∴OA＋DA=OB－BE
即a＋DA=b－DA
∴DA=
∴OD= OA＋DA=
=
=
= DA2
=
=
故答案为： ．
【分析】（1）利用AAS证出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AB=CD，BC=DE，再根据BD=CD＋BC等量代换即可求出BD；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，利用AAS证出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE，根据点A和点C的坐标即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可求出直线AB与y轴的交点坐标；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，根据正方形的判定可得四边形OECD是正方形，然后利用ASA证出△DCA≌△ECB，从而得出DA=EB，S△DCA=S△ECB，然后利用正方形的边长相等即可求出a、b表示出DA和正方形的边长OD，然后根据 即可推出 = ，最后求正方形的面积即可．
四、倍长中线模型
15．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为　 　.
【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
16．（2021八上·芜湖期中）
（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是　 　；中线BD的取值范围是　 　．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
【答案】（1）SAS；
（2）证明：延长至点F，使，连接、，如图2所示：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至E，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于G，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用“SAS”证明即可，再利用三角形三边的关系及中线的性质可得；
（2）延长至点F，使，连接、，利用全等三角形的性质可得AF=CN，再利用三角形三边的关系可得；
（3）延长至E，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，延长交于G， 再利用角的运算求出，所以，即可得到。
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是　 　．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是　 　．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
五、角平分线模型
18．（2020八上·肥东期末）在 中， 为 的角平分线.
图1 图2
（1）如图1， ， ，点 在边 上， ，请直接写出图中所有与 相等的线段.
（2）如图2， ，如果 ，求证： .
【答案】（1）解：BE=DE=DC
（2）解：在AB上取点E，使得AE=AC，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C， ED=CD，
∵∠C=2∠B，
又∠AED=∠B+∠BDE=2∠B，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：∵ 为 的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵ ，
在△AED和△ACD中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ；
【分析】（1）根据角平分线的性质结合已知条件可证得 ，再证得 ，从而证得 = ；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，则可证得△AED≌△ACD，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．
19．（2023八上·冠县月考） 如图，在直角坐标系中，的三个顶点都在坐标轴上，，两点关于轴对称，点是轴正半轴上一个动点，是角平分线．
（1）如图，若，直接写出线段，，之间数量关系；
（2）如图，若，求的度数；
（3）如图，若，求证：．
【答案】（1）
（2）解：设，则，
在上截取，连接，
，
，
是角平分线，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
，，
，
是角平分线，
，
，
在上截取，连接，
由得，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点D作DM⊥AB于点M，如图所示：
∵，两点关于轴对称，
∴CA=CB，
∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，
∴CD=MD，∠ABC=45°，
∴∠BDM=45°，
∴BM=DM，
∴BM=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADM中
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADM（HL），
∴AC=AM，
∴AB=AM+BM=AC+CD，
∴AB=AC+CD，
故答案为：.
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，先利用“HL”证出Rt△ADC≌Rt△ADM，可得AC=AM，再利用线段的和差及等量代换可得AB=AC+CD；
（2） 设，则， 先利用“SAS”证出 ≌，可得，再求出，利用等边对等角的性质可得，利用三角形的内角和可得，求出即可；
（3）在上截取，连接，利用全等三角形的性质可得，，再求出，利用等角对等边的性质可得，再结合，利用线段的和差及等量代换可得.
20．（2023八下·平遥期中）如图，在中，平分，，垂足为点E．若的面积为16，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F，如右图所示，
∵在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴DE=DF
∵=16，AC=8
∴DF=16×2÷8=4
∴DE=4
故答案为C.
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积公式。角平分线的性质是：（1）角平分线把角分成相等的两部分，每部分的大小等于原角的；（2）角平分线上的点，到角两边的距离相等。本题用到第（2）条。三角形的面积公式S=（底×高）
六、直角三角形判定HL
21．（2020八上·铜陵月考）已知 ≌ ， ．
（1）将 和 按图①方式摆放，使 经过点 ，延长 交线段 于点 ．试判断线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将 和 按图②方式摆放，延 交线段 于点 ．请直接写出 、 、 之间的数量关系　 　．
（3）将 和 按图③方式摆放，延长 交 的延长线于点 ．请直接写出线段 、 、 之间的数量关系：　 　．
【答案】（1）解： ．
证明：如图，连接 ．
∵ ≌ ，
∴ ， ．
∵在 和 中，
，
∴ ≌ （HL）
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
（2）DF+CF=AC
（3）DF+AC=CF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】（2） ；
证明：如图②，连接BF，
与（1）同理，可得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ≌ （HL），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；（3） ；
证明：如图③，连接BF，
与（1）同理，则有
CF=EF，AC=DE，
∴ ；
【分析】（1）DF+CF=AC；理由：如图，连接， 根据全等三角形的性质，可得 ， ，根据HL证明≌，可得CF=EF，由， ，
即得；
（2） ；如图②，连接BF，同（1）证≌，可得，由，，即得 ；
（3） ；如图③，连接BF，与（1）同理，可得CF=EF，AC=DE，从而得出.
七、其他综合
22．（2020八上·马鞍山期末）已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在 中， 、 分别平分 、 ，过点 作直线分别交 、 于点 、 ，若 ，解答下列问题：
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接 ，
，
是等腰三角形，
、 分别平分 、 ，
平分 ，
；
（2）解：在 上取点 ，使得 ，设 ，则 ，
，
为等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
≌ （SAS），
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ （SAS），
，
又 ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，
即 ，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证明 ≌ ，可得DE=DM，∠BED=∠BMD=120°，可证明△DMN是等边三角形，可得DM=DN=MN=DE，由线段的和差关系可求解。
23．（2022八上·安徽期末）如图，在中，，且，D是的中点，E是延长线上一点，交的延长线于F，的延长线交的延长线于点G，连接．
（1）求证：①；②；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：①∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵（等腰直角三角形的性质），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①根据，可得；
②利用“ASA”证明即可；
（2）先利用“AAS”证明，可得，证出，再利用角的运算求出即可。
24．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
25．（2022八上·蚌山月考）如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明，可得，再利用角的运算可得；
（2）先利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差求出即可。
26．（2023八上·蜀山期末）如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F．
（1）在图1中画出正确的图形，并证明；
（2）当时，求证：平分．
【答案】（1）解：如图1
，
，
在和中
（2）证明：如图2，
由（1）得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出，即可得到 平分。
27．（2021八上·桐城期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAE=∠ACD=90°，BC=CE．
（1）∠BAC与∠D相等吗 为什么
（2）E点在AD边上，若∠BCE=90°，试判断△ACD的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∠BAC=∠D．
理由如下：∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠D
（2）解：△ACD是等腰直角三角形．
理由如下：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC=CD，
又∵∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据∠CAD+∠D=90°，∠BAC+∠CAD=90°，可得∠BAC=∠D；
（2）利用“AAS”证明△ABC≌△DEC，可得AC=CD，再结合∠ACD=90°，即可得到△ACD是等腰直角三角形。
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