皮山县高级中学2023-2024学年第一学期学段素养调研
高二年级数学
命题人： 审题人：
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是（ ）
A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据
C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据
【答案】A
【解析】
【分析】因为题目要研究某城市家庭的收入情况，那么观察、试验、查询均不能得到数据，只有去调查才能得到数据.
【详解】因为要研究的是某城市家庭的收入情况，所以通过调查获取数据．
故选：A
2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛掷硬币次，事件必发生次
B. 抛掷硬币次，事件不可能发生次
C. 抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D. 随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
3. 若，，则两点间的距离为
A. B. 25 C. 5 D.
【答案】C
【解析】
【详解】A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为
故选C
4. 哈三中高二年级有200名女生，现采用按比例分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，已知样本中有40名男生，则高二年级的学生数量是（ ）
A. 400名 B. 500名 C. 600名 D. 700名
【答案】C
【解析】
【分析】利用分层抽样的比例特征求解.
【详解】解：设高二年级的学生数量是x，
由题意得：，
解得 ，
故选：C
5. 甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．
【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，
则有，，
所求的事件可表示为，
．
故选：C．
6. 运动员甲 次射击成绩 （单位: 环） 如下: ，则下 列关于这组数据说法不正确的是（ ）
A. 众数为 和 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 方差为
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数，平均数，中位数和方差的定义，即可判断选项.
【详解】由题意，这组数据中 7 和9都出现 3 次，其余数出现次数没超过 3 次，
故众数为7和9，A正确；
计算平均数为 ，故B正确；
将10次射击成绩从小到大排列为: ，
则中位数为 ，故C错误；
方差为 ，故D正确.
故选：C
7. 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为（ ）
A. 0.16 B. 0.26 C. 0.56 D. 0.74
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．
【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：
至少有两人排队的概率为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．
8. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求得向量在向量方向上的投影.
【详解】依题意，向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
9. 从不超过15的质数中任取两个不同的数，其和是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型公式结合组合数公式计算即可.
【详解】不超过15的质数有，共6个数，从中任取2个数，有种，
和为偶数的有种，
所以概率为.
故选：C.
10. 利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等可能事件的概率计算求得，即可求解.
【详解】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，
故选：D.
11. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算法则列方程得到n，再利用空间向量夹角的计算的公式得到向量与的夹角的余弦值.
【详解】因为向量，，，
所以，，
又，
所以，得，
因此，
所以.
故选：B
12. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量基本定理求解即可.
【详解】由，点为的中点，
可得，
又，．
故选：B.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】依题意，解得，
所以，所以.
故答案：
14. 分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据各层的平均数得到各层的数据和，再求解样本的平均数.
【详解】＝.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查分层抽样和平均数，还考查了运算求解的能力，所以基础题.
15. 一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则问题得到解决的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】分甲解决乙不能解决，甲不能解决乙能解决，甲能解决乙也能解决三类，利用独立事件的概率求解.
【详解】因为甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，
所以问题得到解决的概率是，
故答案为：
16. 如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量法求得的长.
详解】，
所以
,
所以.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
【答案】（1）0.42；（2）0.46.
【解析】
【分析】
（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；
（2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解.
【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，
由题意可知，
所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥
所以
.
18. 已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数的值.
【答案】（1）-10 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.
（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.
（3）由,转化为数量积为0即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
当时，，得，
，或.
19. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg）结果如下：
83，96，75，91，70，107，100，80，97，94，
76，89，117，98，74，95，84，85，87，102
（1）计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数、平均数和极差；
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），试问每天应进多少千克苹果？
【答案】（1）中位数为90，平均数为90，极差为47；（2）99.
【解析】
【分析】（1）把数据从小到大排列，再根据中位数、平均数和极差的概念即可求出；
（2）根据百分位数的定义求出80%的位数，由此估计每天应进多少货物.
【详解】（1）将数据从小到大排列为：70,74,75,76,80,83,84,85,87,89,91,94,95,96,97,98,100,102,107,117.
所以中位数为，
平均数为=90，
极差为117-70=47.
（2）因为20×80%=16，所以样本数据的第80百分位数是第16、17项数据的平均值，即，据此估计每天应进99千克苹果.
20. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．
求：（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【详解】本题考查等可能事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看清条件中所给的是有放回的抽样，注意区别有放回和无放回两种不同的情况，本题是一个中档题目
（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是1/2
，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，根据概率公式得到结果．
（2）三只颜色全相同，则可能抽到红色和黄色两种情况，这两种情况是互斥的，根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．
（3）根据二问做出的结果，三只颜色不全相同，是三只颜色全部相同的对立事件，用对立事件的概率得到结果，或者是用树状图列出的结果求出比值．
解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．
Ⅰ、3只全是红球的概率为P1＝··＝．
Ⅱ、3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．
Ⅲ、3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝
21. 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中a的值；
（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；
（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.
【答案】（1）
（2）众数为，平均数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
可得，
（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；
（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
【小问2详解】
解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，
平均数为.
【小问3详解】
解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，
所以75%分位数为.
22. 如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.
（1）证明：EFCF；
（2）求EF与CG所成角余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系如图，根据向量的数量积为0证明垂直即可；
（2）利用向量法求异面直线所成角的余弦值；
（3）根据向量模计算两点间的距离即可.
【小问1详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，,
因为,
所以，即EFCF.
小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以与所成角的余弦值是；
【小问3详解】
由（1）知，
所以，皮山县高级中学2023-2024学年第一学期学段素养调研
高二年级数学
命题人： 审题人：
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若要研究某城市家庭收入情况，获取数据的途径应该是（ ）
A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据
C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据
2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛掷硬币次，事件必发生次
B. 抛掷硬币次，事件不可能发生次
C. 抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D. 随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
3. 若，，则两点间的距离为
A. B. 25 C. 5 D.
4. 哈三中高二年级有200名女生，现采用按比例分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，已知样本中有40名男生，则高二年级的学生数量是（ ）
A. 400名 B. 500名 C. 600名 D. 700名
5. 甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 运动员甲 次射击成绩 （单位: 环） 如下: ，则下 列关于这组数据说法不正确的是（ ）
A. 众数为 和 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 方差为
7. 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为（ ）
A. 0.16 B. 0.26 C. 0.56 D. 0.74
8. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B.
C. D.
9. 从不超过15的质数中任取两个不同的数，其和是偶数的概率为（ ）
A B. C. D.
10. 利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，，则__________．
14. 分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．
15. 一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则问题得到解决的概率是________.
16. 如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
18. 已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数的值.
19. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg）结果如下：
83，96，75，91，70，107，100，80，97，94，
76，89，117，98，74，95，84，85，87，102
（1）计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数、平均数和极差；
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），试问每天应进多少千克苹果？
20. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．
求：（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
21. 某校对100名高一学生某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中a的值；
（2）估计该校高一学生这次数学成绩众数和平均数；
（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.
22. 如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.
（1）证明：EFCF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
