吉林省长春市长春新区吉大慧谷学校2023-2024年度上学期第二次质量监测九年级数学试卷（PDF版，无答案）

2023-2024 年度上学期长春新区吉大慧谷学校第二次质量监测
九年级数学试卷
考试时间：120分钟 总分：120分 出题人：董丽新 一审：张艳秋 终审：肖静纯
一、选择题（共 8小题，每题 3分，共 24分）
1．抛物线 y＝x2+1 的顶点是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（1，1）
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个
点 A、 B 、C 都在横线上.若线段BC = 3cm，则线段 AC 的长是（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
3． 2 tan45 的值为（ ）
1
A．1 B． 2 C．2 D．
2
4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯 AC 的顶端 A 恰好放在书架
的第七层的顶端．已知登高梯的长度 AC 为 3 米，登高梯与地面的夹角 ACB 为
72 ，则书架第七层顶端离地面的高度 AB 为（ ）
3 3
A．3sin72 米 B． 米 C．3cos72 米 D． 米
sin 72 cos 72
（第 2 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）
5． 如图，△ABC 的顶点 A、B、C 均在⊙O 上，若∠ABC＝25°，则∠AOC 的大小是
（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
6．如图，在△ABC 中，点D、E、F分别为边BC，AD，CE 的中点，S△ABC = 16cm ，
则 S△EBF =（ ）
A．8cm2 B． 4cm2 C．6cm2 D． 2cm2
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7．某超市经销一种水果，每千克盈利 10 元，每天销售 500 千克，经市场调查反映：
若每千克涨价 1 元，每天销售量减少 20 千克，设每千克涨价 x（单位：元），且
0 x 25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（ ）
A． y = 500 20x B． y = (500 20x)(10+ x)
C． y = (500+10x)(10 x) D． y = (500 10x)(10+ x)
k
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B 在函数 y = (k 0, x 0) 的图象上，分别
x
以 A、 B 为圆心，1为半径作圆，当 A与 x轴相切、 B与 y 轴相切时，连结
AB， AB = 4 2 ，则 k 的值为（ ）
A．3 B． 4 2 C．4 D．5
y
A
B O
A x B
O
（第 8 题） （第 11 题） （第 12 题） （第 13 题）
二、填空题（共 6小题，每题 3分，共 18分）
9．已知 O的半径为5cm，若OP = 6cm，那么点 P 在 O ．
10．若一元二次方程 x2－2x－3a=0 无实根，则 a 取值范围是 ．
11．如图，△ABC 和△DEF 是以点O为位似中心的位似图形，相似比为 2:3，则
△ABC 和△DEF 的面积比是________．
12．如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB．他调整自己的位
置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两
条直角边 DE＝40cm．EF＝30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC＝1.5m，CD＝
10m，求树高 AB 是________m．
13．正方形网格中， AOB如图放置，则sin AOB的值为________.
14．当 x=a 或 x=b（a≠b）时，代数式 x2-4x+2的值相等，则当 x=a+b 时，代数式
x2-4x+2的值为________．
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三、计算题（共 78分）
2 2
15．（6 分）计算：（1） 3 + 3 + 4cos30° 27 （2） x 3x + 2 = 0
16．（6 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个球，其中 1 个红球，1 个黄球，2 个白球，
它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为 ；
（2）先摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再摸出 1 个球，求两次摸出的球恰好一
黄一白的概率（要求画树状图或列表）．（设红球为A，黄球为B，白球为C）
17．（6 分）如图，是8 8的正方形网格，每个小正方形的顶点
叫作格点．A、B、C、D 四点是格点且在圆上， 仅用无
A B A B
刻度的直尺在给定网格中完成画图 ．
（1）在图中，画出经过 A、B、C 这三点的圆的圆心 O ；
C D C
（2）在图中， O 的面积是_______ ；
（3）在图中，过点 C 作 O 的切线 CD ．
（ 图1
图2
第 17 题）
18. （7 分）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽 6m 时，水面离桥拱顶部 3m，现建
立如图所示坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）因暴雨水位上升 1m，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为 0.5m，宽
4m，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由.
（第 18 题）
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19.（7 分）如图， AB 是 O的直径， AD平分 BAC ，交 O于点 D，过点 D 作直线
DE ⊥ AC，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F．
（1）求证： EF 是 O的切线；
（2）过点 O 作OH ⊥ AD，交 AD于点 H，连接BD，若BD = 6， AH = 3 3 ，
则 O的半径= ．
（第 19 题）
20．（7 分） 随着近几年我国私家车日愈增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因
之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计
了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点P，在笔直的车道m
上确定点 O，使 PO 和 m垂直，测得 PO 的长等于 21 米，在 m 上的同侧取点 A、
B，使∠PAO=30°，∠PBO=60°．
（1）求 A、B 之间的路程（保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为 12 米/秒，若测得某校车从 A 到 B 用了 2 秒，这辆
校车是否超速？请说明理由．
（第 20 题）
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1
21．（8 分）利用函数图象探究方程 x x 2 = 的实数根的个数．
2 y
1
（1）设函数 y = x x 2 ，则这个函数的图象与直线 y＝
2
1
的交点的_______坐标(填横或纵)就是方程 x x 2 = x
2 O
的实数根．
（2）分类讨论：当 时， y = x2x 2 + 2x ；当 x 2时，
y ＝ ；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当 x 2时的函数图 （第 21 题）
象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当 x 2时的函数图象．
1 1
（4）在给定的坐标系中画直线 y＝ ,观察图象可知方程 x x 2 = 的实数根有 个．
2 2
（5）深入探究：若关于x的方程2 x x 2 = m 有3个实数根，则m的取值范围是 ．
22. （9 分）【教材原题】如图①，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，P 是对角线 BD 的中
点，M 是 DC 的中点，N 是 AB 的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
【应用】如图②，连结图①中的 AC，并取 AC 中点 Q，连结 MQ、NQ．
（1）若 AD=8 ，则四边形 PMQN 的周长为 ．
（2）若 AD=4，且∠DAB+∠ABC＝90°，则四边形 PMQN 的面积为 ．
M
D C D M C
M CD
P Q P Q
P
A N B A N B A N B
图① 图② 图③
（第 22 题）
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23.（10 分）如图，在□ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，∠ADB=90°，∠A=60°，
AD=4．动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 AB-BC 向终点 C 匀速运
动．连结 PO 并延长交折线 CD-DA 于点 Q．将线段 PQ 绕着点 P 逆时针旋转 60°得
到线段 PE，连结 QE．设点 P 的运动时间为 t（s）．
（1）用含 t 的代数式表示 PB 的长．
（2）当点 P 在边 AB 上运动时，求证：AP=CQ．
（3）当点 E 在△ABD 内部时，求 t 的取值范围．
（4）当△PQE 与△BCD 的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出 t 的值．
E
D Q C
O
A P B
（第 23 题）
24.（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 + bx + c（b 为常数）顶点 M 的标为
（2，－5），点 P、点 Q 均在这个抛物线上，点 P 的横标为 m，点 Q 的横坐标为
2－m，将此抛物线上 P、Q 两点之间的部分（包括 P、Q 两点）记为图象 G.
（1） b=________， c=________；
（2） 当点 P 与点 Q 重合时，求点 P 的坐标；
（3） 当顶点 M 在图象 G 上时，设图象 G 最高点的纵坐标与最低点的纵标的差为
d，求 d 与 m 之间的函数关系式；
（4） 矩形 ABCD 的顶点分别为 A（1，2）、B（－2－m，2）、C（－2－m，－3），
D（1，－3），当点 P 在点 Q 左侧且图象 G 在形 ABCD 内部的部分所对应
的函数值 y 随 x 的增大而减小或增大而增大时，直接写出 m 的取值范围.
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