安徽省桐城中学2023-2024学年度上学期
高一数学第二次教学质量检测
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. 或 B. 或
C 或 D.
2. 已知，若，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则的值等于（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
4. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是
C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根
7. 已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 4
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）
A. ，则
B. 若，则关于x的不等式的解集为
C. 若为常数，且，则的最小值为
D. 若的解集M一定不为
10. 已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A 当时，
B. 函数的最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
11. 已知函数的定义域为，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（ ）
A. 函数没有对称中心
B. 函数的对称中心为
C. 函数的对称中心的横坐标为
D. 定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 已知函数，若，则_________.
14. 函数的递减区间是______．
15. 若函数在定义域D内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”，则实数a的值为______.
16. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为______.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 已知.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
19. 已知函数，，
（1）若解集为，求的值；
（2）若对，总，使得，求实数取值范围.
20. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）当时，解关于x不等式.
21. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
22. 对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
（1）求证：；
（2）若，函数总存在不动点，求实数c的取值范围；
（3）若，且，求实数a的取值范围．安徽省桐城中学2023-2024学年度上学期
高一数学第二次教学质量检测
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
解得，或.
故选：A．
2. 已知，若，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，求得的范围，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.
【详解】解：由，，
得，
所以，
对于A，，
当时，，故A不一定正确；
对于B，，
当时，，故B不一定正确；
对于C，，
因为，所以，
所以，故C一定正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，故D不正确.
故选：C
3. 已知，则值等于（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数直接代入即可求值.
【详解】因为，所以，
所以
，
故选：B.
4. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果.
【详解】由题意，
当时，显然单调递增，则；
当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
又函数的值域为，
当，即时，，即，解得：，
当，即时，，，
综上，
故选：D.
【点睛】分段函数的的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论.
5. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围.
【详解】由，
仅当，即时等号成立，
要使不等式有解，只需，
所以.
故选：B
6. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是
C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断
【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，
对于B，当时，，由对勾函数性质知，
而是偶函数，的值域是，故B错误，
对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，
而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，
对于D，当时，，即，解得，故D正确，
故选：D
7. 已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】特值验证法排除CD：再分离参数将恒成立问题转化为函数最值求解可得选项.
【详解】由题意得，是偶函数，是奇函数，
且①，
则②，
由①②解得，
函数开口向上，且关于轴对称，在单调递增，
当时，不等式，即，
则对任意非零实数恒成立，即满足题意.
故排除CD.
当时，不等式，
由关于轴对称，在单调递增，
得，
即.分离参数得，
由作为一个整体参数可知所求的范围关于原点对称（可排除B）.
令，，
当且仅当，即时等号成立，
则，令，在是增函数，
则，
要使恒成立，则，则.
故选：A.
8. 已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，，
即，
设，是奇函数且在上递增，
所以，即，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）
A. ，则
B. 若，则关于x的不等式的解集为
C. 若为常数，且，则最小值为
D. 若的解集M一定不为
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确.
【详解】由题意，关于的不等式的解集为，
对于A中，若，即不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，所以A错误；
对于B中，若，可得和是方程 两个实根，且，
可得，解得，
则不等式，可化为，
即，解得或，
即不等式的解集为，所以B正确；
对于C中，若为常数，可得是唯一实根，且，
则满足，解得，所以，
令，因为且，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，
所以当的解集一定不为，所以D正确.
故选：AC.
10. 已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 函数的最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.
【详解】由题意得：，其图象如图所示：
由图象知：当时，，故A正确；
函数的最小值为，故正确；
函数在上单调递增，故错误；
方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；
故选：ABD
11. 已知函数定义域为，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义可得单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得.
【详解】设，则，即，
令，则，所以在上单调递减，
由，得，即，A正确；
因为，所以，
即，B正确；
因为，所以，C错误；
因为（当且仅当，即时，等号成立），
所以，D正确．
故选：ABD.
12. 的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（ ）
A. 函数没有对称中心
B. 函数的对称中心为
C. 函数的对称中心的横坐标为
D. 定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】由条件的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，结合对称中心的定义判断ABC选项，利用为奇函数求出值域，从而可求得上的值域，判断D选项.
【详解】由于的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，
对于A，因为，
所以，满足，是奇函数，
故关于点对称，故A错误；
对于B，因为，定义域为，满足，是奇函数，
所以点为的对称中心，故B正确；
对于C，设的对称中心为，
设，则，即，
即，
所以恒成立，即，
所以，故函数的对称中心的横坐标为，故C错误；
对于D，因为定义在的函数的图象关于点成中心对称.
所以可得为奇函数，
设，即是奇函数，
当时，，
所以，
时，，所以，
所以时，，故D正确；
故选：BD.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 已知函数，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的性质即可.
【详解】设，则，则
因为，
所以，
则.
故答案为：
14. 函数的递减区间是______．
【答案】和
【解析】
【分析】分别讨论和时转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.
【详解】当时，为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在期间单调递减，
当时，，开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，
综上所述：函数的递减区间是，
故答案为：和
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是去绝对值转化为分段函数，两段都是二次函数，利用二次函数的性质即可求解单调区间.
15. 若函数在定义域D内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”，则实数a的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】由在上的单调性求出a的一个范围，再令，则在上是减函数，分类讨论根据的单调性求参数a的范围，两范围取交集即可得解.
【详解】由题意可知函数在上是增函数，
，解得，
令，则在上是减函数，
①当时，在上为增函数，不符合题意；
②当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
，解得，又，.
故答案为：4
【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.
16. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出在上的值域，利用的性质得出在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围．
【详解】当时，，
由于为对称轴为开口向下的二次函数，在上单调递增，
可得在上单调递减，在上单调递增，，
在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，
，
，
故当，
在上的值域为，
当时，为增函数，
在上的值域为，
，解得，故的范围是；
当时，为单调递减函数，
在上的值域为，
，解得；故的范围是，
综上可知故的范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数恒成立或者存在类问题球参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 已知.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（3，4]；（2）[0，2]．
【解析】
【分析】（1）化简集合A，B根据交集的定义计算即可；
（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．
【详解】（1）A：（x﹣2）（x﹣4）≤0，则A＝[2，4]；
B：x＞3或x≤1，则B＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）；
则A∩B＝（3，4]；
（2）C：（x﹣a）[x﹣（a+4）]≤0，则a≤x≤a+4，
因为A C，则，
所以，解得a∈[0，2]．
【点睛】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．
18. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性即可得解；
（2）利用二次函数的性质，作出的图象，结合图象即可得解.
【小问1详解】
因为函数是定义域在上的奇函数，所以，
又当时，，
所以当时，则，故，
所以，
综上，.
【小问2详解】
当时，，其开口向下，对称轴为；
当时，，其开口向上，对称轴为；
作出的图象如图，
所以要使在上单调递减，必须，即，
所以.
19. 已知函数，，
（1）若的解集为，求的值；
（2）若对，总，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，不等式的解集为，可知是方程的根，求出的值，再解原二次不等式，即可的实数的值；
（2）分析可知，，求出函数在区间上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以，依题得不等式的解集为，
所以是方程的根，
所以，∴，
又因为，∴，
∴，所以满足题意，∴，解得，∴.
【小问2详解】
解：，总，使得，等价于，
由于在上单调递增，因此；
的对称轴为：.
①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
∴，∴，即，解得，舍去；
②若，即，函数在上单调递增，则，
∴，∴，解得，此时，；
③若，即，函数在上单调递减，则，
所以，，即，该不等式无解.
综上所述，的取值范围是.
20. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）当时，解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令可得；
（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性；
（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.
【小问1详解】
令，则, 可得；
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
由已知，对于有成立，，
令，则，
所以，对有，故是奇函数，
任取且，则，由已知有，
又，得
所以在上是减函数；
【小问3详解】
因为，
所以，
即，
因为在上是减函数，
所以， 即，又，
所以，
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为.
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决.
21. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元；
（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
【小问2详解】
依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22. 对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
（1）求证：；
（2）若，函数总存在不动点，求实数c的取值范围；
（3）若，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况进行分类讨论即可；
（2）问题转化成有解，利用判别式即可而得到答案；
（3）由可得有实根，，又，所以，即的左边有因式，从而有.再由题中条件，即可得出结果
【小问1详解】
若，则显然成立，
若，设，则，，即，
从而，故成立；
【小问2详解】
原问题转化为，有解，
∴即，
则即恒成立，
∴，∴，
所以实数c的取值范围为；
【小问3详解】
A中的元素是方程即的实根，
由，知或,解得，
B中元素是方程即的实根，
由知方程含有一个因式，即方程可化为：，
若，则方程①要么没有实根，要么实根是方程②的根，
若①没有实根，
当时，方程为，不成立，故此时没有实数根；
当时，，解得，此时且；
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有，
由此解得，再代入②得，解得，
综上，a的取值范围为．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
