2022~2023学年度第一学期和田地区墨玉县期中教学情况调研
高 三 数 学（文科）
2022.11
注意事项：
1． 本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为120分钟，满分值为150分．
2． 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号（考试号）用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的数字标号涂黑．
3． 答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知正项等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 32
4. 已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
5. 已知命题;命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A. 53 B. 159 C. 161 D. 485
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数，当时，恒成立, 则的最大值与最小值之和为
A 18 B. 16 C. 14 D.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
11. 已知，，函数的零点为c，则（ ）
A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. a＜b＜c
12. 若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0]单调递减，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是（ ）
A. f(1)< f(2) < f(3) B. f(1)< f(3)< f(2)
C. f(3)< f(2)< f(1) D. f(3)< f(1)< f(2)
二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________.
14. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．
15. 已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为3，则球O的表面积为________．
16. 已知函数．给出下列命题：①必是偶函数；②当时，图像必关于直线x＝1对称；③若，则在区间上是增函数；④有最大值． 其中正确的序号是 .
三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 已知函数.
（1）求函数最小正周期和递增区间;
（2）若函数在上有两个不同的零点,求实数的取值范围,并计算的值．
18. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：；
（2）若点M在线段上，且，求三棱锥的体积.
19. 某居民小区有三个相互独立的消防通道，通道在任意时刻畅通的概率分别为．
（1）求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；
（2）在对消防通道的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
20. 已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
21. 已知函数
（1）已知直线与曲线相切，且与坐标轴围成等腰三角形，求直线的方程；
（2）已知，设曲线在点处的切线被坐标轴截得的线段长度为，求的最大值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题． 如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22. 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离．
【选修 4-5：不等式选讲】
23. 选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）若函数有零点，求实数的值.2022~2023学年度第一学期和田地区墨玉县期中教学情况调研
高 三 数 学（文科）
2022.11
注意事项：
1． 本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为120分钟，满分值为150分．
2． 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号（考试号）用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的数字标号涂黑．
3． 答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对复数进行化简，然后利用虚部的定义进行求解
【详解】,故虚部为,
故选：.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对集合进行化简，然后用交集定义即可求解
【详解】集合
所以.
故选：D．
3. 已知正项等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为根据条件求出公比即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为
，
解得或（舍去）
所以
故选：
【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.
4. 已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可．
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，∴，∴，∴或，故A不正确；
若，则，所以，当时，；当时，，故B不成立.
若，则，当且仅当，即时取等号；若，则，当且仅当，即时取等号，故C不正确；
因为，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．
5. 已知命题;命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数的单调性，即可得出命题P为假命题，利用基本不等式可得命题q为假命题.进而可得结果.
【详解】命题，
在R上单调递减，
在单调递增，，
所以P为假命题；
命题，
，
当且仅当时，取“=”成立，所以q为真命题.
所以为真，为真
故选：B
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A. 53 B. 159 C. 161 D. 485
【答案】C
【解析】
【分析】根据框图，依次代入与的值，当不满足时结束循环，即可求解.
详解】执行循环体，依次得到：
，；满足条件继续循环
，；满足条件继续循环
，；满足条件继续循环
，，此时不满足条件，输出161，
故选：C.
【点睛】本题考查程序框图循环体结构的输出值，属于基础题.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出三棱锥的直观图，结合三视图中的数据计算出三棱锥各条棱的棱长，进而可得出结果.
【详解】该三棱锥直观图如图所示，其中，，，，
因此，该三棱锥的最长棱的棱长为.
故选：C.
【点睛】本题考查三视图，考查考生的空间想象能力，属于中等题.
8. 函数，当时，恒成立, 则的最大值与最小值之和为
A. 18 B. 16 C. 14 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件求得，，把看作点画出可行域，由斜率模型可得，令，则，由的单调性得时，有最大值为10，时，有最小值为6，从而求得最大值与最小值的和．
【详解】令，
由题意当时，可得，
∴，，
即 ①， ②．
把看作点画出可行域，如图所示：
，
易得，由斜率模型可得．
又，令，则，
∵在上单调递减，在递增，
∴时，有最大值为10，时，有最小值为6；
故最大值与最小值的和为16，故选B.
【点睛】本题主要考查了不等式组所表示的区域，对勾函数的性质等，属于中档题.
9. 已知函数是定义在上奇函数，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以
所以，即
故选：B
10. 已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
11. 已知，，函数的零点为c，则（ ）
A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. a＜b＜c
【答案】B
【解析】
【分析】由函数零点存在定理可得，又，，从而即可得答案.
【详解】解：因为在上单调递减，且，，
所以的零点所在区间为，即．又因为，，所以a＜c＜b．
故选：B.
12. 若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0]单调递减，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是（ ）
A. f(1)< f(2) < f(3) B. f(1)< f(3)< f(2)
C. f(3)< f(2)< f(1) D. f(3)< f(1)< f(2)
【答案】C
【解析】
【分析】由函数f(x)的单调性比较f(-1)，f(-2)，f(-3)的大小，再利用奇函数计算变形即得
【详解】因函数f(x)在(-∞，0]单调递减，而-3<-2<-1，于是有f(-3)>f(-2)>f(-1)，
又函数f(x)是R上奇函数，则有-f(3)>-f(2)>-f(1)，即f(3)所以f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是：f(3)故选：C
二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________.
【答案】(答案不唯—)
【解析】
【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式
【详解】解：因为是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，
所以，或，或等（答案不唯—)，
故答案为：（答案不唯一）
14. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，即，满足要求；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，
解得或．
综上，实数的取值范围为或.
故答案为或.
【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
15. 已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为3，则球O的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．
【详解】解：平面截球的球面所得圆的面积为，则圆的半径为1，
该平面与球心的距离，
球半径．
球的表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查球的表面积的求法，着重考查了球的截面圆性质，属于基础题．
16. 已知函数．给出下列命题：①必是偶函数；②当时，的图像必关于直线x＝1对称；③若，则在区间上是增函数；④有最大值． 其中正确的序号是 .
【答案】③
【解析】
【详解】对于①，当时，不是偶函数，①错误；
对于②，当，时，函数，满足，但函数的图象不关于直线对称，②错误；
对于③，若，则在区间上单调递增，③正确；
对于④，若，函数在区间上的最大值不一定是，如时，函数的图象在轴上方，④错误.
综上所述：正确的命题序号为③.
故答案为③.
三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和递增区间;
（2）若函数在上有两个不同的零点,求实数的取值范围,并计算的值．
【答案】（1）最小正周期，递增区间为()；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式对进行化简，利用正弦函数的性质即可求解函数的周期和递增区间；
（2）函数的零点即为函数与的交点，设，画出的图象即可确定的范围，并能求出关于直线对称，利用对称性求出，即可求解.
【小问1详解】
()，
∴函数的最小正周期为，
由得：()，
∴函数的递增区间为()；
【小问2详解】
∵方程同解于；
令，当时，，
所以在，即上单调递增，
在，即上单调递减，
画出在的图象，如图所示：
当时，在和上有两个解，
即方程在和有两个不同的解，
且关于直线对称，即，
∴，．
18. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：；
（2）若点M在线段上，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得，，可证平面，由平面，可得：.
（2）由，知，所以，为三棱锥的高，利用等体积法计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）∵，O为的中点，
∴，且，
连接，因为，∴为等腰直角三角形，
且，，
由，知，
由，知平面，
又∵平面，
∴；
（2）由，知，
所以，
由（1）知平面，所以，即为三棱锥的高，
所以.
【点睛】本题主要考查空间线线垂直关系的判定，考查几何体的体积的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力，属于高考常考题型.
19. 某居民小区有三个相互独立的消防通道，通道在任意时刻畅通的概率分别为．
（1）求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；
（2）在对消防通道的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）分类计算概率后求和
（2）由独立重复试验公式求解
【详解】（1）由已知通道畅通的概率分别为，
设“至少有两个消防通道畅通”为事件，
．
（Ⅱ）的所有可能为，
，，
，．
的分布列为：
数学期望．
20. 已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）当的面积最大时，点位于椭圆的上或下顶点，列式计算椭圆的离心率；
（2）根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，求得点的坐标，设，根据，求解的值，再利用圆同时与轴和直线相切，求，得到椭圆方程.
【详解】（1）当点位于椭圆上或下顶点时，的面积最大，
此时有，即，
，，即
得或（舍，离心率.
故椭圆的离心率为.
（2）由题可知，直线的方程为，
椭圆的方程为，
联立，得，
解得或，当时，；
当时，，点的坐标为.
点在直线上，可设点为，
又，，即，
，点.
圆同时与轴和直线相切，
即，解得，
故椭圆的方程为.
【点睛】本题考查直线方程，圆，直线与圆锥曲线的位置关系，以及椭圆的性质，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于中档题型.
21. 已知函数
（1）已知直线与曲线相切，且与坐标轴围成等腰三角形，求直线的方程；
（2）已知，设曲线在点处的切线被坐标轴截得的线段长度为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】(1) ，由题意可知直线的斜率为，从而可求出切点的坐标，即可求出切线的方程.
(2)由导数的几何意义可求出切线方程，从而得到切线和坐标轴的交点坐标，从而可得
，令，得，
结合导数可判断的单调性，从而可求出最大值.
【详解】（1），由题可知直线的斜率为，令可得，
又因为，所以直线的方程为．
（2）曲线在点处的切线斜率为，
又因为，所以，则切线方程为，
切线与坐标轴的交点为
所以，，
令，则，
，设，当,,
则函数在时单调递增，
且当时，，当时，，
所以存在，，即．
与在区间上的情况如下：
极小值
又因为，所以当即时，取到最大值．
【点睛】关键点睛:
本题第二问的关键是求的函数表达式，结合导数和函数零点和方程根的关系可求出的单调性，从而可求出最大值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题． 如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22. 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】本试题主要考查了直线与直线的交点坐标的运用．
解：将代入得，…………………………6分
得，而，得……………………12分
【选修 4-5：不等式选讲】
23. 选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数有零点，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）不等式转化为和两种情形来解，解得，即可求的值；（Ⅱ）由题意，等价于有解，结合基本不等式，即可求实数 的值.
试题解析：（Ⅰ）不等式转化或，
解得，；
（Ⅱ）由题意，等价于有解，
，当且仅当时取等号，
有解，，
，
.
