北师大版六年级数学上册第六单元比的认识同步学案（知识点梳理+能力百分练）四

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北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）四
知识点梳理
1、两个数相除又叫作两个数的比。“:”叫作比号，读作“比”。在一个比中，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项的商就是这个比的比值。
2、比与除法、分数既有联系，又有区别，它们之间的关系可以表示为a: b=a÷b=。
3、比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项互为质数，这样的比叫作最简整数比。把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。
4、根据商不变的规律化简比时，先把比改写成除法算式，再把被除数和除数同时除以它们的最大公因数，最后再化成比的形式。根据分数的基本性质化简比时，先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成比的形式。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，这就是比的基本性质。利用比的基本性质化简比时，把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数即可。
5、解决按一定的比进行分配的问题时，有三种解决问题的方法。一是把比看作分得的份数，转化成整数乘除法解答，先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分量。二是转化为分数乘法解答，仍然是先求出总份数﹐再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总份数乘相应的分数求出各部分量。三是列方程解答，先设每份的量为x，再用份数乘每份的量，利用各部分量的和一总量列方程求解。
能力百分练
一、选择题（满分16分）
1．有甲乙丙三箱水果，甲箱质量与乙丙两箱质量和的比是1∶5，乙箱质量与甲丙两箱质量和的比是1∶2，甲箱和乙箱的质量比是（ ）。
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶1
2．一粒玉米种子，发芽粒数与没有发芽粒数的比是4∶1，这批种子的发芽率是（ ）。
A．25% B．75% C．80% D．85%
3．甲、乙两人拥有弹珠颗数比是4∶1，如果甲送给乙15颗弹珠后，甲、乙两人弹珠数量比为7∶8，那么两人共有弹珠（ ）颗。
A．35 B．40 C．45 D．50
4．乐乐把自己压岁钱的给妹妹，这时两人的压岁钱同样多。原来乐乐和妹妹的压岁钱的比是（ ）。
A．4∶3 B．6∶5 C．5∶4 D．5∶3
5．某校六年级男生比女生多30人，六年级女生人数与男生人数的比是4∶5，六年级人数占全校人数的20%，全校有（ ）名学生。
A．1050 B．1150 C．1250 D．1350
6．学校合唱队人数在20～30人之间，男女生人数的比是3∶5，这个合唱队有（ ）人。
A．21 B．24 C．25 D．27
7．图书阅览室里有120名学生，男、女生人数的比不可能是（ ）。
A． B． C． D．
8．在9∶4这个比中，如果前项加上18，要使比值不变，后项应该加上（ ）。
A．18 B．12 C．8 D．4
二、填空题（满分16分）
9．两个相同的杯里装满了酒精溶液，酒精和水的体积比分别是1∶4和3∶7，如果将这两杯溶液在大容器里完全混合，混合后的酒精溶液中酒精和水的体积最简整数比是( )。
10．两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，2.4时后相遇，已知两辆车的速度比是12∶13，较慢的一辆车每时行( )千米。
11．2022年供暖前一月，西安某居民小区陆续缴纳暖气费，该小区共有270户，已缴费的住户与未缴费的住户数量比是8∶1，供暖前一周该小区有( )户已缴暖气费，有( )户未缴暖气费。
12．用180米长的篱笆围出一块长方形菜地，使菜地长与宽的比为6∶4，那么长方形菜地的长是( )米，宽是( )米。
13．学校图书馆新进了一批图书，按4∶3分给五年级和六年级。五年级分了280本，六年级分了( )本。
14．一个三角形，三个角的度数之比为，最小的角是( )度，这个三角形是( )三角形。
15．5∶8的前项增加25，要使比值不变，后项应该( )；如果比值扩大了2倍，前项不变，那么后项应该变成( )。
16．某人骑自行车从小镇到县城，8时出发，计划9时到达。走了一段路后，下车就地修车10分钟，修车地点距离中点还差2千米，车速提高了，结果还是比预定时间晚了2分钟到达县城，骑车人原来每小时行( )千米。
三、判断题（满分8分）
17．大小两个圆的周长之比是5∶2，它们半径之比也是5∶2。( )
18．如果，那么A比B少。( )
19．给5∶8的前项加10，要使比值不变，后项应该加16。( )
20．把美术小组人数的调入音乐小组，这时两组人数相等。则原来美术小组和音乐小组的人数比是10∶9。( )
四、计算题（满分6分）
21．（6分）化简比。
0.07∶4.2 时∶30分 4.5∶6
五、作图题（满分6分）
22．（6分）在方格图中画出两个大小、形状不同的梯形，使它们的下底和高的比都是3∶2。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）某工厂一、二月的平均产量是1500吨，已知一月和二月的产量的比是8∶7，一月份的产量是多少吨？
24．（6分）新华书店要向两所小学捐赠图书500本，东山小学有120名学生，南岭小学有280名学生，按学生数分配图书，南岭小学可以分得多少本图书？
25．（6分）在寒冷的天气，为预防伤寒感冒，我国民间常用生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量配比煮成“姜汤”服用，如果要煮一碗410克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？
26．（6分）调制巧克力奶，巧克力与奶的质量比是2∶9 ，笑笑有巧克力240克，都用来调巧克力奶。她要准备多少克奶？
27．（6分）一种什锦糖是由奶糖、水果糖和酥糖按2∶4∶3混合成的。要配制这样的什锦糖270千克，需要的水果糖比奶糖多多少千克？
28．（6分）两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5∶3，甲车每小时行驶多少千米？
29．（6分）用80厘米长的铁丝做一个长方体框架（接头处不计），长是6厘米，宽和高的比是3∶4，这个长方体的体积是多少立方厘米？
30．（6分）原来，甲书架与乙书架书的本数比是5∶6，两个书架上各借出88本后，甲书架上书的本数是乙书架的。乙书架上原来有多少本书？
参考答案
1．A
【分析】根据题意，甲箱质量与乙丙质量和的比是1∶5，则甲箱占总质量的，同样乙箱质量与甲丙两箱质量和的比是1∶2，则乙箱占总箱质量的；再用甲箱占总质量的分率∶乙箱占总质量分率，化简即可解答。
【详解】甲箱占总质量的
乙箱占总值量的
甲箱和乙箱的比是：∶
＝∶
＝（×6）∶（×6）
＝1∶2
故答案为：A
【点睛】本题考查比的意义，比的基本性质，以及按比例分配问题。
2．C
【分析】将发芽粒数看成4份，没有发芽粒数看成1份，则种子总数是4＋1＝5份，带入发芽率＝×100%计算即可。
【详解】×100%＝80%
故答案为：C
【点睛】本题主要考查百分率问题，理解比的意义是解题的关键。
3．C
【分析】根据甲、乙两人弹珠颗的总数没变，把弹珠颗的总数看作单位“1”，原来甲的个数占总个数的，甲送给乙15颗弹珠后，甲的个数占总个数的，根据分数除法的意义，用15÷（－），就是两人共有弹珠的颗数。
【详解】15÷（－）
＝15÷（－）
＝15÷
＝45（颗）
故答案为：C
【点睛】关键是抓住甲、乙两人弹珠的总颗数没变，看作单位“1”，把比转化成分数，进而求出15占两人总颗数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
4．D
【分析】把乐乐自己的压岁钱看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，乐乐把自己压岁钱的给妹妹，这时两人的压岁钱同样多，说明妹妹比乐乐少2个，即妹妹原来的压岁钱是（1－－），根据比的意义，即可写出原来乐乐和妹妹的压岁钱的比，并化成最简整数比，然后即可作出选择。
【详解】1∶（1－－）
＝1∶
＝5∶3
原来乐乐和妹妹的压岁钱的比是5∶3。
故答案为：D
【点睛】也可把乐乐自己的压岁钱看作单位“1”，把它平均分成5份，则妹妹相当于这样的（5－1－1）份，然后根据比的意义，写出原来乐乐和妹妹的压岁钱的比。
5．D
【分析】由题意可知，六年级女生人数比男生人数少（5－4）份，女生比男生少30人，先用除法求出1份的人数，再用乘法求出（4＋5）份的人数，即六年级人数。把全校学生人数看成单位“1”，根据百分数除法的意义，用六年级人数除以20%就是全校学生人数。
【详解】30÷（5－4）×（4＋5）÷20%
＝30÷1×9÷20%
＝270÷20%
＝1350（名）
故答案为：D
【点睛】解答此题的关键是根据比的意义求出六年级人数，再根据分数除法的意义，即可求出全校人数。
6．B
【分析】根据题意，男女生人数比是3∶5，则男生人数和女生人数分成3＋5＝8份，即合唱队人数是8的倍数，找出8的倍数在20~30人之间，即可解答。
【详解】3＋5＝8（份）
3×8＝24（人）
学校合唱队人数在20～30人之间，男女生人数的比是3∶5，这个合唱队有24人。
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键是根据男女生人数的比是3∶5，进而求出男女生人数分成的份数。
7．A
【分析】先求出男、女生人数总共是几份，再看，这个数是不是120的因数，是可能就是，否则就不是；据此解答。
【详解】A．4＋5＝9；9不是120的因数，男、女生人数的比不可能是4∶5；
B．3＋2＝5；5是120的因数，男、女生人数的比可能是3∶2；
C．1＋3＝4；4是120的因数，男、女生人数的比可能是1∶3；
D．2＋1＝3；3是120的因数，男、女生人数的比可能是2∶1。
图书阅览室里有120名学生，男、女生人数的比不可能是4∶5。
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键明确男、女生人数的总份数必须是120的因数。
8．C
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。
【详解】（9＋18）÷9
＝27÷9
＝3
4×3－4
＝12－4
＝8
在9∶4这个比中，如果前项加上18，要使比值不变，后项应该加上8。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握和灵活运用比的基本性质是解答本题的关键。
9．1∶3
【分析】两个容器中酒精溶液的酒精与水的份数之和不相等，不能直接将份数进行求和计算。
可假设两个容积相等的容器容积为1升，结合题意分别得到两个容器中酒精和水的体积，再将两个容器中的酒精和水分别相加，得到混合后酒精的体积和水的体积，进而完成解答。
【详解】假设两个容积相等的容器容积为1升。
混合后酒精体积：
＝0.2＋0.3
＝0.5（升）
混合后水的体积：
＝0.8＋0.7
＝1.5（升）
0.5∶1.5＝5∶15＝1∶3
混合后的酒精溶液中酒精和水的体积最简整数比是1∶3。
【点睛】本题主要考查了比的应用。对此类没有具体数值的题目，可假定一个数值，再根据题目中数量关系，进行解答计算。
10．72
【分析】总路程÷相遇时间＝速度和，据此用360÷2.4求出两辆车的速度和。已知两辆车的速度比是12∶13，则较慢的一辆车的速度占它们速度和的，用两辆车的速度和乘即可求出较慢的一辆车每时行多少千米。
【详解】360÷2.4＝150（千米）
150×
＝150×
＝72（千米）
则较慢的一辆车每时行72千米。
【点睛】本题考查了相遇问题和按比分配问题的综合应用。根据总路程、相遇时间与速度和的关系，求出两辆车的速度和；根据两辆车的速度比，求出较慢一辆车的速度占它们速度和的几分之几是解题的关键。
11． 240 30
【分析】已缴费的住户与未缴费的住户数量比是8∶1，可知已缴费的住户占总户数的，未缴费的住户数量占总户数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
【详解】8＋1＝9
270×＝240（户）
270×＝30（户）
供暖前一周该小区有240户已缴暖气费，有30户未缴暖气费。
【点睛】本题考查分数乘法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
12． 54 36
【分析】根据长方形的周长公式：（长＋宽）÷2，由于长方形的周长是180米，则长加宽的和是180÷2＝90（米），根据公式：总数÷总份数＝1份量，即90÷（6＋4），据此即可求出1份量，再分别乘长和宽各自的份数即可。
【详解】180÷2＝90（米）
90÷（6＋4）
＝90÷10
＝9（米）
9×6＝54（米）
9×4＝36（米）
长方形菜地的长是54米，宽是36米。
【点睛】本题主要考查比的应用以及长方形的周长公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
13．210
【分析】根据题意按4∶3分给五年级和六年级，把这批图书分成（4＋3）份，五年级分给4份，是280本，用280÷4，求出1份是多少本，六年级分3份，用1份的本数×3，即可求出六年级分的本数。
【详解】280÷4×3
＝70×3
＝210（本）
学校图书馆新进了一批图书，按4∶3分给五年级和六年级。五年级分了280本，六年级分了210本。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
14． 36 直角
【分析】三角形的内角和为，根据三个角的度数之比为，可知每个角占的内角和的分率，进而求出最小的角与最大的角，根据三角形的分类即可判断。
【详解】
最小：
最大：；
最小的角是36度，这个三角形是直角三角形。
【点睛】主要利用三角形的内角和与比的应用来解答问题。
15． 乘6 原来的
【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同不为0的数，比值不变；根据比值＝比的前项÷比的后项，由于前项不变，比值扩大了2倍，后项应该缩小到原来的，据此解答。
根据比与除法的关系以及商的变化规律可知，比值
【详解】5∶8的前项增加25，即5＋25＝30，30÷5＝6，相当于前项乘6，要使比值不变，后项应该乘6；如果比值扩大了2倍，前项不变，那么后项应该变成原来的。
【点睛】熟练掌握比的基本性质以及比与除法的关系、商的变化规律是解题的关键。
16．12
【分析】据题意可知，车速提高了，提速后的速度与原来速度的比为（1＋）∶1＝5∶4，那么，同样路程的用时比为4∶5，即原来5分钟的路程提速后只需4分钟；修车耽误了10分钟后只晚到了2分钟，说明实际比原来少用了（10－2）分钟。说明原来这段路需要（5×8）分钟；由此可知，故障点为全程的1－＝处。所以骑车人每小时行驶2÷（－）＝12（千米）。
【详解】（1＋）∶1＝5∶4
∶＝4∶5
（10－2）÷（5－4）×5
＝8÷1×5
＝40（分钟）
1－＝
2÷（－）
＝2÷
＝12（千米）
骑车人原来每小时行12千米。
【点睛】完成本题的关键根据其速度和所用时间求出故障点在全程的位置。
17．√
【分析】根据圆的周长公式为：C＝2r，分析圆的周长比和半径比之间的关系即可。
【详解】由分析可得：
因为C＝2r，2是一个固定值，所以两个圆的周长比就等于相同两个圆的半径比，
大小两个圆的周长之比是5∶2，则它们半径之比也是5∶2。
故答案为：√
【点睛】本题考查了圆的半径和周长的关系，要求学生熟练掌握圆的周长公式，同时还要理解比的意义。
18．√
【分析】根据比的性质将化简成，可设A是2份，B是5份，再用它们的差除以B即可解答。
【详解】由可得
假设A是2份，B是5份
（5－2）÷5
＝3÷5
＝
所以如果，那么A比B少。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查的是比的应用。解题关键在于用它们的差除以正确的单位“1”。
19．√
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；据此求出前项扩大到原来的多少倍，后项也扩大到原来的多少倍，进而解答。
【详解】（5＋10）÷3
＝15÷5
＝3
8×3－8
＝24－8
＝16
给5∶8的前项加10，要使比值不变，后项应该加16。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】熟练掌握比的基本性质是解答本题的关键。
20．×
【分析】由题意可知：原来美术小组人数×（1－）＝原来音乐小组人数＋原来美术小组人数×，所以原来美术小组人数×＝原来音乐小组人数＋原来美术小组人数×，化简后根据比的意义求出原来美术小组和音乐小组的人数比。
【详解】由分析可知：原来美术小组人数×（1－）＝原来音乐小组人数＋原来美术小组人数×，即原来美术小组人数×＝原来音乐小组人数＋原来美术小组人数×，化简后得原来美术小组人数×＝原来音乐小组人数，则原来美术小组人数∶原来音乐小组人数＝10∶8＝5∶4。
故答案为：×
【点睛】本题考查比的意义，关键是根据题意理清现在美术小组和音乐小组的人数的关系。
21．1∶60；4∶3；3∶4
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化简，注意单位名数的统一。
【详解】0.07∶4.2
＝（0.07×100）∶（4.2×100）
＝7∶420
＝（7÷7）∶（420÷7）
＝1∶60
时∶30分
时＝40分
40∶30
＝（40÷10）∶（30÷10）
＝4∶3
4.5∶6
＝（4.5×10）∶（6×10）
＝45∶60
＝（45÷15）∶（60÷15）
＝3∶4
22．见详解
【分析】根据下底和高的比都是3∶2，则下底可以是6格，高是4格；下底也可以是3格，高是2格，据此画出对应的梯形即可。
【详解】
（答案不唯一）
【点睛】根据比的意义确定出梯形的下底和高是解答本题的关键。
23．1600吨
【分析】根据题意，某工厂一、二月的平均产量是1500吨，一、二月的产量是1500×2吨，一月份占总产量的，用总产量×，即可求出一月份的产量。
【详解】一月份占
（1500×2）×
＝3000×
＝1600（吨）
答：一月份的产量是1600吨。
【点睛】本题考查按比例分配问题，关键明确1500吨是一、二月的平均产量，要乘2，才是一、二月的总产量。
24．350本
【分析】先求出两所小学的人数之比，120 ∶280＝3∶7，南岭小学人数占两所学校总人数的＝，南岭小学可以分得的图书就应是捐赠图书总量的，用500×；据此求解。
【详解】120 ∶280＝3∶7
500×＝500×＝350（本）
答：南岭小学可以分得350本图书。
【点睛】解答此题的关键是理解两所小学的人数之比就是分配图书的数量之比，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算。
25．生姜10克；红糖25克
【分析】根据题意，把姜汤看作单位“1”，平均分成2＋5＋75＝82份，其中生姜占2÷82＝，红糖占5÷82＝，已知姜汤一碗是410克，生姜占克数是：410×，红糖占的克数410×，即可解答。
【详解】2＋5＋75
＝7＋75
＝82（份）
生姜占姜汤的2÷82＝
红糖占姜汤的5÷82＝
生姜的克数：410×＝10（克）
红糖占的克数：410×＝25（克）
答：生姜准备10克，红糖准备25克。
【点睛】本题考查比与分数的关系，以及求一个数的几分之几是多少，用乘法。
26．1080克
【分析】巧克力与奶的质量比是2∶9，则奶的质量是巧克力的。用巧克力的质量240克乘即可求出需要奶的质量。
【详解】240×＝1080（克）
答：她要准备1080克奶。
【点睛】本题考查比的应用。根据巧克力与奶的质量比得出“奶的质量是巧克力的”是解题的关键。
27．60千克
【分析】奶糖、水果糖和酥糖按2∶4∶3混合，把奶糖的质量看成2份，水果糖的质量就是4份，酥糖的质量就是3份，总份数就是2＋4＋3＝9份，用总质量270千克除以总份数，求出每份的质量，再分别乘水果糖和奶糖所占的份数，即可求出是水果糖和奶糖的质量，用水果糖的质量减奶糖的质量即可。
【详解】270÷（2＋4＋3）
＝270÷9
＝30（千克）
水果糖：30×4＝120（千克）
奶糖：30×2＝60（千克）
120－60＝60（千克）
答：需要的水果糖比奶糖多60千克。
【点睛】此题主要考查了按比分配的应用题，可以先把比看成份数，求出总份数，进而求出每份的数量，再用每份的数量乘上对应的份数即可，灵活掌握公式：总量÷总份数＝一份量。
28．75千米
【分析】求甲车每小时行驶多少千米，我们可以先根据路程÷时间＝两车的速度和，然后按比例分配，就可以求出甲车的速度。
【详解】480÷4÷（5＋3）×5
＝480÷4÷8×5
＝15×5
＝75（千米）
答：甲车每小时行驶75千米。
【点睛】此题先求出速度和，再根据按比例分配来解决。
29．288立方厘米
【分析】长方体的长、宽、高之和＝长方体的棱长之和÷4，长、宽、高之和－长＝宽与高的和，已知宽和高的比，按比例分配可分别求出宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】80÷4－6
＝20－6
＝14（厘米）
14÷（3＋4）×3
＝2×3
＝6（厘米）
14÷（3＋4）×4
＝2×4
＝8（厘米）
6×6×8＝288（立方厘米）
答：长方体的体积是288立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体棱长、体积以及比的综合应用，根据按比例分配先求出长方体的宽和高是解题关键。
30．144本
【分析】原来甲书架与乙书架书的本数比是5∶6，现在甲书架与乙书架书的本数比是4∶7，由于各借出88本，二者的差不变，而5∶6相差1份，4∶7相差3份，统一份数，求出1份是多少，再计算乙原来的数量。
【详解】原来甲、乙的数量比，5∶6＝15∶18；
现在甲、乙的数量比，4∶7；
（份）
甲、乙各减少了11份，11份是88本；
（本）
（本）
答：乙书架上原来有144本书。
【点睛】本题考查的是比例应用题中的变比问题，属于差不变的类型，解题的关键是寻找不变量，统一不变量的份数。
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