沪科版数学七年级上册第3章一次方程与方程组（专题拓展）
一、销售盈亏问题
1．（2021七上·庐阳期末）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价为60元，乙种商品的每件进价为100元．
（1）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为3600元，求甲、乙两种商品各多少件？
（2）在（1）的条件下，若甲种商品的每件售价为66元，要使得这50件商品卖出后获利10%，乙商品的每件售价为多少元？
2．（2020七上·无为期末）一家服装店在换季时积压了一批服装．为了缓解资金的压力，决定打折销售．其中一条裤子的成本为80元，按标价五折出售将亏30元，
（1）求这条裤子的标价是多少元？
（2）另一件上衣按标价打九折出售，和这条裤子合计卖了230元，两件衣服恰好不赢不亏，求这件上衣的标价是多少元？
3．（2021七上·蚌埠期末）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
（2）在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值．
4．（2021七上·宣城期末）明明的妈妈是某单位的采购员，她两次去同一家超市购买、两种商品，两次购买、商品的数量和费用如下表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1030
第二次购物 3 7 1010
（1）求出商品、的价格；
（2）该超市在元旦那天搞商品促销活动，所有商品按同样的折数打折销售，明明的妈妈又去买了商品9个，商品8个，共花费1040元，问商品按原价的几折销售？
5．（2021七上·蚌埠期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共600只，这两种节能灯的进价、售价如表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？
二、工程问题
6．（2021七上·定远期末）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
（1）求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
（2）现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
（3）已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
7．（2023七上·哈尔滨月考）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程.由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作.已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天.
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
（2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
（3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天
8．（2022七下·哈尔滨开学考）一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的，第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有 公顷．
9．（2021七上·洪山期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点.钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t.
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
开采天数（天） 每天开采量（t） 含铁率 总产铁量（t）
一期 x 1920 50%
二期
1920+330 50%+10%
并分别求出一期和二期的开采天数.
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出.由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值.
三、行程问题
10．（2021七上·交城期末）问题情境：
某市环城旅游公路暨公路自行车赛道环山而建，全长136km，将多处景点串连成一条线，是该市首条自行车专用赛道．周日，一自行车旅行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时，乙从赛道B端出发，二人相向而行．甲到达B端后停止骑行，乙到A端后也停止骑行，已知甲的平均速度为50km/h，乙的平均速度为30km/h．设甲骑行的时间为x h，请解决下列问题．
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的式子表示：甲离开A端的赛程为 km，乙离开B端的赛程为 km；
（2）当甲、乙二人相遇时，x为 h．
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30km/h．若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6km时，求x的值．
11．（2023七下·苏州期末）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长
12．（2023九上·成都开学考）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米．
（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？
（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的施工速度进行施工，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队共同施工60天，再由乙单独多施工天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．
13．（2023七下·江津期中）某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度，平路速度，下坡速度，那么他从家到学校需要，从学校回家需要．则该同学家到学校全程是 ．
四、方案决策问题
14．（2023七上·六安月考）下面是国家邮政局关于信函邮资的规定．
业务种类 计费单位 资费标准／元
本地资费 外地资费
信函 首重 内，每重 （不足 按 计算）
续重 每重 （不足 按 计算）
（1）一封重 的信寄给本市的朋友，应该付多少邮资？
（2）一封信件寄往外地，共付8元邮资，这封信件最多重多少克？
15．（2021七上·包河期中）为了严格控制水果质量，某果园建立了严格的果品标准，按照“糖酸度、鲜度、细嫩度、香味、安全性”将果园内种植的红富士苹果分成了18个等级，1级红富士的品质最好，2级次之，以此类推，第18级品质最差，果园在销售红富士时，制定销售价格如下：第9级的红富士售价为16元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升0.5元；品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元．
（1）若红富士的等级为n，用含n的代数式表示该级的售价（单位：元/千克）；
①当n＜9时，售价为 元/千克；
②当n＞9时，售价为 元/千克；
（2）水果店老板小蓓计划在该果园购进5级红富士300千克，果园负责送货上门，但要收200元的运费，因小蓓是果园的老客户，果园负责人给出了如下两种优惠方案：
方案一：降价5%，并减免全部运费；方案二：降价8%，但运费不减．
请你帮小蓓计算哪种优惠方案更加合算．
16．（2021七上·庐江期中）前进服装厂生产一种夹克和 恤，夹克每件定价200元， 恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件 恤；
②夹克和 恤都按定价的80%付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克30件， 恤 件 ．
（1）若该客户按方案①购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；
（2）若 ，按方案①购买夹克和 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
五、配套问题
17．（2023七上·达川期末）某车间有22名工人生产，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，1个螺钉要配2个螺母．为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则应该分配 名工人生产螺钉．
18．（2023七下·滨江期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．
六、新定义阅读理解问题
19．（2021七上·利辛期末）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所有整数之和都相等。
（1）可求得 ，★= ，☆= ．
（2）定义新运算，，例如，若则 ．
（3）数轴上、两点对应数为、（已在前两问求得），点为数轴上一动点，点从原点出发，如果点、点和点分别以速度为1、2、3（单位长度/秒）向右运动，经过几秒后，为的中点．
20．（2020七上·庐阳期中）若在一个 的方格中填写了 个不同的数字(正整数)，且使得每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，则称这个 的方格为“三阶幻方”；
（1）如图1是一个三阶幻方，则 ； ；
4 a 2
b 5 7
8
图1
（2）在图2中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
9 2 7
5
3
图2
（3）已知 为正整数， 且 ，在下面的方格中填写适当的代数式，使它能构成一个三阶幻方
21．（2020七上·六安期末）（定义）若关于 的一元一次方程 的解满足 ,则称该方程为“友好方程”，例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“友好方程”．
（1）（运用）① ，② ，③ 三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于 的一元一次方程 是“友好方程”，求 的值；
（3）若关于 的一元一次方程 是“友好方程”，且它的解为 ,求 与 的值．
22．（2020七上·包河期末）将自然数按照下表进行排列：
用 表示第 行第 列数，例如 表示第4行第3列数是29．）
（1）已知 ， ， ；
（2）将图中5个阴影方格看成一个整体并在表格内平移，所覆盖的5个自然数之和能否为2021？若能，求出这个整体中左上角最小的数；若不能，请说明理由；
（3）用含 的代数式表示 ．
23． 阅读下列材料：
关于x的方程
x3+x=13+1的解是x=1；
x3+x=23+2的解是x=2；
x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2；
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3+x=43+4的解为
（2）比较关于x的方程x3+x=a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是
（3）请验证第(2)问猜想的结论．
七、数轴动点问题
24．（2023七上·定远月考）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且（a+5）2+|b-7|＝0．
（1）则a＝ ，b＝ ；A、B两点之间的距离＝ ．
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2019次时，求点P所对应的数．
（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？请直接写出此时点P所对应的数，并分别写出是第几次运动．
25．（2023七上·定远月考）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D 【A，B】的好点，但点D 【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2．数
所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过
秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
26．（2022七上·凤阳月考）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足．
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，当时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求P点对应的数．
27．（2021七上·定远期末）若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即或．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足．
（1）求点A，B两点之间的距离；
（2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？
（3）在（2）的条件下，整个运动过程中，设运动时间为t秒，点Q到达点A停止运动，若的中点为点M，的中点为点N，当t为何值时，．
28．（2020七上·霍邱期末）如图1，线段 长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 运动，M为 的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当 时，求x的值
（2）当P在线段 上运动时， ▲ ，请填空并说明理由．
（3）如图2，当P在 延长线上运动时，N为 的中点，下列两个结论：① 长度不变；② 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
29．（2023七上·蚌埠月考）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合点在点的左边．
（1）【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为 ；
（2）【数学探究】
如图，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为请确定的值及图中，两点表示的数；
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 岁
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设甲种商品为x件，乙种商品为（50-x）件，
根据题意得：60x+100（50-x）=3600，
解方程：x=35，
则50-x=15，
答：甲种商品35件，乙种商品15件；
（2）解：设乙商品的每件售价为y元，
根据题意得：66×35+15y=（1+10%）×3600，
解方程得：y=110，
答：乙商品的每件售价为110元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种商品为x件，乙种商品为（50-x）件，根据题意列出方程60x+100（50-x）=3600，再求解即可；
（2）设乙商品的每件售价为y元，根据题意列出方程66×35+15y=（1+10%）×3600，再求解即可。
2．【答案】（1）解：设标价为x元，则
0.5x=80-30，
解得x=100，
即标价为100元；
（2）解：设这件上衣的标价为y元，
0.9y+50=230，
y=200，
即这件上衣的标价是200元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设标价为x元，根据售价=成本+利润列方程即可求出x的值；（2）设上衣的标价为y元，根据两件合计卖了230元列方程计算.
3．【答案】（1）解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，
由②得，③
将③代入①得：
，
将代入③得：，
解得
则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完．
（2）解：根据题意得，
45%a=13.5
．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可。
4．【答案】（1）解：设商品每个元、商品的每个元，由题意得：
，解得：，
答：商品每个80元、商品的每个110元．
（2）解：设该超市是打折出售这两种商品的，由题意得：
，解得：，
答：该超市是打6.5折出售这两种商品的．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商品每个元、商品的每个元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设商品每个元、商品的每个元，根据题意列出方程，再求出m的值即可。
5．【答案】（1）解：设进甲x只，则进乙只．
有，
解得，
∴甲节能灯进只，乙节能灯进只；
（2）解：设进甲只，则进乙只，
有
解得，
则进甲只，进乙只，
此时利润为：（元），
∴甲节能灯进225只，乙节能灯进375只，利润为6750元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意，列方程，再利用利润公式计算求解即可。
6．【答案】（1）解：天，
答：乙工程队单独完成需要30天；
（2）解：天，
答：还需要9天才能完成；
（3）解：设甲工程队需要施工x天，
，
解得：，
乙工程队需要施工=15天．
答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出 天， 即可作答；
（2）根据甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作， 求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
7．【答案】（1）解：设：乙工程队单独完成此工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，
∴
解得：
∴乙工程队单独完成此工程需要15天，甲工程队单独完成此项工程需要40天.
（2）解：由（1）知甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，
设：再合作m天可完成此项工程的，
∴
解得：
∴再合作6天可完成此项工程的.
（3）解：设：甲工程队单独工作a天，乙工程队单独工作b天，
∴
解得：
∴甲工程队参加工作16天.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队单独完成此工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题干：甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天，列方程即可求解；
（2）由（1）知甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，设：再合作m天可完成此项工程的，根据题干：甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的，列方程即可求解；
（3）设：甲工程队单独工作a天，乙工程队单独工作b天，根据已知信息和题干：甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，列方程即可求解.
8．【答案】189
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这片地共有 公顷，则第一天耕了 公顷，第二天耕了 ，根据题意得：
，
解得： ，
答：这片地共有189公顷．
故答案为：189
【分析】设这片地共有 公顷，根据题意列出方程 求出x的值即可。
9．【答案】（1）解：根据题意，一期总产铁量为： （吨）；二期开采天数为（x-3），二期总产铁量为： （吨）；
填表得，
开采天数（天） 每天开采量（t） 含铁率 总产铁量（t）
一期 x 1920 50% 960 x
二期 x-3 1920+330 50%+10% 1350 x-4050
根据题意列方程得， ，
解得， ， ，
答：一期和二期的开采天数分别为20天和17天；
（2）解：由（1）得，一期总产铁量为 吨，二期总产铁量为 吨，
根据题意列方程得， ，
解得， ，
答：a的值为0.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）根据总产铁量=每天开采量×开采天数×含铁率可得总产铁量，据此补全表格，然后根据二期总产铁量比一期提高了3750 t建立方程，求解即可；
（2）根据（1）可得一期、二期的总产铁量，然后根据总产铁量×每吨的定价可得一期的总售价、二期的总售价，根据二期的总售价比一期多4170万元建立方程，求解即可.
10．【答案】（1）50x；30（x-）
（2）1.95
（3）解：丙离开B端的路程为30（x-1）km，
相遇前：50x+30（x-1）=136-6，解得x=2；
相遇后：50x+30（x-1）=136+6，解得x=2.15；
综上，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，x的值为2或2.15．
【知识点】用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】(1)解：∵甲的平均速度为50km/h，甲骑行的时间为x h，
∴甲离开A端的赛程为50x；
∵乙的平均速度为30km/h，骑行时间是（x-）h，
∴乙离开B端的赛程为30（x-）km；
故答案为：50x，30（x-）；
(2)由题意得50x+30（x-）=136，
解得x=1.95，
即当甲、乙相遇时，x的值是1.95；
故答案为：1.95；
【分析】根据路程=时间速度即可得出答案；
（2）根据甲的路程+乙的路程=总路程，列出方程即可得出x的值；
（3）分相遇前和相遇后分别列出方程即可。
11．【答案】解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min.
由题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300.
解得x＝150.
所以2.5x＝2.5×150＝375，
4x＋300＝4×150＋300＝900.
答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行，首次相遇，快走走的路程-慢者走的路程=环形周长，列出方程求出其解即可.
12．【答案】（1）解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲队每天至少修路400米．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍）．
答：m的值为20．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】⑴、列不等式解答工作量问题，总工作量减去甲乙40天合作完成的工作量也即剩余工作量，根据剩余工程总量不超过18000米可列不等式求解。
⑵、根据题意列方程求解即可，甲工程队60天的工作量加乙工程队（60 +m+7）天的工作量等于总工作量。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设该同学家到学校的上坡路长为xm，平路路程为ym，
根据题意可得：
，
解得：，
∴该同学家到学校全程为x+y=800+700=1500，
故答案为：1500.
【分析】设该同学家到学校的上坡路长为xm，平路路程为ym，根据题意列出方程组求解即可。
14．【答案】（1）解： 元
（2）解：200克
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）45÷20=2......5
则应该付邮费：3×0.8=2.4（元）
故答案为：2.4元
（2） 设这封信件最多重x克，由题意可得：
解得：x=200
故答案为：200克
【分析】（1）45克小于100克，分2个20克，余5克，则按3个20克计算即可求出答案；
（2）设这封信件最多重x克，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）16+0.5（9-n）；16-0.4（n-9）
（2）因为9级红富士每千克为16元， 由（1）知5级红富士每千克为：16+0.5（9-5）=18元，买300千克的价格为：
方案一： 元，
方案二： 元，
因为 ，所以方案一合算．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：①当n＜9时，若红富士的等级为n，则品质就提升9-n级，因为品质每提升一级，每千克售价将提升0.5元，并且9级红富士每千克16元，所以n级红富士的价格为：16+0.5（9-n）；②当n＞9时，若红富士的等级为n，则品质就下降n-9级，因为品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元，所以n级红富士的价格为16-0.4（n-9）．
故答案为：①16+0.5（9-n）②16-0.4（n-9）；
【分析】（1） 第9级的红富士售价为16元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升0.5元；品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元 ，依据可用含n的代数式表示该级的售价；
（2）根据两种优惠方案可得出 水果店老板小蓓 需要的钱数，再比较大小即可求解。
16．【答案】（1）(100x+3000)；(80x+4800)
（2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）；
当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元），
因为7000＜8000，
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下：
先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元），
按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元），
所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元，
所以此种购买方案更为省钱．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：（1）该客户按方案①购买，
夹克需付款30×200=6000（元），
T恤需付款100（x-30）元，
夹克和T恤共需付款（100x+3000）元；
若该客户按方案②购买，
夹克需付款30×200×80%=4800（元），
T恤需付款100×80%x=80x（元），
夹克和T恤共需付款（80x+4800）元；
故答案为：(100x+3000)；(80x+4800)；
【分析】（1）该客户按方案①购买，代入数值计算即可得出夹克和T恤分别需要的钱数， 按方案②购买夹克和T恤共需付款的钱数；
（2）把x=40分别代入（1）的代数式，得出 按方案①购买所需费用 ， 按方案②购买所需费用；
（3）可先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱。
17．【答案】10
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设应该分配x名工人生产螺钉，根据题意得
2×1200×=2000（22-x）
解之：x=10.
故答案为：10
【分析】此题的等量关系为：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉入数×2=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母人数；再设未知数，列方程，求出方程的解.
18．【答案】（1）解：设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，
根据题意得：，
解得：．
答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个；
（2）解：是的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
是的整数倍．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，则横式纸盒需要长方形纸片3x张，需要正方形纸片2x张，竖式纸盒需要长方形纸片4y张，需要正方形纸片y张，根据横式纸盒需要长方形纸片的数量+竖式纸盒需要长方形纸片的数量=300及横式纸盒需要正方形纸片的数量+竖式纸盒需要正方形纸片的数量=100，建立方程组，求解即可得出答案；
（2）a+b应该是5的整数倍，理由如下，设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，根据（1）的等量关系可得方程组，再将方程组中的两个方程相加即可得出结论.
19．【答案】（1）9；-6；2
（2）-2
（3）解：设经过秒，P为AB的中点，
∴此时A表示的数为，B表示的数为，P表示的数为
∴
∴．
【知识点】定义新运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解（1）由题意得： ，
∴，，
∴可知方格中的数是以9，-6，进行循环的，
∵2所在的方格为第9格，
∴，
故答案为：9；；2；
（2）由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：-2；
【分析】（1）根据题意先求出，再求解即可；
（2）先求出，再求出，最后计算求解即可；
（3）先求出 此时A表示的数为，B表示的数为，P表示的数为 ，再列方程求解即可。
20．【答案】（1）9；3
（2）
（3）
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由左下至右上对角线上三个数字之和2+5+8=15可知每行、每列、每条对角线之和均为15，
∴有4+a+2=15，4+b+8=15，∴a=15-6=9，b=15-12=3；
故答案为9；3；（2）可以得到第一行三数之和为：9+2+7=18，
∴第一列中间数字为：18-9-5=4，第三列中间数字为：18-7-3=8，
第三行中间数字为：18-5-3=10，最中间数字为：18-4-8=6，即为：
9 2 7
4 6 8
5 10 3
；（3）可以得到左上至右下对角线上三个数字之和为：m+3n+m+m-3n=3m，
∴第一列中间数字为：3m-(m+3n+m-n)=m-2n，
第三列第一个数字为：3m-(m+2n+m-3n)=m+n，
第一行中间数字为：3m-(m+3n+m+n)=m-4n，
第三行中间数字为：3m-(m-n+m-3n)=m+4n，即为：
m+3n m-4n m+n
m-2n m m+2n
m-n m+4n m-3n
【分析】（1）根据每行、每列的数据之和相等，列出方程，进行求解即可；
（2）根据定义，用上面三个数据之和减去第三行两数之和求出中间的数据，再利用第一行之和，分别算出中间的数据；
（3）根据题干“三阶幻方”的定义计算即可。
21．【答案】（1）②
（2）解：方程 的解为 ，
∵关于x的一元一次方程 是“友好方程”，
∴ ，
解得
（3）解：∵方程 是“友好方程”，且它的解为 ，
∴ ， ，
解方程 ，
解得 ，即 ， ，
由 得 ，
∴ ，
【知识点】一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①方程 的解为 ，而 ，因此方程 不是“友好方程”；②方程 的解为 ，而 ，因此方程 是“友好方程”；③方程 的解为 ，而 ，因此方程 不是“友好方程”；
故②符合题意；
【分析】（1）求出方程的解，依次进行判断即可；（2）求出方程的解 ，根据“友好方程”的定义，得到 ，即可求出 的值；（3）根据“友好方程”的定义以及解为 ，得到 ，解方程 ，得到 ，即 ，通过上面两个式子整理化简即可求出m和n的值.
22．【答案】（1）6；5
（2）解：设其中最小的数为x，则其余4个数可表示为： 、 、 、 ，
则： + + + =2021，
即： ，
解得： ，
∵ ，
∴395是第44行第9列的数，
∵ ，其是第45行第4列的数，
∴二者不在同一行，
∴将图中5个阴影方格看成一个整体并在表格内平移，所覆盖的5个自然数之和不能为2021；
（3）9m+n-10
【知识点】用字母表示数；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）观察表中数据规律加以推算可得：当 时， 6， 5，
故答案为：6，5；（3）根据题意可得： ，
故答案为： .
【分析】（1）观察表中的数据，然后根据数据的变化即可求解；（2）设其中最小的数为x，则其余4个数可表示为： 、 、 、 ，然后利用和为2021建立方程进一步求解，观察其是否符合题意即可；（3）根据表中数据的变化进一步找出代数式即可.
23．【答案】（1）x=4
（2）x=a
（3）证明：将x=a代入方程得，
左边=a3+a=右边，
∴关于x的方程x3+x= a3+a 的解为x=a.
【知识点】探索数与式的规律；一元整式方程
【解析】【解答】解：（1）根据阅读材料找规律可知：
关于x的方程x3+x=43+4的解为x=4；
故答案为：x=4；
（2）根据阅读材料找规律可知：
关于x的方程x3+x=a3+a的解为x=a；
故答案为：x=a；
【分析】（1）根据阅读材料中方程左右两边的规律：都是三次项+一次项，即可写出方程的解；
（2）根据阅读材料中方程左右两边的规律：都是三次项+一次项，即可写出方程的解；
（3）将x=a代入方程，根据左边=右边，即可进行验证结论.
24．【答案】（1）-5；7；12
（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：-5-1+2-3+4-5+6-7+…+2018-2019，
＝-5+1009-2019，
＝-1015．
答：点P所对应的数为-1015；
（3）解：设点P对应的有理数的值为x，
①当点P在点A的左侧时：PA＝-5-x，PB＝7-x，
依题意得：
7-x＝3（-5-x），
解得：x＝-11；
②当点P在点A和点B之间时：PA＝x-（-5）＝x+5，PB＝7-x，
依题意得：7-x＝3（x+5），
解得：x＝-2；
③当点P在点B的右侧时：PA＝x-（-5）＝x+5，PB＝x-7，
依题意得：x-7＝3（x+5），
解得：x＝-11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去．
综上所述，点P所对应的有理数分别是-11和-2．
所以-11和-2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1） ∵（a+5）2+|b-7|＝0 ， ，，
∴a+5=0，b-7=0，
∴a=-5，b=7，
∴7-(-5)=12，
故答案为：-5，7，12.
【分析】（1）由非负数原理可得a=-5，b=7，再求A、B之间的距离即可；
（2）向左运动用负数表示，向右运动用正数表示，把这2019次 运动相加即可；
（3） 设点P对应的有理数的值为x， 分点P在 A的左侧 、 点P在点A和点B之间 、 点P在点B的右侧 分别建立方程求解。
25．【答案】（1）不是；是
（2）0或-8
（3）5或7.5或10
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：DB＝2DA，
那么点D不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点；
（2）如图2，4-（-2）＝6，6÷3×2＝4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4-（-8）＝12，-2-（-8）＝6，
同理：数-8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或-8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB＝4t，AB＝40+20＝60，PA＝60-4t，
点P走完所用的时间为：60÷4＝15（秒），
分四种情况：
①当PA＝2PB时，即2×4t＝60-4t，t＝5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB＝2PA时，即4t＝2（60-4t），t＝10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB＝2PB时，即60＝2×4t，t＝7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB＝2AP时，即60＝2（60-4t），t＝7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
故答案为：（1）不是，是；（2）0或-8；（3）5或7.5或10．
【分析】（1）根据“ 好点”的定义直接判定；
（2）根据“ 好点”的定义直接计算；
（3）分四种情况：PA＝2PB、PB＝2PA、AB＝2PB、B＝2AP，分别建立方程求解。
26．【答案】（1）解：a=4；b=16
（2）解：设P运动的时间为秒，P表示的数为，
根据题意，得，
解得，
，
∴，
答：P运动的时间为2秒，P表示的数为10；
（3）解：设点P、Q同时出发运动时间为秒，则P对应的数为，Q表示的数为，
根据题意，得，
解得，或（舍去），
∴，
当P返回时，设时间为t，则P表示的数为，Q表示的数为，
则列出方程 ，，
解得，
∴P表示的数为，
答：P点对应的数7或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
解得，．
答：、的值分别为4、16；
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）设P运动的时间为秒，P表示的数为，根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设点P、Q同时出发运动时间为秒，则P对应的数为，Q表示的数为，再列出方程求解即可。
27．【答案】（1）解：∵
∴a+5=0，b-4=0，即a=-5，b=4
∴数轴上点A，B所表示的数分别是-5、4
∴A，B两点之间的距离AB=|-5-4|=9．
（2）解：设经过t秒相遇，经过t秒后，点P表示的数是-5+t，点Q表示的数是4-2t
P、Q两点相遇时，P、Q两点表示同一个数，即-5+t=4-2t，解得t=3，
所以经过3秒两点相遇，此时点P、Q对应的是-5+t=-2；
（3）解：设t秒后
由题意可得：AP=t，BQ=2t≤9，即t≤4.5
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM=MP=AP=t，BN=NQ=BQ=t，
∴M表示的数为-5+t，N表示的数为4-t，P表示的数为-5+t，Q表示的数为4-2t，
MN=|-5+t -（4-t）|=|t - 9|，PQ=|4-2t-（-5+t）|=|9-3t|
∵，即|
∴|9-3t|=|t - |
∴9-3t=t - 或9-3t= - t
①当9-3t=t - 时，解得t=＜4.5，符合题意；
②当9-3t= - t时，解得t=2＜4.5，符合题意；
综上，当t=或t=2时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）先求出 a=-5，b=4 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 点P表示的数是-5+t，点Q表示的数是4-2t ，再列方程求解即可；
（3）根据题意先求出 AM=MP=AP=t，BN=NQ=BQ=t， 再列方程求解即可。
28．【答案】（1）解：∵M是线段AP的中点，
∴AM= AP=x，
PB=AB-AP=24-2x．
∵PB=2AM，
∴24-2x=2x，
解得x=6；
（2）解：24；∵AM=x，BM=24-x，PB=24-2x，
∴2BM-BP=2（24-x）-（24-2x）=24，即2BM-BP为定值。
（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧．
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24，PN= PB=x-12，
∴①MN=PM-PN=x-（x-12）=12是定值；
②MA+PN=x+x-12=2x-12，是变化的．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）格局线段的中点求出AM=x，再求出PB=24-2x，最后列方程计算求解即可；
（2）根据题意求出 2（24-x）-（24-2x）=24 即可作答；
（3）根据 PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24，PN= PB=x-12， 求解即可。
29．【答案】（1）3
（2）由题意得：，
点表示的数为：，
表示的数为：；
（3）72
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：（1）-2+5=3，
故答案为：3；
（3）设小红的年龄为x，则爷爷的年龄为（2x+32）岁，
依题意，4x+64=124+x，
解得：x=20，
则爷爷现在的年龄为：2x+32=72，
故答案为：72．
【分析】（1）根据点在数轴的位置关系求解；
（2）根据题意得，A，B是表示-10和14的三等分点，故可求出a，进而即可求解；
（3）根据年龄差不变，设未知数列方程求解．
1 / 1沪科版数学七年级上册第3章一次方程与方程组（专题拓展）
一、销售盈亏问题
1．（2021七上·庐阳期末）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价为60元，乙种商品的每件进价为100元．
（1）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为3600元，求甲、乙两种商品各多少件？
（2）在（1）的条件下，若甲种商品的每件售价为66元，要使得这50件商品卖出后获利10%，乙商品的每件售价为多少元？
【答案】（1）解：设甲种商品为x件，乙种商品为（50-x）件，
根据题意得：60x+100（50-x）=3600，
解方程：x=35，
则50-x=15，
答：甲种商品35件，乙种商品15件；
（2）解：设乙商品的每件售价为y元，
根据题意得：66×35+15y=（1+10%）×3600，
解方程得：y=110，
答：乙商品的每件售价为110元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种商品为x件，乙种商品为（50-x）件，根据题意列出方程60x+100（50-x）=3600，再求解即可；
（2）设乙商品的每件售价为y元，根据题意列出方程66×35+15y=（1+10%）×3600，再求解即可。
2．（2020七上·无为期末）一家服装店在换季时积压了一批服装．为了缓解资金的压力，决定打折销售．其中一条裤子的成本为80元，按标价五折出售将亏30元，
（1）求这条裤子的标价是多少元？
（2）另一件上衣按标价打九折出售，和这条裤子合计卖了230元，两件衣服恰好不赢不亏，求这件上衣的标价是多少元？
【答案】（1）解：设标价为x元，则
0.5x=80-30，
解得x=100，
即标价为100元；
（2）解：设这件上衣的标价为y元，
0.9y+50=230，
y=200，
即这件上衣的标价是200元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设标价为x元，根据售价=成本+利润列方程即可求出x的值；（2）设上衣的标价为y元，根据两件合计卖了230元列方程计算.
3．（2021七上·蚌埠期末）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
（2）在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值．
【答案】（1）解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，
由②得，③
将③代入①得：
，
将代入③得：，
解得
则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完．
（2）解：根据题意得，
45%a=13.5
．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可。
4．（2021七上·宣城期末）明明的妈妈是某单位的采购员，她两次去同一家超市购买、两种商品，两次购买、商品的数量和费用如下表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1030
第二次购物 3 7 1010
（1）求出商品、的价格；
（2）该超市在元旦那天搞商品促销活动，所有商品按同样的折数打折销售，明明的妈妈又去买了商品9个，商品8个，共花费1040元，问商品按原价的几折销售？
【答案】（1）解：设商品每个元、商品的每个元，由题意得：
，解得：，
答：商品每个80元、商品的每个110元．
（2）解：设该超市是打折出售这两种商品的，由题意得：
，解得：，
答：该超市是打6.5折出售这两种商品的．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商品每个元、商品的每个元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设商品每个元、商品的每个元，根据题意列出方程，再求出m的值即可。
5．（2021七上·蚌埠期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共600只，这两种节能灯的进价、售价如表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？
【答案】（1）解：设进甲x只，则进乙只．
有，
解得，
∴甲节能灯进只，乙节能灯进只；
（2）解：设进甲只，则进乙只，
有
解得，
则进甲只，进乙只，
此时利润为：（元），
∴甲节能灯进225只，乙节能灯进375只，利润为6750元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意，列方程，再利用利润公式计算求解即可。
二、工程问题
6．（2021七上·定远期末）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
（1）求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
（2）现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
（3）已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
【答案】（1）解：天，
答：乙工程队单独完成需要30天；
（2）解：天，
答：还需要9天才能完成；
（3）解：设甲工程队需要施工x天，
，
解得：，
乙工程队需要施工=15天．
答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出 天， 即可作答；
（2）根据甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作， 求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
7．（2023七上·哈尔滨月考）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程.由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作.已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天.
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
（2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
（3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天
【答案】（1）解：设：乙工程队单独完成此工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，
∴
解得：
∴乙工程队单独完成此工程需要15天，甲工程队单独完成此项工程需要40天.
（2）解：由（1）知甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，
设：再合作m天可完成此项工程的，
∴
解得：
∴再合作6天可完成此项工程的.
（3）解：设：甲工程队单独工作a天，乙工程队单独工作b天，
∴
解得：
∴甲工程队参加工作16天.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队单独完成此工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题干：甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天，列方程即可求解；
（2）由（1）知甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，设：再合作m天可完成此项工程的，根据题干：甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的，列方程即可求解；
（3）设：甲工程队单独工作a天，乙工程队单独工作b天，根据已知信息和题干：甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，列方程即可求解.
8．（2022七下·哈尔滨开学考）一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的，第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有 公顷．
【答案】189
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这片地共有 公顷，则第一天耕了 公顷，第二天耕了 ，根据题意得：
，
解得： ，
答：这片地共有189公顷．
故答案为：189
【分析】设这片地共有 公顷，根据题意列出方程 求出x的值即可。
9．（2021七上·洪山期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点.钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t.
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
开采天数（天） 每天开采量（t） 含铁率 总产铁量（t）
一期 x 1920 50%
二期
1920+330 50%+10%
并分别求出一期和二期的开采天数.
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出.由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值.
【答案】（1）解：根据题意，一期总产铁量为： （吨）；二期开采天数为（x-3），二期总产铁量为： （吨）；
填表得，
开采天数（天） 每天开采量（t） 含铁率 总产铁量（t）
一期 x 1920 50% 960 x
二期 x-3 1920+330 50%+10% 1350 x-4050
根据题意列方程得， ，
解得， ， ，
答：一期和二期的开采天数分别为20天和17天；
（2）解：由（1）得，一期总产铁量为 吨，二期总产铁量为 吨，
根据题意列方程得， ，
解得， ，
答：a的值为0.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）根据总产铁量=每天开采量×开采天数×含铁率可得总产铁量，据此补全表格，然后根据二期总产铁量比一期提高了3750 t建立方程，求解即可；
（2）根据（1）可得一期、二期的总产铁量，然后根据总产铁量×每吨的定价可得一期的总售价、二期的总售价，根据二期的总售价比一期多4170万元建立方程，求解即可.
三、行程问题
10．（2021七上·交城期末）问题情境：
某市环城旅游公路暨公路自行车赛道环山而建，全长136km，将多处景点串连成一条线，是该市首条自行车专用赛道．周日，一自行车旅行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时，乙从赛道B端出发，二人相向而行．甲到达B端后停止骑行，乙到A端后也停止骑行，已知甲的平均速度为50km/h，乙的平均速度为30km/h．设甲骑行的时间为x h，请解决下列问题．
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的式子表示：甲离开A端的赛程为 km，乙离开B端的赛程为 km；
（2）当甲、乙二人相遇时，x为 h．
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30km/h．若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6km时，求x的值．
【答案】（1）50x；30（x-）
（2）1.95
（3）解：丙离开B端的路程为30（x-1）km，
相遇前：50x+30（x-1）=136-6，解得x=2；
相遇后：50x+30（x-1）=136+6，解得x=2.15；
综上，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，x的值为2或2.15．
【知识点】用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】(1)解：∵甲的平均速度为50km/h，甲骑行的时间为x h，
∴甲离开A端的赛程为50x；
∵乙的平均速度为30km/h，骑行时间是（x-）h，
∴乙离开B端的赛程为30（x-）km；
故答案为：50x，30（x-）；
(2)由题意得50x+30（x-）=136，
解得x=1.95，
即当甲、乙相遇时，x的值是1.95；
故答案为：1.95；
【分析】根据路程=时间速度即可得出答案；
（2）根据甲的路程+乙的路程=总路程，列出方程即可得出x的值；
（3）分相遇前和相遇后分别列出方程即可。
11．（2023七下·苏州期末）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长
【答案】解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min.
由题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300.
解得x＝150.
所以2.5x＝2.5×150＝375，
4x＋300＝4×150＋300＝900.
答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行，首次相遇，快走走的路程-慢者走的路程=环形周长，列出方程求出其解即可.
12．（2023九上·成都开学考）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米．
（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？
（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的施工速度进行施工，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队共同施工60天，再由乙单独多施工天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．
【答案】（1）解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲队每天至少修路400米．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍）．
答：m的值为20．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】⑴、列不等式解答工作量问题，总工作量减去甲乙40天合作完成的工作量也即剩余工作量，根据剩余工程总量不超过18000米可列不等式求解。
⑵、根据题意列方程求解即可，甲工程队60天的工作量加乙工程队（60 +m+7）天的工作量等于总工作量。
13．（2023七下·江津期中）某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度，平路速度，下坡速度，那么他从家到学校需要，从学校回家需要．则该同学家到学校全程是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设该同学家到学校的上坡路长为xm，平路路程为ym，
根据题意可得：
，
解得：，
∴该同学家到学校全程为x+y=800+700=1500，
故答案为：1500.
【分析】设该同学家到学校的上坡路长为xm，平路路程为ym，根据题意列出方程组求解即可。
四、方案决策问题
14．（2023七上·六安月考）下面是国家邮政局关于信函邮资的规定．
业务种类 计费单位 资费标准／元
本地资费 外地资费
信函 首重 内，每重 （不足 按 计算）
续重 每重 （不足 按 计算）
（1）一封重 的信寄给本市的朋友，应该付多少邮资？
（2）一封信件寄往外地，共付8元邮资，这封信件最多重多少克？
【答案】（1）解： 元
（2）解：200克
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）45÷20=2......5
则应该付邮费：3×0.8=2.4（元）
故答案为：2.4元
（2） 设这封信件最多重x克，由题意可得：
解得：x=200
故答案为：200克
【分析】（1）45克小于100克，分2个20克，余5克，则按3个20克计算即可求出答案；
（2）设这封信件最多重x克，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
15．（2021七上·包河期中）为了严格控制水果质量，某果园建立了严格的果品标准，按照“糖酸度、鲜度、细嫩度、香味、安全性”将果园内种植的红富士苹果分成了18个等级，1级红富士的品质最好，2级次之，以此类推，第18级品质最差，果园在销售红富士时，制定销售价格如下：第9级的红富士售价为16元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升0.5元；品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元．
（1）若红富士的等级为n，用含n的代数式表示该级的售价（单位：元/千克）；
①当n＜9时，售价为 元/千克；
②当n＞9时，售价为 元/千克；
（2）水果店老板小蓓计划在该果园购进5级红富士300千克，果园负责送货上门，但要收200元的运费，因小蓓是果园的老客户，果园负责人给出了如下两种优惠方案：
方案一：降价5%，并减免全部运费；方案二：降价8%，但运费不减．
请你帮小蓓计算哪种优惠方案更加合算．
【答案】（1）16+0.5（9-n）；16-0.4（n-9）
（2）因为9级红富士每千克为16元， 由（1）知5级红富士每千克为：16+0.5（9-5）=18元，买300千克的价格为：
方案一： 元，
方案二： 元，
因为 ，所以方案一合算．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：①当n＜9时，若红富士的等级为n，则品质就提升9-n级，因为品质每提升一级，每千克售价将提升0.5元，并且9级红富士每千克16元，所以n级红富士的价格为：16+0.5（9-n）；②当n＞9时，若红富士的等级为n，则品质就下降n-9级，因为品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元，所以n级红富士的价格为16-0.4（n-9）．
故答案为：①16+0.5（9-n）②16-0.4（n-9）；
【分析】（1） 第9级的红富士售价为16元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升0.5元；品质每下降1级，每千克的售价将降低0.4元 ，依据可用含n的代数式表示该级的售价；
（2）根据两种优惠方案可得出 水果店老板小蓓 需要的钱数，再比较大小即可求解。
16．（2021七上·庐江期中）前进服装厂生产一种夹克和 恤，夹克每件定价200元， 恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件 恤；
②夹克和 恤都按定价的80%付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克30件， 恤 件 ．
（1）若该客户按方案①购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；
（2）若 ，按方案①购买夹克和 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）(100x+3000)；(80x+4800)
（2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）；
当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元），
因为7000＜8000，
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下：
先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元），
按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元），
所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元，
所以此种购买方案更为省钱．
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：（1）该客户按方案①购买，
夹克需付款30×200=6000（元），
T恤需付款100（x-30）元，
夹克和T恤共需付款（100x+3000）元；
若该客户按方案②购买，
夹克需付款30×200×80%=4800（元），
T恤需付款100×80%x=80x（元），
夹克和T恤共需付款（80x+4800）元；
故答案为：(100x+3000)；(80x+4800)；
【分析】（1）该客户按方案①购买，代入数值计算即可得出夹克和T恤分别需要的钱数， 按方案②购买夹克和T恤共需付款的钱数；
（2）把x=40分别代入（1）的代数式，得出 按方案①购买所需费用 ， 按方案②购买所需费用；
（3）可先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱。
五、配套问题
17．（2023七上·达川期末）某车间有22名工人生产，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，1个螺钉要配2个螺母．为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则应该分配 名工人生产螺钉．
【答案】10
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设应该分配x名工人生产螺钉，根据题意得
2×1200×=2000（22-x）
解之：x=10.
故答案为：10
【分析】此题的等量关系为：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉入数×2=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母人数；再设未知数，列方程，求出方程的解.
18．（2023七下·滨江期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．
【答案】（1）解：设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，
根据题意得：，
解得：．
答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个；
（2）解：是的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
是的整数倍．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，则横式纸盒需要长方形纸片3x张，需要正方形纸片2x张，竖式纸盒需要长方形纸片4y张，需要正方形纸片y张，根据横式纸盒需要长方形纸片的数量+竖式纸盒需要长方形纸片的数量=300及横式纸盒需要正方形纸片的数量+竖式纸盒需要正方形纸片的数量=100，建立方程组，求解即可得出答案；
（2）a+b应该是5的整数倍，理由如下，设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，根据（1）的等量关系可得方程组，再将方程组中的两个方程相加即可得出结论.
六、新定义阅读理解问题
19．（2021七上·利辛期末）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所有整数之和都相等。
（1）可求得 ，★= ，☆= ．
（2）定义新运算，，例如，若则 ．
（3）数轴上、两点对应数为、（已在前两问求得），点为数轴上一动点，点从原点出发，如果点、点和点分别以速度为1、2、3（单位长度/秒）向右运动，经过几秒后，为的中点．
【答案】（1）9；-6；2
（2）-2
（3）解：设经过秒，P为AB的中点，
∴此时A表示的数为，B表示的数为，P表示的数为
∴
∴．
【知识点】定义新运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解（1）由题意得： ，
∴，，
∴可知方格中的数是以9，-6，进行循环的，
∵2所在的方格为第9格，
∴，
故答案为：9；；2；
（2）由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：-2；
【分析】（1）根据题意先求出，再求解即可；
（2）先求出，再求出，最后计算求解即可；
（3）先求出 此时A表示的数为，B表示的数为，P表示的数为 ，再列方程求解即可。
20．（2020七上·庐阳期中）若在一个 的方格中填写了 个不同的数字(正整数)，且使得每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，则称这个 的方格为“三阶幻方”；
（1）如图1是一个三阶幻方，则 ； ；
4 a 2
b 5 7
8
图1
（2）在图2中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
9 2 7
5
3
图2
（3）已知 为正整数， 且 ，在下面的方格中填写适当的代数式，使它能构成一个三阶幻方
【答案】（1）9；3
（2）
（3）
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由左下至右上对角线上三个数字之和2+5+8=15可知每行、每列、每条对角线之和均为15，
∴有4+a+2=15，4+b+8=15，∴a=15-6=9，b=15-12=3；
故答案为9；3；（2）可以得到第一行三数之和为：9+2+7=18，
∴第一列中间数字为：18-9-5=4，第三列中间数字为：18-7-3=8，
第三行中间数字为：18-5-3=10，最中间数字为：18-4-8=6，即为：
9 2 7
4 6 8
5 10 3
；（3）可以得到左上至右下对角线上三个数字之和为：m+3n+m+m-3n=3m，
∴第一列中间数字为：3m-(m+3n+m-n)=m-2n，
第三列第一个数字为：3m-(m+2n+m-3n)=m+n，
第一行中间数字为：3m-(m+3n+m+n)=m-4n，
第三行中间数字为：3m-(m-n+m-3n)=m+4n，即为：
m+3n m-4n m+n
m-2n m m+2n
m-n m+4n m-3n
【分析】（1）根据每行、每列的数据之和相等，列出方程，进行求解即可；
（2）根据定义，用上面三个数据之和减去第三行两数之和求出中间的数据，再利用第一行之和，分别算出中间的数据；
（3）根据题干“三阶幻方”的定义计算即可。
21．（2020七上·六安期末）（定义）若关于 的一元一次方程 的解满足 ,则称该方程为“友好方程”，例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“友好方程”．
（1）（运用）① ，② ，③ 三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于 的一元一次方程 是“友好方程”，求 的值；
（3）若关于 的一元一次方程 是“友好方程”，且它的解为 ,求 与 的值．
【答案】（1）②
（2）解：方程 的解为 ，
∵关于x的一元一次方程 是“友好方程”，
∴ ，
解得
（3）解：∵方程 是“友好方程”，且它的解为 ，
∴ ， ，
解方程 ，
解得 ，即 ， ，
由 得 ，
∴ ，
【知识点】一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①方程 的解为 ，而 ，因此方程 不是“友好方程”；②方程 的解为 ，而 ，因此方程 是“友好方程”；③方程 的解为 ，而 ，因此方程 不是“友好方程”；
故②符合题意；
【分析】（1）求出方程的解，依次进行判断即可；（2）求出方程的解 ，根据“友好方程”的定义，得到 ，即可求出 的值；（3）根据“友好方程”的定义以及解为 ，得到 ，解方程 ，得到 ，即 ，通过上面两个式子整理化简即可求出m和n的值.
22．（2020七上·包河期末）将自然数按照下表进行排列：
用 表示第 行第 列数，例如 表示第4行第3列数是29．）
（1）已知 ， ， ；
（2）将图中5个阴影方格看成一个整体并在表格内平移，所覆盖的5个自然数之和能否为2021？若能，求出这个整体中左上角最小的数；若不能，请说明理由；
（3）用含 的代数式表示 ．
【答案】（1）6；5
（2）解：设其中最小的数为x，则其余4个数可表示为： 、 、 、 ，
则： + + + =2021，
即： ，
解得： ，
∵ ，
∴395是第44行第9列的数，
∵ ，其是第45行第4列的数，
∴二者不在同一行，
∴将图中5个阴影方格看成一个整体并在表格内平移，所覆盖的5个自然数之和不能为2021；
（3）9m+n-10
【知识点】用字母表示数；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）观察表中数据规律加以推算可得：当 时， 6， 5，
故答案为：6，5；（3）根据题意可得： ，
故答案为： .
【分析】（1）观察表中的数据，然后根据数据的变化即可求解；（2）设其中最小的数为x，则其余4个数可表示为： 、 、 、 ，然后利用和为2021建立方程进一步求解，观察其是否符合题意即可；（3）根据表中数据的变化进一步找出代数式即可.
23． 阅读下列材料：
关于x的方程
x3+x=13+1的解是x=1；
x3+x=23+2的解是x=2；
x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2；
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3+x=43+4的解为
（2）比较关于x的方程x3+x=a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是
（3）请验证第(2)问猜想的结论．
【答案】（1）x=4
（2）x=a
（3）证明：将x=a代入方程得，
左边=a3+a=右边，
∴关于x的方程x3+x= a3+a 的解为x=a.
【知识点】探索数与式的规律；一元整式方程
【解析】【解答】解：（1）根据阅读材料找规律可知：
关于x的方程x3+x=43+4的解为x=4；
故答案为：x=4；
（2）根据阅读材料找规律可知：
关于x的方程x3+x=a3+a的解为x=a；
故答案为：x=a；
【分析】（1）根据阅读材料中方程左右两边的规律：都是三次项+一次项，即可写出方程的解；
（2）根据阅读材料中方程左右两边的规律：都是三次项+一次项，即可写出方程的解；
（3）将x=a代入方程，根据左边=右边，即可进行验证结论.
七、数轴动点问题
24．（2023七上·定远月考）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且（a+5）2+|b-7|＝0．
（1）则a＝ ，b＝ ；A、B两点之间的距离＝ ．
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2019次时，求点P所对应的数．
（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？请直接写出此时点P所对应的数，并分别写出是第几次运动．
【答案】（1）-5；7；12
（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：-5-1+2-3+4-5+6-7+…+2018-2019，
＝-5+1009-2019，
＝-1015．
答：点P所对应的数为-1015；
（3）解：设点P对应的有理数的值为x，
①当点P在点A的左侧时：PA＝-5-x，PB＝7-x，
依题意得：
7-x＝3（-5-x），
解得：x＝-11；
②当点P在点A和点B之间时：PA＝x-（-5）＝x+5，PB＝7-x，
依题意得：7-x＝3（x+5），
解得：x＝-2；
③当点P在点B的右侧时：PA＝x-（-5）＝x+5，PB＝x-7，
依题意得：x-7＝3（x+5），
解得：x＝-11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去．
综上所述，点P所对应的有理数分别是-11和-2．
所以-11和-2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1） ∵（a+5）2+|b-7|＝0 ， ，，
∴a+5=0，b-7=0，
∴a=-5，b=7，
∴7-(-5)=12，
故答案为：-5，7，12.
【分析】（1）由非负数原理可得a=-5，b=7，再求A、B之间的距离即可；
（2）向左运动用负数表示，向右运动用正数表示，把这2019次 运动相加即可；
（3） 设点P对应的有理数的值为x， 分点P在 A的左侧 、 点P在点A和点B之间 、 点P在点B的右侧 分别建立方程求解。
25．（2023七上·定远月考）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D 【A，B】的好点，但点D 【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2．数
所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过
秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）不是；是
（2）0或-8
（3）5或7.5或10
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：DB＝2DA，
那么点D不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点；
（2）如图2，4-（-2）＝6，6÷3×2＝4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4-（-8）＝12，-2-（-8）＝6，
同理：数-8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或-8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB＝4t，AB＝40+20＝60，PA＝60-4t，
点P走完所用的时间为：60÷4＝15（秒），
分四种情况：
①当PA＝2PB时，即2×4t＝60-4t，t＝5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB＝2PA时，即4t＝2（60-4t），t＝10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB＝2PB时，即60＝2×4t，t＝7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB＝2AP时，即60＝2（60-4t），t＝7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
故答案为：（1）不是，是；（2）0或-8；（3）5或7.5或10．
【分析】（1）根据“ 好点”的定义直接判定；
（2）根据“ 好点”的定义直接计算；
（3）分四种情况：PA＝2PB、PB＝2PA、AB＝2PB、B＝2AP，分别建立方程求解。
26．（2022七上·凤阳月考）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足．
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，当时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求P点对应的数．
【答案】（1）解：a=4；b=16
（2）解：设P运动的时间为秒，P表示的数为，
根据题意，得，
解得，
，
∴，
答：P运动的时间为2秒，P表示的数为10；
（3）解：设点P、Q同时出发运动时间为秒，则P对应的数为，Q表示的数为，
根据题意，得，
解得，或（舍去），
∴，
当P返回时，设时间为t，则P表示的数为，Q表示的数为，
则列出方程 ，，
解得，
∴P表示的数为，
答：P点对应的数7或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
解得，．
答：、的值分别为4、16；
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）设P运动的时间为秒，P表示的数为，根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设点P、Q同时出发运动时间为秒，则P对应的数为，Q表示的数为，再列出方程求解即可。
27．（2021七上·定远期末）若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即或．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足．
（1）求点A，B两点之间的距离；
（2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？
（3）在（2）的条件下，整个运动过程中，设运动时间为t秒，点Q到达点A停止运动，若的中点为点M，的中点为点N，当t为何值时，．
【答案】（1）解：∵
∴a+5=0，b-4=0，即a=-5，b=4
∴数轴上点A，B所表示的数分别是-5、4
∴A，B两点之间的距离AB=|-5-4|=9．
（2）解：设经过t秒相遇，经过t秒后，点P表示的数是-5+t，点Q表示的数是4-2t
P、Q两点相遇时，P、Q两点表示同一个数，即-5+t=4-2t，解得t=3，
所以经过3秒两点相遇，此时点P、Q对应的是-5+t=-2；
（3）解：设t秒后
由题意可得：AP=t，BQ=2t≤9，即t≤4.5
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM=MP=AP=t，BN=NQ=BQ=t，
∴M表示的数为-5+t，N表示的数为4-t，P表示的数为-5+t，Q表示的数为4-2t，
MN=|-5+t -（4-t）|=|t - 9|，PQ=|4-2t-（-5+t）|=|9-3t|
∵，即|
∴|9-3t|=|t - |
∴9-3t=t - 或9-3t= - t
①当9-3t=t - 时，解得t=＜4.5，符合题意；
②当9-3t= - t时，解得t=2＜4.5，符合题意；
综上，当t=或t=2时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）先求出 a=-5，b=4 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 点P表示的数是-5+t，点Q表示的数是4-2t ，再列方程求解即可；
（3）根据题意先求出 AM=MP=AP=t，BN=NQ=BQ=t， 再列方程求解即可。
28．（2020七上·霍邱期末）如图1，线段 长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 运动，M为 的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当 时，求x的值
（2）当P在线段 上运动时， ▲ ，请填空并说明理由．
（3）如图2，当P在 延长线上运动时，N为 的中点，下列两个结论：① 长度不变；② 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
【答案】（1）解：∵M是线段AP的中点，
∴AM= AP=x，
PB=AB-AP=24-2x．
∵PB=2AM，
∴24-2x=2x，
解得x=6；
（2）解：24；∵AM=x，BM=24-x，PB=24-2x，
∴2BM-BP=2（24-x）-（24-2x）=24，即2BM-BP为定值。
（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧．
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24，PN= PB=x-12，
∴①MN=PM-PN=x-（x-12）=12是定值；
②MA+PN=x+x-12=2x-12，是变化的．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）格局线段的中点求出AM=x，再求出PB=24-2x，最后列方程计算求解即可；
（2）根据题意求出 2（24-x）-（24-2x）=24 即可作答；
（3）根据 PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24，PN= PB=x-12， 求解即可。
29．（2023七上·蚌埠月考）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合点在点的左边．
（1）【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为 ；
（2）【数学探究】
如图，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为请确定的值及图中，两点表示的数；
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 岁
【答案】（1）3
（2）由题意得：，
点表示的数为：，
表示的数为：；
（3）72
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：（1）-2+5=3，
故答案为：3；
（3）设小红的年龄为x，则爷爷的年龄为（2x+32）岁，
依题意，4x+64=124+x，
解得：x=20，
则爷爷现在的年龄为：2x+32=72，
故答案为：72．
【分析】（1）根据点在数轴的位置关系求解；
（2）根据题意得，A，B是表示-10和14的三等分点，故可求出a，进而即可求解；
（3）根据年龄差不变，设未知数列方程求解．
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