不等式的性质

教材分析与目标设计
章节学情
知识储备：比较有理数的大小、有理数的加减法、等式的性质、不等式的概念和从实际问题抽象建模提取不等式；
学习经验：利用天平比较物体的轻重；
知识积淀：转化思想、类比思想和分类讨论思想。
知识属性
性质类知识，重在探索，意在应用。
课标要求
探索不等式的基本性质
重点难点
重点：不等式基本性质的探索。
重点的解决：交权+器材、题单+积极引导。
难点：不等式基本性质（3）的探索和准确应用。
难点的突破：借助题单引导学生进行合情推理。
易混淆知识点
不等式基本性质（2）与（3）
易混淆知识点的区分：对比演练2x>4和-2x>4。
教学目标
1、借助对不等式基本性质的探索提高学生合情推理的能力的意识，在类比等式性质进行探索的过程中提高学类比能力；
2、让学生体会建模、分类讨论、转化等数学思想。
3、进一步发展学生的自主探究意识，激发学生探索数学知识的热情。
帮助学生经探索得出并掌握不等式的基本性质。
使学生能够学以致用。
总体设计
以发展学生的学习能力为目标，以“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”为教学主线，以探索不等式的性质为载体，以“类比、猜想、验证”的学习模式为手段。
课前准备
印好题单、制作完课件、调试好多媒体教学设备、准备好天平和弹簧秤、发动学生提前准备重量相同的物体。
学生活动的设计
围绕不等式基本性质的探索，以“类比-猜想-验证”为活动主线，意在培养学生的探索精神和创新能力，让学生经历知识的形成的应用过程，发展学生合情推理、类比联想的能力，展现数学与物理、数学与生活的联系，突出“数学化”的过程。
教师扮演学生探究性学习的组织者和指导者的角色。注重启发和点拨，营造民主、和谐、平等的课堂氛围。
教学过程设计
一、六大环节
创设情境，提出问题 （二）结合模型，解决问题
解释现象，阐述结论 （四）应用新知，学以致用
拓展反馈，巩固新知 （六）小结作业，温故知新
二、具体教学过程
（一）创设情境，提出问题
1、天平演示
（1）两个重量相等的物体放在天平的左右托盘中，用数学式子可表示为“a=b”
（2）在天平的左右托盘里物体的个数同时加上、减去、乘以或除以，天平左右两边仍平衡，从实际中能得到什么数学规律？
2、转化情境
现在有一种苹果被小虫一一咬了一口，现在在天平的左右托盘里分别放入一个被咬过的苹果和一个没被咬过的，结果会怎样？（被咬过的苹果一边会跷起来，没被咬过的一边会下沉）
3、转化建模
这一生活现象能建立一个怎样的数学模型
板书课题---------不等式的基本性质
（本环节是在前面建立了数学模型的基础上展开的，意图是：（1）通过生生间的多边交流激发学生的学习潜能，促使学生理解和掌握基本的数学知识、技能、思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力，学会学习。（2）在活动中发展学生的意志力，培养自信心，理性精神等情感态度。）
结合模型，解决问题
学生活动的具体内容：
（1）找寻探究策略：类比和分类
（2）找寻目标载体：实验和举例
（3）探究分类细节：
（4）猜测与验证：（见附表一）
（5）尝试在小组内表达结论。
不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个式子，不等号的方向不变
不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解释现象，阐述结论
总结探索
学习经验-----我的财富
用来解决问题的策略：类比和分类
研究问题的目标载体：实验和举例
分类应注意事项：不重、不漏
对预期结果先猜测、再验证
对科研成果要用语言叙述
（四）应用新知，学以致用
牛刀小试
已知：x>y，下列不等式一定成立吗？
（1）x-62y+1
例 把下列各式化成“x>a”或“x（1）x-5>-1 （2）-2x>3
（教学观点：素质教育与基础知识、基础技能的教学并不抵触，我们应继续发扬传统教学的优秀成果，不能只注重课堂上学生活动的设计而轻视了知识的传授，尤其是必要的解题格式的说理方法。）
实践出真知
把下列各式化成“x>a”或“x（1）x-1>2（2）-x>5/6（3）x/2≤3（4）2x>4（5）-2x>4
拓展反馈，巩固新知
拓展应用1
设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“A”、“B”、“C”这三个物体的质量按从大到小的顺序排列应为（ ）
A．ABC B．CBA
C．BAC D．BCA
教学反馈（见附表二）
（六）小结作业，温故知新
（引导学生回顾本节所学内容及探索新知的过程带来的学习方式、方法、能力上的收获。借此提升学生的学习能力，培养学生及时反思、总结的好习惯。）
“菜单式”自选作业：
必做题
选做题
自评与师评
目的：让学生品尝获得成功的快乐，激起进一步学习数学的热情
具体内容：
针对性评价：
目的：营造合谐、民主、平等的课堂氛围，培养情感
内容：学生的情感态度、学习过程、思维过程，解决问题的能力。
综合性评价：
目的：总结提升
内容：总结学习活动中闪光点、情感、态度等。
9.1.2 不等式的性质（第1课时）
江西省高安中学 陈国庆
教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
理解不等式的性质。
会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
数学思考
通过类比等式的性质，探索不等式的性质，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法。
解决问题
通过经历不等式性质的得出过程，积累数学活动经验。
通过分组活动探索不等式的性质，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。
情感态度
认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验数学活动中充满探索性和创造性。
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益。
重点
不等式的性质
难点
不等式性质3的探索及运用
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
环节1 创设情境，提出问题
环节2 结合模型，解决问题
环节3 解释现象，阐述结论
环节4 应用新知，学以致用
环节5 拓展反馈，巩固新知
环节6 课堂小结，总结收获
利用课件演示天平实验，师生共同回顾等式的性质，帮助学生激活与本节课有关的已有知识，并利用天平实验创设情境，提出问题，提取学生的求知欲，为探索不等式的性质作准备。
利用天平观察及数字探究等方法，探索不等式的变化规律，得出不等式的三条性质，让学生体会不等式性质与等式性质的异同。
让学生用自己的文字语言总结规律，同时要求用符号语言来表达，培养学生抽象概括能力、语言表达能力及符号感。
通过用不等式的性质对不等式进行简单的有目的的变形，使学生对理解不等式的性质，并能应用不等式的性质。
通过用不等式解一元一次不等式，使学生进一步理解不等式的性质，并学会用不等式解不等式的方法。
学生归纳总结本节课的主要内容和思想方法，交流在探索不等式性质的过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
观察一组天平动画，并回顾等式有哪些性质？
教师提问，操作课件。
学生回答等式的性质：
性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
此次活动中教师应重点关注：
（1）学生对已学过的等式性质内容的记忆，及叙述语言的准确性；
（2）学生对等式性质得出过程的回顾。
通过回顾等式的性质，帮助学生回顾等式的性质的得出过程，为本节课类比等式的性质，探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。
[活动2]
观察一组天平动画（小虫吃了苹果一口），创造新情境，提出问题。
教师提问：天平会出现什么情况？用什么数学式子可以表现这一现象？
学生回答：
天平会倾斜，这一现象可以用数学中的不等式来表现。
通过设计这一情境，从相等关系引出不等关系，从而提出问题。让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。
[活动3]
数学小实验：
用“<”、“>”或“=”填空。完成探究1和探究2
学生分组探索不等式的性质。
教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论。
此次活动是本节课的核心活动，对学生有一定的难度，有些学生可能会直接把等式的两条性质加以修改，推广得到不等式的性质，而忽略了不等式的两边乘以或除以一个正数或负数时的不同结论，此时教师应引导学生从数的不同类别去举例，观察对比，从而体会不等式性质与等式性质的异同。
通过精心设计的表格，让学生自主探究，自主设计，观察不等式的变化，并归纳总结不等式的性质，进一步培养学生抽象概括能力及合情推理能力。
通过类比等式的性质，探索不等式的性质，体会不等式性质与等式性质的异同，体会类比的学习方法，举例，分类的思想，积累数学活动的经验。
由于学生自主发现不等式的两边乘以（或除以）同一个正数和同一个负数存在不同的结论，有了这种体验和经历，有利于学生理解和掌握不等式性质2和性质3的区别，突破本节的难点。
[活动4]
你能用自己的语言概括不等式有哪些性质吗？
学生分组讨论，得出不等式的性质：
性质1 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
性质2 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
性质3 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，有利于提高语言表达能力。
学生用语言概括结论，培养学生的数学语言表达能力及抽象概括能力。
[活动5]
你能用式子表示不等式的三条性质吗?
教师深入小组倾听学生的讨论，并注意规范学生的数学语言，注意学生对不等式性质2、性质3是否能分开说明。
学生分组讨论，得出不等式性质的表示方法。
教师深入小组，帮助指导学生用字母表示不等式的性质，并注意对字母表示的数的条件的说明。
用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言互相转化的能力，进一步发展符号感。
[活动6]
你能说一说不等式的性质与等式的性质有什么相同点和不同点吗？
学生分组讨论，得出不等式的性质与等式的性质的相同点和不同点：
相同点：
都是对不等式和等式进行变形，两边加、减、乘、除的都是同一个数
不同点：
等式的性质有2条，它们表示了等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时，相等关系不变；不等式的性质有3条，它们表示了不等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时，大小关系有时不变，有时改变。对于乘（除）运算，不等式性质要乘数（除数）的正、负分别讨论，两者的结果不同。
进一步体现类比思想。
[活动7]
学以致用，小试牛刀
1、孙悟空火眼金晴
（1）如果x+5>4，那么两边都 ，可得x>-1
（2）在-7<8的两边都加上9，可得
（3）在5>-2的两边都减去6，可得
（4）在-3>-4的两边都乘以7，可得
（5）在-8<0的两边都除以-2，可得
2、你来决策
如果a>b，那么
（1）a-3 b-3（不等式性质 ）
（2）2a 2b（不等式性质 ）
（3）-3a -3b（不等式性质 ）
（4）a-b 0（不等式性质 ）
（5）-3.5a+1 -3.5b+1
学生独立完成，举手回答问题。
教师填写答案，并对学生出现的问题给予指导，进一步巩固不等式的性质。
数学练习是巩固数学知识，形成技能、技巧的重要途径，而机械、呆板的题海战术只能把学生在学习新知识时的热情无情地淹灭。两道练习以别开生面的形式出现，给学生一种充分展示自我的舞台，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。
设计练习由浅入深，进一步帮助学生理解不等式的性质，为下一步利用不等式的性质解不等式作准备。
[活动8]
例题讲解
利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7>26；
（2）3x<2x+1
（3）
（4）-4x>3
智力闯关
设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“A”、“B”、“C”这三个物体的质量按从大到小的顺序排列应为（ ）
A．ABC B．CBA
C．BAC D．BCA
学生分组讨论下列不等式的解法，并注意寻找规律。
教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并引导学生注意观察不等式的结构特点，总结规律，并统一规范书写。
通过用不等式的性质解不等式，让学生进一步理解不等式的性质，并学会用不等式的性质解不等式的方法，体会学习不等式性质的必要性。
在小组讨论交流的过程中，培养学生学会分享彼此的思想和结果，并重新审视自己的想法的习惯。
了解学习效果，让学生运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心。
展示学生的成果，让学生在学习的过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，激发学生的学习兴趣。
[活动9]
课堂小结，总结收获
布置作业
教师提出总结要求：总结本节课学习的数学知识、数学方法和自己的一些心得体会及一些感受。
学生总结本节课的知识、方法、收获和心得。
学生归纳总结本节课的主要内容，交流的探索不等式性质的过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验。
课件18张PPT。不等式的性质义务教育课程标准实验教科书数学 七年级 下册江西省高安中学 陈国庆性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，结果仍相等。性质二：等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），结果仍相等。若a=b，则a±c=b±c若a=b，则a·c=b·c，a÷c=b÷c(c≠0)等式的基本性质数学小实验器材：几个不等式，自己想出一些数；
操作：在“□”内按要求填上数字，在“ ”上填上“>”、“<”或“=”号；
观察：不等号的前后变化规律
要求：分工合作，认真操作，仔细观察，发现规律。探究一4400-2-24400-2-24400-2-24400-2-2>>>>>><<<<<<-2＞-5-2+3＞-5+3-2-4＞-5-4探究二数学小实验器材：几个不等式，自己想出一些数；
操作：在“□”内按要求填上数字，在“ ”上填上“>”、“<”或“=”号；
观察：不等号的前后变化规律
要求：分工合作，认真操作，仔细观察，发现规律。22440-4><0-4224400-4-422440(无意义)-40-422440(无意义)-40-4>=<<=>><><<>-4＞-6-2×2＞-6×2-2÷2＞-6÷2-4＞-6-2×(-2) ＜-6×(-2)-2÷(-2)＜-6÷(-2)性质3 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。 不等式的性质性质1 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），
不等号的方向不变；性质2 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；正数负数数孙悟空火眼金睛（1）如果x+5>4，那么两边都 ，可得x>-1；
（2）在-7<8的两边都加上9，可得 ；
（3）在5>-2的两边都减去6，可得 ；
（4）在-3>-4的两边都乘以7，可得 ；
（5）在-8<0的两边都除以-2，可得 。
如果a>b，那么
（1）a-3 b-3（不等式性质 ）
（2）2a 2b（不等式性质 ）
（3）-3a -3b（不等式性质 ）
（4）a-b 0（不等式性质 ）
（5）-3.5a+1 -3.5b+1 （不等式性质 ） 你来决策！学以致用！利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7>26；
（2）3x<2x+1
（3）（4）-4x>3智力闯关！设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“A”、“B”、“C”这三个物体的质量按从大到小的顺序排列应为（ ）
A．ABC B．CBA
C．BAC D．BCA课堂小结谈谈你这节课的收获。不等式的性质
等式的性质
性质1 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
性质2 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
性质3 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

器材：几个不等式，自己想出一些数；
操作：在“□”内按要求填上数字，在“ ”上填上“>”、“<”或“=”号；
观察：不等号的前后变化规律
要求：分工合作，认真操作，仔细观察，发现规律。
探究一
不等式
两边加上同一个数
两边减去同一个数
5>3
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
-1<3
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
自主设计
结论
探究二
不等式
两边乘以同一个数
两边除以同一个数
６>２
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
-２<3
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
自主设计
结论
规律总结
器材：几个不等式，自己想出一些数；
操作：在“□”内按要求填上数字，在“ ”上填上“>”、“<”或“=”号；
观察：不等号的前后变化规律
要求：分工合作，认真操作，仔细观察，发现规律。
探究一
不等式
两边加上同一个数
两边减去同一个数
5>3
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
5＋□ 3＋□
5－□ 3－□
-1<3
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
-1＋□ 3＋□
-1－□ 3－□
自主设计
结论
探究二
不等式
两边乘以同一个数
两边除以同一个数
６>２
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
６×□ 2×□
6÷□ 2÷□
-２<3
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
－2×□ 3×□
-2÷□ 3÷□
自主设计
结论
规律总结