第26章《反比例函数》单元测试卷（含解析）

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人教版2023年九年级下册第26章《反比例函数》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A． B． C． D．
2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　）
A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
3．计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，则k的取值范围是(　　)
A．k＞－2 B．k＜0
C．k＞0 D．k＜－2
5．关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．它的图象分布在第三、四象限 B．它的图象过点
C．当时，的值随的增大而增大 D．它的图像只是轴对称图形
6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一直角坐标系中，函数与图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
9．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ）

A． B． C． D．
10．如图所示，过反比例函数在第一象限内的图象上任意两点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，设与的面积为，，那么它们的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题（共18分）
11．若反比例函数的图象过点，则的值为 ．
12．已知函数是反比例函数，则 ．
13．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
14．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是 ．
15．已知反比例函数，当时，y的最大值为 ．
16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 ．

三、解答题（共52分）
17．（6分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内， 画出这两个函数的图象．

18．（6分）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)点，是否在这个函数的图象上？
19．（6分）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3．
(1)试求的值；
(2)若，点的坐标．
20．（8分）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时是反比例函数的一部分．
(1)分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否在学生认真听讲的时间段完成任务，请说明理由．
21．（8分）某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存．
(1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式；
(2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？
(3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？
22．（9分）如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．

(1)如图1，连接，求，的坐标；
(2)如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式；
(3)如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
23．（9分）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求出点B的坐标及的面积；
(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2．A
【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．
【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．
3．B
【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式．
【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量，
，
故选：B．
4．D
【分析】根据反比例函数图象与关系（一、三象限；二、四象限）判断即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限
∴，即
故答案是：D.
【点睛】本题主要考查反比例函数图象与的关系，对该关系的准确应用是解题的关键.
5．C
【分析】反比例函数的图象，时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；根据这个性质选择则可．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：反比例函数中，
该函数图象位于二、四象限，故选项A不符合题意；
当时，，即它的图象过点，故选项B不符合题意；
当时，的值随的增大而增大，故选项C符合题意；
它的图象是中心对称图形，关于原点对称，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】求出，，的值，即可解答．
【详解】解：当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由反比例函数求自变量的值，求出，，的值是解题的关键．
7．D
【分析】本题只需结合函数的图象联立两方程进行求解，根据解的个数即可判断交点的个数．
【详解】解：依题意有
解得 ，
无解，
故两函数没有交点．
故答案选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也可以通过画两条函数的图象，没有交点，即交点为0．
8．D
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
，，
又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．
9．C
【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
10．B
【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．
∴，
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，再解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】根据反比例函数的解析式，得，且，求解即可．
【详解】解：由题意得：，且
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如，则y叫x的反比例函数，熟练掌握反比例函数解析式三种形式，，是解题的关键．
13．
【分析】有两函数的交点为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，再整体代入计算即可求出值．
【详解】解：把代入 ，
得
，
把代入，
得，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出与的值是解本题的关键．
14．
【分析】设，根据函数图象得出，进而即可求解．
【详解】解：设，依题意，
∴，
当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15．/
【分析】对反比例函数，在，随的增大而减小，则在时取得最大值．
【详解】解：当时，反比例函数的图象随的增大而减小，
则在时取得最大值，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意中的取值．
16．
【分析】由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得 的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论.
【详解】如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.

∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴联立 ，解得 ，
∴点的坐标为.
，
，
∴是等腰直角三角形.
，
，
，
设 则
∴点 的坐标为，
∵点在反比例函数上,
，
解得或(负值舍去).
∴点的坐标为 ；
，
，
，
，
，
设 则
∴点的坐标为
∵点在反比例函数 上,
，
解得 (负值舍去).
∴点的坐标为；
同理点的坐标为；
以此类推，可得点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
17．，图象见解析
【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法和函数图象的作法，解题的关键是知道反比例函数图象上的一点坐标求出反比例函数的解析式．
【详解】解：把代入得到：，
∴交点为，
把代入得：，
∴，
函数图象如图：

18．(1)
(2)点在反比例函数图象上，点不在反比例函数图象上
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值几何意义，解题的关键是：
（1）待定系数法解出函数解析式即可；
（2）将点的纵横坐标乘积看是否等于值即可判断．
【详解】（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2），
在反比例函数图象上，
，
不在反比例函数图象上．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据三角形面积求出的值是解此题的关键．
（1）根据反比例函数的几何意义可得，再结合反比例函数所在象限即可确定的值；
（2）由可得点的横坐标为2，代入反比例函数求得纵坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
反比例函数的图象位于第一象限，
，
；
（2）解：由（1）得：，
反比例函数解析式为：，
，
设，
将代入得：，
．
20．(1)；
(2)李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求出时的时刻，再求差，再与17比较大小求解．
【详解】（1）解：当时，设，
则：，
∴，
当时，，
∴，
当时，设，
则：，
解得：，
∴．
（2）李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
理由：当时，，
解得：
，
解得：，
所以李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
21．(1)
(2)30
(3)160人
【分析】（1）根据工作时间工作总量工作效率可得函数关系式；
（2）直接把代入解析式求解即可；
（3）根据题意求出剩余的玉米一天内全部入库需职工人数为200人，所以需增加的人数即可求出．
【详解】（1）解：根据关系式：工作时间工作总量工作效率可得：
入库所需的时间 t 与入库速度 v 的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
∴预计将全部大米入库最快可在30天内完成；
（3）粮库的职工连续工作了25天的入库量为，
由题可知：剩下的粮食需要再一天内完成入库，
则所需人数为 （人），
（人）．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
22．(1)，
(2)
(3)点坐标为或或
【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标；
（2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可；
（3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为，
，，
直线的解析式为，
当，，
，
，
，
，
，解得：，
；
（2）设的坐标为，
四边形为矩形，
为直角三角形，
当时，在外边，故不成立；
当时，
，
，
，
，
，
解得：，
，
设点，
，
，
，
，
设过点的反比例函数为，
，解得：，
过点的反比例函数为；
（3）使是等腰直角三角形，
设，，
①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
又，
，
，，
，解得：，
；
在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
，
当时，的坐标为或；
②当时，如下图，在上方，过点作轴于，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
此时不在边上，不符合题意；
③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
，
综上所述点坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式得求解，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
23．(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）联立，解得：或，
∴，
∵，当时，，
∴，
∴；
（3）存在，设点，
∵，，
∴，
∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，
①当为斜边时：，解得：；
②当为斜边时：，解得：；
∴或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．