沪科版数学九年级上册第23.1锐角的三角函数（专题汇编）
一、锐角三角函数值计算
1．（2023九上·东阿月考）（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（2）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（3）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（4）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可.
2．（2023九上·哈尔滨开学考）计算：
【答案】原式=
=2+3-
=5-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再按四则运算的顺序计算.
3．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
4．（2023九上·新邵期末）计算.
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则可得原式=2×()2-(2-)-1+4，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可.
二、与解直角三角形相关作图题
5．（2019九上·鄞州月考）如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC=
（1）求BC的长；
（2）作出△ABC的外接圆（尺规作图,保留痕迹，不写作法），并求外接圆半径．
【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC= ，∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，∴BE=4AE=4，
∴BC=BE+CE=5
（2）如图，⊙O就是所求作的△ABC的外接圆
∵∠AOC=2∠ABC，∠AOK=∠COK，∴∠ABC=∠AOK，
∵sin∠AOK=sin∠ABC= ，
由（1）可知AB= = ，
∴ = ，
∴AO= ．
【知识点】三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用锐角三角函数的定义可求出CE，AE的长，在Rt△ABE中，利用解直角三角形可到达BE=4AE，即可求出BE的长，然后根据BC=BE+CE可求出BC的长。
（2）分别作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心O，点O到点A的距离就是半径，然后画出圆O；再利用勾股定理求出AB的长，再证明∠ABC=∠AOK，然后利用锐角三角函数的定义可求出AO的长。
6．（2019九上·榆树期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段 的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.
（1）在图①中画一条射线 ，使 .
（2）在图②中画一条射线 ，使 .
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：如图所示.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC；（2）∠ABD是直角，需要保证BD= 即可.
7．（2019九上·南关期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．
（1）在图①中找到一个格点C，使∠ABC是锐角，且tan∠ABC＝ ，并画出△ABC．
（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．
【答案】（1）解：如图①所示（答案不唯一）；
（2）解：如图②所示（答案不唯一）：
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）直接利用网格结合锐角三角函数关系即可画出图形；（2）直接利用网格结合锐角三角函数关系即可画出图形．
三、与反比例函数、相似结合
8．（2019九上·武邑月考）如图，点B是双曲线y＝ （k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，求k的值．
【答案】解：∵OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BAO＝60°，AB=2，
∴OA= =2÷ =4，
作BD⊥OA于点D，
∴BD=AB×sin60°= = ，
AD=AB×cos60°= =1，
∴OD=OA-AD=4-1=3，
∴点B的坐标为（3， ），
∵B是双曲线y= 上一点，
∴k=xy=3 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用60°余弦值可求得OA的长，再作BD⊥OA于点D，利用60°的正弦值可求得BD长，利用60°余弦值可求得AD长，OA-AD即为点B的横坐标，那么k等于点B的横纵坐标的积．
9．（2023·龙凤模拟）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点和点，连接．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：过点B作 于点D，过点C作 于点E，如图，
设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ．
∴反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵一次函数 的图象经过点B，C，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ 的面积
=12-4
=8．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA 于点E，设反比例函数的解析式为y=，将C（3，2）代入可得m的值，据此可得反比例函数的解析式，然后令x=1，求出y的值，可得点B的坐标，进而不难求出OD、BD的值，然后利用三角函数的概念进行计算；
（2）利用待定系数法求出一次函数的解析式，令x=0，求出y的值，可得点A的坐标，然后求出OA、CE的值，再根据S△BOC=S△AOC-S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
10．（2023·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，垂足为P，PA交y轴于点C，，的面积是2．则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；线段的中点
【解析】【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于点D，
∵△ABP的面积为2，AO=BO，
∴△OBP的面积为1.
∵PA⊥PB，AO=BO=BP，
∴sin∠PAB=，
∴∠PAB=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△POB为等边三角形，
∴S△POD=S△POB==，
∴k=1.
故答案为：A.
【分析】连接OP，作PD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式结合中点的概念可得S△POB=1，由三角函数的概念可得sin∠PAB=，则∠PBA=60°，推出△POB为等边三角形，则S△POD=S△POB=，由反比例函数系数k的几何意义可得S△POD=，据此求解.
11．（2023·柳北模拟）如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．16
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵，
∴，
设OA=4a，AB=5a，则由勾股定理得OB=3a；
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴S△AOC=，S△BDO=，∠C=∠D=90°，
∵∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
又∠C=∠D=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∴，
解得k=16.
故答案为：D.
【分析】由∠ABO的正弦函数可得，设OA=4a，AB=5a，则由勾股定理得OB=3a；过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数k的几何意义得S△AOC=，S△BDO=，然后由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△AOC∽△OBD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程可求出k的值.
12．（2023九下·锡山期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
令y=kx+4中的x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4.
∵S△OBC=4，
∴OC·BD=4，
∴BD=2.
∵tan∠BOC=，
∴OD=6，
∴B（2，6）.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴m=2×6=12.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，易得C（0，4），则OC=4，根据三角形的面积公式可得BD的值，利用三角函数的概念可得OD，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出m的值.
四、与二次函数，相似结合
13．（2023·慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，连结．
（1）求a的值．
（2）求A的坐标．
（3）P为x轴上的动点，当时，请直接写出OP的长．
【答案】（1）解：把点代入得，
解得．
（2）解：把代入函数表达式得，
∴A点坐标为．
（3）OP=10或6
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（3）过A作AB⊥x轴于点B，
∵A（2，-4），
∴AB=4，OB=2.
∵tan∠OPA=，
∴BP=2AB=8.
当点P在x轴负半轴上时，OP=BP-OB=6；
当点P在x轴正半轴上时，OP=BP+OB=10.
综上可得：OP=10或6.
【分析】（1）将（5，5）代入y=x2-ax中进行计算可得a的值；
（2）将a的值代入可得抛物线的解析式，进而可得点A的坐标；
（3）过A作AB⊥x轴于点B，根据点A的坐标可得AB=4，OB=2，由三角函数的概念得BP=2AB=8，然后分点P在x轴负半轴上、正半轴上进行计算.
14．（2023·凤城模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于，抛物线经过、两点，与轴正半轴交于点，为抛物线的顶点，连接．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图，点为直线上方的抛物线上的一点，连接、、，交于点，若将的面积分为：两部分，求点的坐标；
（3）如图，若点是第三象限的抛物线上一点，连接，交直线于，当时，求点的坐标；
（4）在(3)的条件下，若是轴上的一个动点，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：在直线中，由得，
，
由得，
解得，
把，分别代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点；
（2）解：作轴于，如图：
，
，，
当：：时，：：，
，
，
，
；
当：：时，：：，
，
，
，
，
综上所述，点坐标为或；
（3）解：延长交对称轴于，过作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于，如图：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
：：，
设，
，
解得：或舍去，
；
（4）解：过作于，轴于，交轴于，如图：
由可得，
，，
，
，
，
，
，
，
此时取最小值，最小值即为的长，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先由直线与轴交于点，与轴交于，求出点C和点A的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标；
（2）作轴于，求得：，，根据题干：若将的面积分为：两部分，可知要分两种情况讨论，①；②，即可；
（3）延长交对称轴于，过作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于，由已知条件求得：，进而求得：，即可得到，设，列式计算即可；
（4）过作于，轴于，交轴于，由已知条件求得：，进而得到：，，即可证明，进而求得：，即可得到 的最小值.
五、胡不归最值相关
15．（2023·黑龙江模拟）如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠ADB=90°，∠A=60°，
∴∠ABD=30°，
∴PE=PB，
∴PC+PB=PC+PE，故当点C、P、E共线，且CE⊥AB时，取得最小值.
∵∠A=60°，CE⊥AB，AC=4，
∴CE=AC·cos60°=4×=.
故答案为：.
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由内角和定理可得∠ABD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PE=PB，则PC+PB=PC+PE，故当点C、P、E共线，且CE⊥AB时，取得最小值，然后在Rt△ACE中，根据三角函数的概念进行计算.
16．（2023·增城模拟）如图，在菱形中，，，点为对角线不含点上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AT⊥BC，过点M作MH⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°.
∵MH⊥BC，
∴∠BHM=90°，
∴MH=BM，
∴AM+BM=MA+MH.
∵AT⊥BC，
∴∠ATB=90°，
∴AT=AB·sin60°=4×=.
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥，
∴AM+BM的最小值为.
故答案为：.
【分析】过点A作AT⊥BC，过点M作MH⊥BC，根据菱形的性质可得∠DBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得MH=BM，则AM+BM=MA+MH，根据垂线段最短的性质可得AM+MH的最小值为AT，然后利用三角函数的概念进行计算.
六、与勾股定理相关
17．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．
（1）若，求的长度；
（2）若，求．
【答案】（1）解：如图所示：由题知：、和是直角三角形
∵ tanC=，DE=2
∴ CE=4，
∵ D为BC中点，DE⊥AC
∴ CE=EF=BF=4
∴ CB=
∴ AB=
（2）解：如图所示：过D作DH⊥BF于H
∴ 四边形DEFH为矩形
∴ DH=EF，
∵ ∠C=30°，DE⊥AC，DE=2
∴ CE=，CD=4，
∵ D为BC的中点
∴ CE=EF=DH=，BF=4
∴ BE==
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】本题考查直角三角形锐角三角函数和勾股定理。（1）根据tanC=和DE=2得CE=EF=BF=4，勾股定理得CB，则可得AB；（2）根据 和DE⊥AC得，，得，则可知。
18．（2021九上·金山期末）如图，中，，D是的中点，交AC于点E，．求的正切值．
【答案】解：中，，
∴．
设，，则．
∵D是的中点，，
∴，
∴，，
中，，
∴．
∴的正切值为．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】设，，则．根据D是的中点，，得出，根据中，，即可得出的正切值。
19．（2021九上·枣庄月考）如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值．
【答案】解：过点C作交AD于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∵，即，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点，先证明，再利用相似的性质可得，再结合，可得，再根据 ，即，设，则， 最后利用计算即可。
20．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
21．（2023九上·聊城月考）如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BE，由题意可得：
∵AC∥BD
在中，
故答案为：2
【分析】连接BE，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的相似比可得，再根据直角三角形中锐角三角形函数的定义即可求出答案.
22．（2023·楚雄模拟） 如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意可得：，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，再利用正切的定义求出即可。
23．（2023·富锦模拟）如图，在中，，于，平分交于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵sinA=，
∴设BD=3x，AB=5x，
∴AD==4x.
∵AB=AC，
∴AB=AC=5x，
∴CD=AC-AD=x.
∵BD2+CD2=BC2，
∴(3x)2+x2=()2，
解得x=2，
∴AD=4x=8.
设AE=m，则DE=8-m.
过E作EF⊥AB于点F，则∠AFE=90°.
∵BE平分∠ABD，∠ADB=90°，
∴EF=DE=8-m.
∵sinA=，
∴，
∴m=5，
∴AE=5.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可设BD=3x，AB=5x，则AD=4x，CD=AC-AD=x，由勾股定理可得x的值，然后求出AD，设AE=m，则DE=8-m.过E作EF⊥AB于点F，则∠AFE=90°，由角平分线的性质可得
EF=DE=8-m，然后利用三角函数的概念进行计算.
24．（2023·博乐模拟）如图，点是矩形纸片边上一点，如果沿着折叠矩形纸片，恰好使点落在边上的点处，已知，，那么折痕的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由折叠可知，AF=AD=BC，EF=DE
且BF=3CM
∴AF=5CM
∴AB=4(勾股定理）即DC=4(矩形性质）
∴FC=BC-BF=5-3=2CM
在Rt中，设EF=DE=x，则EC=4-x
解得
在Rt中，
故填：
【分析】根据折叠和矩形的性质，表示出直角三角形ECF的三边，再次运用勾股定理即可求。
七、综合题
25．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
26．（2023·茂南模拟）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题意可得EF为△ABC的中位线，则EF∥BC，由平行线的性质可得∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO，由中点的概念可得FO=DO，利用AAS证明△EFO≌△GDO，得到EF=GO，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AC=EC，由等腰三角形的性质可得∠EDC=∠C，结合三角函数的概念可得CD的值，利用勾股定理可得DE，然后根据平行四边形的性质进行解答.
1 / 1沪科版数学九年级上册第23.1锐角的三角函数（专题汇编）
一、锐角三角函数值计算
1．（2023九上·东阿月考）（1）
（2）
（3）
（4）
2．（2023九上·哈尔滨开学考）计算：
3．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
4．（2023九上·新邵期末）计算.
二、与解直角三角形相关作图题
5．（2019九上·鄞州月考）如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC=
（1）求BC的长；
（2）作出△ABC的外接圆（尺规作图,保留痕迹，不写作法），并求外接圆半径．
6．（2019九上·榆树期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段 的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.
（1）在图①中画一条射线 ，使 .
（2）在图②中画一条射线 ，使 .
7．（2019九上·南关期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．
（1）在图①中找到一个格点C，使∠ABC是锐角，且tan∠ABC＝ ，并画出△ABC．
（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．
三、与反比例函数、相似结合
8．（2019九上·武邑月考）如图，点B是双曲线y＝ （k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，求k的值．
9．（2023·龙凤模拟）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点和点，连接．
（1）求的值；
（2）求的面积．
10．（2023·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，垂足为P，PA交y轴于点C，，的面积是2．则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（2023·柳北模拟）如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．16
12．（2023九下·锡山期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
四、与二次函数，相似结合
13．（2023·慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，连结．
（1）求a的值．
（2）求A的坐标．
（3）P为x轴上的动点，当时，请直接写出OP的长．
14．（2023·凤城模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于，抛物线经过、两点，与轴正半轴交于点，为抛物线的顶点，连接．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图，点为直线上方的抛物线上的一点，连接、、，交于点，若将的面积分为：两部分，求点的坐标；
（3）如图，若点是第三象限的抛物线上一点，连接，交直线于，当时，求点的坐标；
（4）在(3)的条件下，若是轴上的一个动点，请直接写出的最小值．
五、胡不归最值相关
15．（2023·黑龙江模拟）如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为 ．
16．（2023·增城模拟）如图，在菱形中，，，点为对角线不含点上任意一点，则的最小值为 ．
六、与勾股定理相关
17．（2023九上·重庆市开学考）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．
（1）若，求的长度；
（2）若，求．
18．（2021九上·金山期末）如图，中，，D是的中点，交AC于点E，．求的正切值．
19．（2021九上·枣庄月考）如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值．
20．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
21．（2023九上·聊城月考）如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为 ．
22．（2023·楚雄模拟） 如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·富锦模拟）如图，在中，，于，平分交于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·博乐模拟）如图，点是矩形纸片边上一点，如果沿着折叠矩形纸片，恰好使点落在边上的点处，已知，，那么折痕的长是 ．
七、综合题
25．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
26．（2023·茂南模拟）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（2）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（3）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（4）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可.
2．【答案】原式=
=2+3-
=5-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再按四则运算的顺序计算.
3．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
4．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则可得原式=2×()2-(2-)-1+4，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可.
5．【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC= ，∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，∴BE=4AE=4，
∴BC=BE+CE=5
（2）如图，⊙O就是所求作的△ABC的外接圆
∵∠AOC=2∠ABC，∠AOK=∠COK，∴∠ABC=∠AOK，
∵sin∠AOK=sin∠ABC= ，
由（1）可知AB= = ，
∴ = ，
∴AO= ．
【知识点】三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用锐角三角函数的定义可求出CE，AE的长，在Rt△ABE中，利用解直角三角形可到达BE=4AE，即可求出BE的长，然后根据BC=BE+CE可求出BC的长。
（2）分别作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心O，点O到点A的距离就是半径，然后画出圆O；再利用勾股定理求出AB的长，再证明∠ABC=∠AOK，然后利用锐角三角函数的定义可求出AO的长。
6．【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：如图所示.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC；（2）∠ABD是直角，需要保证BD= 即可.
7．【答案】（1）解：如图①所示（答案不唯一）；
（2）解：如图②所示（答案不唯一）：
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）直接利用网格结合锐角三角函数关系即可画出图形；（2）直接利用网格结合锐角三角函数关系即可画出图形．
8．【答案】解：∵OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BAO＝60°，AB=2，
∴OA= =2÷ =4，
作BD⊥OA于点D，
∴BD=AB×sin60°= = ，
AD=AB×cos60°= =1，
∴OD=OA-AD=4-1=3，
∴点B的坐标为（3， ），
∵B是双曲线y= 上一点，
∴k=xy=3 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用60°余弦值可求得OA的长，再作BD⊥OA于点D，利用60°的正弦值可求得BD长，利用60°余弦值可求得AD长，OA-AD即为点B的横坐标，那么k等于点B的横纵坐标的积．
9．【答案】（1）解：过点B作 于点D，过点C作 于点E，如图，
设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ．
∴反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵一次函数 的图象经过点B，C，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ 的面积
=12-4
=8．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA 于点E，设反比例函数的解析式为y=，将C（3，2）代入可得m的值，据此可得反比例函数的解析式，然后令x=1，求出y的值，可得点B的坐标，进而不难求出OD、BD的值，然后利用三角函数的概念进行计算；
（2）利用待定系数法求出一次函数的解析式，令x=0，求出y的值，可得点A的坐标，然后求出OA、CE的值，再根据S△BOC=S△AOC-S△AOB结合三角形的面积公式进行计算.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；线段的中点
【解析】【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于点D，
∵△ABP的面积为2，AO=BO，
∴△OBP的面积为1.
∵PA⊥PB，AO=BO=BP，
∴sin∠PAB=，
∴∠PAB=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△POB为等边三角形，
∴S△POD=S△POB==，
∴k=1.
故答案为：A.
【分析】连接OP，作PD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式结合中点的概念可得S△POB=1，由三角函数的概念可得sin∠PAB=，则∠PBA=60°，推出△POB为等边三角形，则S△POD=S△POB=，由反比例函数系数k的几何意义可得S△POD=，据此求解.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵，
∴，
设OA=4a，AB=5a，则由勾股定理得OB=3a；
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴S△AOC=，S△BDO=，∠C=∠D=90°，
∵∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
又∠C=∠D=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∴，
解得k=16.
故答案为：D.
【分析】由∠ABO的正弦函数可得，设OA=4a，AB=5a，则由勾股定理得OB=3a；过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数k的几何意义得S△AOC=，S△BDO=，然后由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△AOC∽△OBD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程可求出k的值.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
令y=kx+4中的x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4.
∵S△OBC=4，
∴OC·BD=4，
∴BD=2.
∵tan∠BOC=，
∴OD=6，
∴B（2，6）.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴m=2×6=12.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，易得C（0，4），则OC=4，根据三角形的面积公式可得BD的值，利用三角函数的概念可得OD，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出m的值.
13．【答案】（1）解：把点代入得，
解得．
（2）解：把代入函数表达式得，
∴A点坐标为．
（3）OP=10或6
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（3）过A作AB⊥x轴于点B，
∵A（2，-4），
∴AB=4，OB=2.
∵tan∠OPA=，
∴BP=2AB=8.
当点P在x轴负半轴上时，OP=BP-OB=6；
当点P在x轴正半轴上时，OP=BP+OB=10.
综上可得：OP=10或6.
【分析】（1）将（5，5）代入y=x2-ax中进行计算可得a的值；
（2）将a的值代入可得抛物线的解析式，进而可得点A的坐标；
（3）过A作AB⊥x轴于点B，根据点A的坐标可得AB=4，OB=2，由三角函数的概念得BP=2AB=8，然后分点P在x轴负半轴上、正半轴上进行计算.
14．【答案】（1）解：在直线中，由得，
，
由得，
解得，
把，分别代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点；
（2）解：作轴于，如图：
，
，，
当：：时，：：，
，
，
，
；
当：：时，：：，
，
，
，
，
综上所述，点坐标为或；
（3）解：延长交对称轴于，过作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于，如图：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
：：，
设，
，
解得：或舍去，
；
（4）解：过作于，轴于，交轴于，如图：
由可得，
，，
，
，
，
，
，
，
此时取最小值，最小值即为的长，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先由直线与轴交于点，与轴交于，求出点C和点A的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标；
（2）作轴于，求得：，，根据题干：若将的面积分为：两部分，可知要分两种情况讨论，①；②，即可；
（3）延长交对称轴于，过作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于，由已知条件求得：，进而求得：，即可得到，设，列式计算即可；
（4）过作于，轴于，交轴于，由已知条件求得：，进而得到：，，即可证明，进而求得：，即可得到 的最小值.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠ADB=90°，∠A=60°，
∴∠ABD=30°，
∴PE=PB，
∴PC+PB=PC+PE，故当点C、P、E共线，且CE⊥AB时，取得最小值.
∵∠A=60°，CE⊥AB，AC=4，
∴CE=AC·cos60°=4×=.
故答案为：.
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由内角和定理可得∠ABD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PE=PB，则PC+PB=PC+PE，故当点C、P、E共线，且CE⊥AB时，取得最小值，然后在Rt△ACE中，根据三角函数的概念进行计算.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AT⊥BC，过点M作MH⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°.
∵MH⊥BC，
∴∠BHM=90°，
∴MH=BM，
∴AM+BM=MA+MH.
∵AT⊥BC，
∴∠ATB=90°，
∴AT=AB·sin60°=4×=.
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥，
∴AM+BM的最小值为.
故答案为：.
【分析】过点A作AT⊥BC，过点M作MH⊥BC，根据菱形的性质可得∠DBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得MH=BM，则AM+BM=MA+MH，根据垂线段最短的性质可得AM+MH的最小值为AT，然后利用三角函数的概念进行计算.
17．【答案】（1）解：如图所示：由题知：、和是直角三角形
∵ tanC=，DE=2
∴ CE=4，
∵ D为BC中点，DE⊥AC
∴ CE=EF=BF=4
∴ CB=
∴ AB=
（2）解：如图所示：过D作DH⊥BF于H
∴ 四边形DEFH为矩形
∴ DH=EF，
∵ ∠C=30°，DE⊥AC，DE=2
∴ CE=，CD=4，
∵ D为BC的中点
∴ CE=EF=DH=，BF=4
∴ BE==
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】本题考查直角三角形锐角三角函数和勾股定理。（1）根据tanC=和DE=2得CE=EF=BF=4，勾股定理得CB，则可得AB；（2）根据 和DE⊥AC得，，得，则可知。
18．【答案】解：中，，
∴．
设，，则．
∵D是的中点，，
∴，
∴，，
中，，
∴．
∴的正切值为．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】设，，则．根据D是的中点，，得出，根据中，，即可得出的正切值。
19．【答案】解：过点C作交AD于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∵，即，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点，先证明，再利用相似的性质可得，再结合，可得，再根据 ，即，设，则， 最后利用计算即可。
20．【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
21．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BE，由题意可得：
∵AC∥BD
在中，
故答案为：2
【分析】连接BE，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的相似比可得，再根据直角三角形中锐角三角形函数的定义即可求出答案.
22．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意可得：，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，再利用正切的定义求出即可。
23．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵sinA=，
∴设BD=3x，AB=5x，
∴AD==4x.
∵AB=AC，
∴AB=AC=5x，
∴CD=AC-AD=x.
∵BD2+CD2=BC2，
∴(3x)2+x2=()2，
解得x=2，
∴AD=4x=8.
设AE=m，则DE=8-m.
过E作EF⊥AB于点F，则∠AFE=90°.
∵BE平分∠ABD，∠ADB=90°，
∴EF=DE=8-m.
∵sinA=，
∴，
∴m=5，
∴AE=5.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可设BD=3x，AB=5x，则AD=4x，CD=AC-AD=x，由勾股定理可得x的值，然后求出AD，设AE=m，则DE=8-m.过E作EF⊥AB于点F，则∠AFE=90°，由角平分线的性质可得
EF=DE=8-m，然后利用三角函数的概念进行计算.
24．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由折叠可知，AF=AD=BC，EF=DE
且BF=3CM
∴AF=5CM
∴AB=4(勾股定理）即DC=4(矩形性质）
∴FC=BC-BF=5-3=2CM
在Rt中，设EF=DE=x，则EC=4-x
解得
在Rt中，
故填：
【分析】根据折叠和矩形的性质，表示出直角三角形ECF的三边，再次运用勾股定理即可求。
25．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
26．【答案】（1）证明：∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题意可得EF为△ABC的中位线，则EF∥BC，由平行线的性质可得∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO，由中点的概念可得FO=DO，利用AAS证明△EFO≌△GDO，得到EF=GO，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AC=EC，由等腰三角形的性质可得∠EDC=∠C，结合三角函数的概念可得CD的值，利用勾股定理可得DE，然后根据平行四边形的性质进行解答.
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