第三章 圆锥曲线的方程（章末总结）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（章末总结）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 31.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-24 20:19:35 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
章末总结
第 三 章 圆锥曲线的方程
人教A版2019选修第一册
01知识结构
PART ONE
知识结构
知识结构
02圆锥曲线的方程的应用
PART ONE
知识应用
1.圆锥曲线的定义及应用
例1.(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．椭圆
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
＋＝1
C
(3)已知动点M的坐标满足方程 ＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
C
知识应用
解: (1)x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，
x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．
设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则 |PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，
符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．
(2)设椭圆方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为 ＋＝1.
知识应用
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
知识应用
例2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.
解:设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2.
将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,以O1O2所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系.
当圆M与圆O1外切时,有|O1M|=R+2; ①
当圆M与圆O2内切时,有|O2M|=10-R. ②
将①②两式的两边分别相加,
得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|=6.
根据椭圆的定义,圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的椭圆,且a=6,c=3,b2=a2-c2=27.
故动圆圆心M的轨迹方程是+=1,且轨迹是焦点在x轴上,长、短半轴长分别为6、3的椭圆.
知识应用
【类题通法】 “回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
2.圆锥曲线的性质及应用
例3(1)若椭圆 ＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线 －＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x
(2)已知双曲线 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A. ＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1
A
B
知识应用
解:(1)由椭圆的离心率e＝＝，可知 ＝，∴ ＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)由题意可得 ＝，即c＝a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)．
则直线PF的方程为＝，化简即得y＝x＋4.
结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，
则＝，即4a＝bc.
故解得 故双曲线方程为＝1.
知识应用
A
知识应用
知识应用
【类题通法】
1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线)．
2．椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练掌握．
知识应用
3.圆锥曲线中的定值、定点问题
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
【类题通法】 圆锥曲线中的定值、定点问题
(1)定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
(2)定点问题的两种解法
①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
知识应用
练习：过点C(0,1)的椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.、
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：· 为定值．
(1) 解：由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D点的坐标为.
故|CD|＝ ＝.
知识应用
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立解得，因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．
又P点坐标为，所以 ·＝·(－4k,2k＋1)＝4.
故 · 为定值．
知识应用
4.圆锥曲线中的证明与探索性问题
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
章末总结
第 三 章 圆锥曲线的方程
人教A版2019选修第一册
01知识结构
PART ONE
知识结构
知识结构
02圆锥曲线的方程的应用
PART ONE
知识应用
1.圆锥曲线的定义及应用
例1.(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．椭圆
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
＋＝1
C
(3)已知动点M的坐标满足方程 ＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
C
知识应用
解: (1)x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，
x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．
设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则 |PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，
符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．
(2)设椭圆方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为 ＋＝1.
知识应用
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
知识应用
例2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.
解:设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2.
将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,以O1O2所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系.
当圆M与圆O1外切时,有|O1M|=R+2; ①
当圆M与圆O2内切时,有|O2M|=10-R. ②
将①②两式的两边分别相加,
得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|=6.
根据椭圆的定义,圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的椭圆,且a=6,c=3,b2=a2-c2=27.
故动圆圆心M的轨迹方程是+=1,且轨迹是焦点在x轴上,长、短半轴长分别为6、3的椭圆.
知识应用
【类题通法】 “回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
2.圆锥曲线的性质及应用
例3(1)若椭圆 ＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线 －＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x
(2)已知双曲线 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A. ＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1
A
B
知识应用
解:(1)由椭圆的离心率e＝＝，可知 ＝，∴ ＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)由题意可得 ＝，即c＝a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)．
则直线PF的方程为＝，化简即得y＝x＋4.
结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，
则＝，即4a＝bc.
故解得 故双曲线方程为＝1.
知识应用
A
知识应用
知识应用
【类题通法】
1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线)．
2．椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练掌握．
知识应用
3.圆锥曲线中的定值、定点问题
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
【类题通法】 圆锥曲线中的定值、定点问题
(1)定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
(2)定点问题的两种解法
①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
知识应用
练习：过点C(0,1)的椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.、
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：· 为定值．
(1) 解：由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D点的坐标为.
故|CD|＝ ＝.
知识应用
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立解得，因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．
又P点坐标为，所以 ·＝·(－4k,2k＋1)＝4.
故 · 为定值．
知识应用
4.圆锥曲线中的证明与探索性问题
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用
知识应用