北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）三（学案）

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北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）三
知识点梳理
1、两个数相除又叫作两个数的比。“:”叫作比号，读作“比”。在一个比中，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项的商就是这个比的比值。
2、比与除法、分数既有联系，又有区别，它们之间的关系可以表示为a: b=a÷b=。
3、比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项互为质数，这样的比叫作最简整数比。把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。
4、根据商不变的规律化简比时，先把比改写成除法算式，再把被除数和除数同时除以它们的最大公因数，最后再化成比的形式。根据分数的基本性质化简比时，先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成比的形式。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，这就是比的基本性质。利用比的基本性质化简比时，把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数即可。
5、解决按一定的比进行分配的问题时，有三种解决问题的方法。一是把比看作分得的份数，转化成整数乘除法解答，先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分量。二是转化为分数乘法解答，仍然是先求出总份数﹐再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总份数乘相应的分数求出各部分量。三是列方程解答，先设每份的量为x，再用份数乘每份的量，利用各部分量的和一总量列方程求解。
能力百分练
一、选择题（满分16分）
1．对消毒液使用说明中的“1∶52”理解错误的是（ ）。
A．1份原液配52份水
B．如果放10ml原液，就要放520ml水
C．水与原液的比是52∶1
D．原液占稀释后液体总量的
2．淘气调制了一杯糖水，糖与水的质量比是2∶25，其中糖用了10g，调制这杯糖水用水（ ）g。
A．100 B．125 C．150 D．50
3．2022年6月5日神舟十四号发射成功。六（4）班开展制作航天模型的比赛，参加的男生和女生共36人，其中男生与女生的人数比是7∶2，后来又有若干名男生加入，这时男生占总人数的80%。现在六（4）班参加比赛的男生和女生共有（ ）人。
A．48 B．45 C．42 D．40
4．王师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的，第二天又加工了70个，这时已加工的与未加工的个数比是3∶2，这批零件一共有（ ）个。
A．165 B．175 C．195 D．215
5．圆的周长与它的半径的比是（ ）。
A． B． C． D．
6．三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精和水的体积比分别是1∶2、2∶3、4∶11，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的体积比是（ ）。
A．2∶5 B．1∶2 C．3∶7 D．4∶9
7．3∶4的前项加上6，要使比值不变，后项要（ ）。
A．加上6 B．加上8 C．扩大6倍 D．扩大8倍
8．在3∶4中，如果前项增加6，要使比值不变，后项应（ ）。
A．不变 B．增加6 C．乘2 D．乘3
二、填空题（满分16分）
9．的倒数是( )，化成最简单的整数比是( )。
10．调制巧克力奶，巧克力与奶的质量比是2∶9，笑笑有280g巧克力，都用来调制巧克力奶。她能调制出( )g巧克力奶。喝了后，还剩下( )g。
11．笑笑和淘气看同一本数学课外阅读书籍《绝望的分数》，笑笑用了7天看完，淘气只用了5天就看完了，笑笑和淘气阅读的速度比是( )。
12．甲仓库有化肥240吨，乙仓库有化肥160吨，如果要使甲、乙两仓库的化肥质量的比是2∶3，应从甲仓库里调( )吨化肥到乙仓库。
13．植树节，六年级女生和男生共同去植树，女生和男生植树棵数的比是3∶5，男生植树150棵，则女生植树( )棵。
14．一个三角形，三个内角的度数比为1∶1∶2，按角分，它是( )三角形；按边分，它是( )三角形。
15．我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年6月21日是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是9∶7，那么，黑夜约是( )小时。
16．欢欢和笑笑两人同时从学校往体育中心走，欢欢用了20分钟，笑笑用了15分钟。欢欢和笑笑的速度比是( )，比值是( )。
三、判断题（满分8分）
17．足球比赛的得分可以是3∶0，所以比的后项有时也可以是0。( )
18．蓝田县境内耕地面积4.04万公顷，有效灌溉面积1.15万公顷，蓝田县境内耕地面积和有效灌溉面积的比值是。( )
19．走同一段路，甲要小时，乙要小时，甲、乙的速度比是9∶8。( )
20．小明和小丽今年的年龄比是5∶7，四年后他们的年龄比不变。( )
四、计算题（满分6分）
21．（6分）求比值。
25∶65 0.28∶35%
五、作图题（满分6分）
22．（6分）按要求涂一涂，画一画。
在图中涂色，使得涂色方格的个数与空白方格的个数比为3∶5。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）制作模型比赛时，用一根168厘米长的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3∶2∶1的长方体模型。这个模型的体积是多少立方厘米？
24．（6分）一块长方形菜地（如图），剩下的地按2∶1的面积比种白菜和萝卜。白菜和萝卜分别种了多大面积？
25．（6分）某电脑商店四周卖出一批电脑，第一周卖出总台数的，第二周卖出总台数的，第三周与第四周卖出的台数比是，已知第四周比第三周少卖出了180台，这批电脑原来有多少台？
26．（6分）为丰富学生阅读活动，学校计划购买1260本课外读本，其中25%是文艺书，其余按4∶5分别购买科技书和故事书，故事书要买多少本？
27．（6分）饺子，又称水饺，是中华民族的一种传统面食，距今已有一千八百多年的历史。周末，爸爸、妈妈和鹏鹏一起包韭菜虾仁鸡蛋饺子。韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2，1200克的饺子馅，需要韭菜、虾仁、鸡蛋各多少克？
28．（6分）育才小学举办了美术作品展览比赛，最终有45幅参赛作品分别获得了一、二、三等奖，其中获得一等奖的作品占总获奖作品数的，二等奖和三等奖获奖作品的数量比为3∶4，求获得这三个奖项的作品各有多少幅？
29．（6分）在“快乐大课间”活动中，体育老师按的比把75个篮球分配给六年（1）班和六年（2）班同学使用。六年（1）班有48人，六年（2）班有42人，两个班各分到多少个篮球？
30．（6分）筑路队修一条公路，一个月后，已经修了和未修的米数比是2∶3，如果再修300米，就正好修这条公路的一半。这条公路长多少米？（先画图再解答）
参考答案
1．D
【分析】观察图可知，1∶52表示的是原液与水的体积比，也就是1份的原液配52份的水，由此对各个选项进行分析，得出结论，从而求解。
【详解】A．原液的体积∶水的体积＝1∶52
即1份的原液配52份的水，说法正确；
B．10×52＝520（mL）
所以放10ml原液，就要放520ml水，说法正确；
C．水的体积∶原液的体积＝52∶1，说法正确；
D．1÷（52＋1）＝
原液占稀释后液体总量的，原说法错误。
故答案为：D
【点睛】本题考查了比的意义，注意根据比的顺序性确定比的前项和后项。
2．B
【分析】糖与水的比是2∶25，也就是水是糖的倍，用乘法即可得水用了多少克。
【详解】10125（g）
调制这杯糖水用水125g。
故选答案为：B
【点睛】本题考查了比的应用，已知一个数，求它的几分之几是多少用乘法计算。
3．D
【分析】根据按比例分配，求出没加入男生之间人数的人数，即36×；设又加入x名男生，则男生人数为：（36×＋x）名，总人数（36＋x），这时男生占总人数的80%。解方程：（36＋x）×80%＝36×＋x，解方程，求出加入男生的人数，进而求出现在六（4）班参加比赛的男生和女生共有多少人。
【详解】解：设又加入x名男生。
（36＋x）×80%＝36×＋x
36×80%＋80%x＝28＋x
x－80%x＝28.8－28
20%x＝0.8
x＝0.8÷20%
x＝4
36＋4＝40（人）
故答案为：D
【点睛】根据方程的实际应用。利用按比例分配以及求一个数的百分之几是多少的知识，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
4．B
【分析】把这批零件的数量看作单位“1”，第一天加工了全部零件的，第二天又加工了70个，这时已加工的与未加工的个数比是3∶2，也就是已经加工的占全部零件的，由此可知，第二天加工的70个零件占全部零件的（－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
【详解】70÷（－）
＝70÷（－）
＝70÷
＝175（个）
故答案为：B
【点睛】此题解题的关键是把比转换成分数，再求出与已知数量相对应的分率，最后用除法解答。
5．A
【分析】设圆的半径为r，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出圆的周长，再根据比的意义，用圆的周长∶半径，化简解答。
【详解】设圆的半径为r。
π×r×2∶r
＝（2πr÷r）∶（r÷r）
＝2π∶1
圆的周长与它的半径的比是2π∶1。
故答案为：A
【点睛】根据圆的周长公式以及比的意义进行解答。
6．B
【分析】根据题意，三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，设酒精溶液的体积是1，根据按比例分配，分别求出三个瓶子里酒精溶液中酒精的体积和水的体积，再把三个容器内酒精的体积相加，三个容器内水的体积相加，再根据比的意义，用酒精的体积∶水的体积，据此解答
【详解】设容器的酒精溶液的容积是1。
三个瓶子酒精的体积：
1×＋1×＋1×
＝1×＋1×＋1×
＝＋＋
＝＋＋
＝1
三个瓶子水的体积：
1×＋1×＋1×
＝＋＋
＝＋＋
＝2
酒精∶水＝1∶2
三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精和水的体积比分别是1∶2、2∶3、4∶11，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的体积比是1∶2。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握按比例分配以及比的意义是解答本题的关键，注意把容器里的酒精的溶液的体积看作是1。
7．B
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。
【详解】（3＋6）÷2
＝9÷3
＝3
4×3－4
＝12－4
＝8
3∶4的前项加上6，要使比值不变，后项要加上8。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握和灵活运用比的基本性质是解答本题的关键。
8．D
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。
【详解】（3＋6）÷3
＝9÷3
＝3
在3∶4中，如果前项增加6，要使比值不变，后项应乘3。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握比的基本性质是解答本题的关键。
9．
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，用1÷1.2，即可求出1.2的倒数；第一小空据此解答；
再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，第二小空据此解答。
【详解】1÷1.2＝
0.75∶
＝（0.75×1000）∶（×1000）
＝750∶625
＝（750÷125）∶（625÷125）
＝6∶5
1.2的倒数是；0.75∶化成最简单的整数比是6∶5。
【点睛】熟练掌握倒数的意义，比的基本性质是解答本题的关键。
10． 1540 385
【分析】巧克力与奶的质量比是2： 9，即巧克力是2份，奶是9份，笑笑有280克巧克力都用来调制巧克力奶，要求能调制出多少克巧克力奶，可以先用280除以2求得1份是多少，再乘总份数即可得解；喝了后，求还剩的克数，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算可求得结果。
【详解】280÷2×（2＋9）
＝140×11
＝1540（g）
1540×（1－）
＝1540×
＝385（g）
所以：她能调制出1540g巧克力奶。喝了后，还剩下385g。
【点睛】此题考查了比的应用和求一个数的几分之几是多少的知识。
11．5∶7
【分析】把看完这本书的工作量看作“1”，二人的速度，即工作效率，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”即可分别求出笑笑、淘气的速度，再根据比的意义即可写出二人的速度比，再化成最简整数比。
【详解】1÷7＝
1÷5＝
∶
＝（×35）∶（×35）
＝5∶7
笑笑和淘气阅读的速度比是5∶7。
【点睛】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
12．80
【分析】根据题意可知，甲、乙两个仓库化肥的总和不变，按2∶3重新分配，则把甲仓库现有的化肥看作2份，乙仓库现有的化肥看作3份，用总和除以（2＋3）份，即可求出每份是多少，进而求出甲仓库现有的化肥吨数，最后用甲仓库原有的吨数减去现有的吨数，即可求出从甲仓库里调多少吨化肥到乙仓库。据此解答。
【详解】（240＋160）÷（2＋3）
＝400÷5
＝80（吨）
80×2＝160（吨）
240－160＝80（吨）
应从甲仓库里调80吨化肥到乙仓库。
【点睛】本题主要考查了按比分配问题，关键是求出每份的量是多少，注意两个仓库的总和不变。
13．90
【分析】女生和男生植树棵数的比是3∶5，即女生有3份，男生有5份，已知男生植树150棵，用150除以男生的份数5，即可求出1份的数量，再用1份数量乘女生的份数即可解答。
【详解】150÷5×3
＝30×3
＝90（棵）
植树节，六年级女生和男生共同去植树，女生和男生植树棵数的比是3∶5，男生植树150棵，则女生植树90棵。
【点睛】本题考查了比的应用，关键是求出一份的棵树。
14． 直角 等腰
【分析】首先根据三角形的内角和是180°，共分为1＋1＋2＝4份，求出每份对应的度数，从而求出三角形的最大的角；最大的角是锐角，则是锐角三角形；最大的角是直角，则是直角三角形；最大的角是钝角，则是钝角三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形，据此解答即可。
【详解】180°÷（1＋1＋2）
＝180°÷（2＋2）
＝180°÷4
＝45°
45°×2＝90°，是直角
45°×1＝45°
45°＝45°
即一个三角形，三个内角的度数比为1∶1∶2，按角分，它是直角三角形；按边分，它是等腰三角形。
【点睛】熟练掌握三角形的内角和，以及按比分配问题的应用。
15．10.5
【分析】把一天的时间（24小时）平均分成（9＋7）份，先用24除以（9＋7）份，求出1份的时间，再用乘法求出7份（黑夜）的时间，即可解答。
【详解】9＋7＝16（份）
24÷16×7
＝1.5×7
＝10.5（小时）
我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年6月21日是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是9∶7，那么，黑夜约是10.5小时。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
16． 3∶4
【分析】将这段路程看成单位“1”，则欢欢的速度为1÷20＝，笑笑的速度为1÷15＝，由此得出速度比，再求出比值即可。
【详解】（1÷20）∶（1÷15）
＝∶
＝3∶4
3∶4＝
欢欢和笑笑的速度比是3∶4，比值是。
【点睛】本题考查行程问题与比的综合应用，表示出速度是解题的关键。
17．×
【分析】比的意义是：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；而一场足球比赛的比分是3∶0，说明本次比赛，第一队进了3个球，第二队一个球也没有进，这是表示双方进球的个数多少，与前一个比意义不同；据此判断即可。
【详解】据上分析：足球比赛的得分可以是3∶0，所以比的后项有时也可以是0，此说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题重点考查对比意义的灵活理解。
18．×
【分析】根据比的意义，用蓝田县境内耕地面积∶有效灌溉面积，求出蓝田县境内耕地面积与有效灌溉面积的比，再用比的前项÷比的后项，即用蓝田县内耕地面积÷有效灌溉面积，即可求出比值，再进行比较，即可解答。
【详解】蓝田县境内耕地面积∶有效灌溉面积＝4.04∶1.15
4.04÷1.15＝
蓝田县境内耕地面积4.04万公顷，有效灌溉面积1.15万公顷，蓝田县境内耕地面积和有效灌溉面积的比值是。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】利用比的意义以及比值的求法进行解答，关键是求出蓝田县境内耕地面积与有效灌溉面积的比。
19．×
【分析】根据题意，把路程看做整体“1”，根据路程，速度，时间的关系，即可求出甲，乙的速度，问题即可解决。
【详解】（1÷）∶（1÷）
＝（1×）∶（1×）
＝∶
＝（×6）∶（×6）
＝8∶9
甲、乙的速度比是8∶9，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答此题的关键是，弄清路程，速度，时间的关系，找出对应量，写出对应的两数的比，再根据比的基本性质，化成最简整数比即可。
20．×
【分析】根据题意可知：小明和小丽今年的年龄比是5∶7，假设小明今年5岁，则小丽今年7岁，四年后小明（5＋4）岁，小丽（7＋4）岁，年龄比为9∶11，进而得出结论。
【详解】假设小明今年5岁，则小丽今年7岁，四年后小明（5＋4）岁，小丽（7＋4）岁，可得：
（5＋4）∶（7＋4）
＝9∶11
＝
5∶7＝
≠
所以，小明和小丽今年的年龄比是5∶7，四年后他们的年龄比改变了，故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查的是比的基本性质应用，解题的关键是根据比值是否相等，进行判断，进而得出答案；注意在年龄问题中，两人的年龄之差不会改变。
21．；；
【分析】求比值，用比的前项÷后项即可。
【详解】25∶65
＝25÷65
＝
0.28∶35%
＝0.28÷35%
＝
＝
＝
＝
22．见详解（画法不唯一）
【分析】图有（10×4）个方格，其中涂色方格的个数与空白方格的个数比为3∶5，即涂色方格数占总个数的，把总方格数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总方格数乘就是涂色方格数，然后涂色即可。
【详解】10×4×
＝40×
＝15（个）
即把15个方格涂色，如图：（画法不唯一）
【点睛】关键是考查按比分配问题，用乘法求出涂色方格的个数。
23．2058立方厘米
【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长、宽、高的和，再根据按比例分配的方法求出长、宽、高的值，最后代入长方体体积公式计算即可。
【详解】3＋2＋2＝6
168÷4＝42（厘米）
42×＝21（厘米）
42×＝14（厘米）
42×＝7（厘米）
21×14×7
＝294×7
＝2058（立方厘米）
答：这个模型的体积是2058立方厘米。
【点睛】本题考查长方体棱长总和、体积公式及按比例分配问题。
24．白菜：48平方米；萝卜：24平方米
【分析】根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出菜地的面积；再把长方形菜地的面积看作单位“1”，菠菜占总面积的，还剩下（1－），再用菜地总面积×（1－），求出种白菜和萝卜的面积；把种白菜和萝卜的面积平均分成（2＋1）份，先用除法求出1份面积，即种萝卜的面积，再用乘法求出2份的面积，即可解答。
【详解】20×6×（1－）÷（2＋1）
＝120×÷3
＝72÷3
＝24（平方米）
24×2＝48（平方米）
答：白菜种了48平方米，萝卜种了24平方米。
【点睛】利用长方形面积公式、分数乘法的意义以及按比例分配问题的知识进行解答。
25．640台
【分析】由题意可知：第三周、第四周卖出总台数的（1－－）。将第三周卖出的看成5份、第四周卖出的看成2份，这两周卖出的总台数看成5＋2＝7份，则第三周比第四周多卖出5－2＝3份，用180÷3求出1份，再乘7求出第三、四周共卖出的台数。根据分数除法的意义，用第三、四周共卖出的台数÷第三周、第四周卖出的占总台数的分率即可解答。
【详解】180÷（5－2）×（5＋2）
＝180÷3×7
＝60×7
＝420（台）
420÷（1－－）
＝420÷
＝640（台）
答：这批电脑原来有640台。
【点睛】本题考查比的应用及分数除法的应用，求出第三、四周共卖出的台数是解题的关键。
26．525本
【分析】把计划购买课外书的总本数看作单位“1”，根据百分数的乘法的意义，用总本书×（1－25%），求出购买科技书和故事书的本数；再把科技书和故事书的本数看作单位“1”，故事书占，再根据分数乘法的意义，用科技书和故事书的本数×，即可求出故事书要买的本数，据此解答。
【详解】1260×（1－25%）×
＝1260×75%×
＝945×
＝525（本）
答：故事书要买525本。
【点睛】本题考查比的应用；关键是把比转化成分数，再根据分数（百分数）乘法的意义进行解答。
27．韭菜：600克；虾仁：200克；鸡蛋：400克
【分析】根据题意，韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2，用3＋1＋2，，求出总份数，再用1200克的饺子馅除以总份数，求出一份的质量，进而求出韭菜，虾仁和鸡蛋的质量，据此解答。
【详解】3＋1＋2
＝4＋2
＝6（份）
1200÷6＝200（克）
韭菜：200×3＝600（克）
虾仁：200×1＝200（克）
鸡蛋：200×2＝400（克）
答：需要韭菜600克，虾仁200克，鸡蛋400克。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
28．一等奖：10幅；二等奖：15幅；三等奖：20幅
【分析】由于一等奖的作品占总获奖作品数的，单位“1”是总获奖作品，单位“1”已知，用乘法，即45×＝10（幅），二等奖和三等奖获奖作品的数量是：45－10＝35（幅），根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即用35÷（3＋4）求出1份量，再分别乘二等奖和三等奖的份数即可求解。
【详解】45×＝10（幅）
45－10＝35（幅）
35÷（3＋4）
＝35÷7
＝5（幅）
5×3＝15（幅）
5×4＝20（幅）
答：获得一等奖的作品有10幅，二等奖的作品有15幅，三等奖的作品有20幅。
【点睛】本题主要考查分数乘法的意义以及比的应用，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
29．六年（1）：40个；六年（2）班：35个
【分析】根据题意，把篮球分成（8＋7）份，用篮球总数除法总份数，求出一份的量，进而求出六年（1）班和六年（2）班分到的篮球数量。
【详解】8＋7＝15（份）
75÷15＝5（个）
5×8＝40（个）
5×7＝35（个）
答：六年（1）班分到40个篮球，六年（2）班分到35个篮球。
【点睛】熟练掌握按比例分配律的计算方法是解答本题的关键。
30．见详解；3000米
【分析】设这条公路长x米，由题意可知，一个月后修的占这条路全长的，则一个月后修了；再修300米正好修了这条公路的一半，即x，用一半的米数减去一个月后修的米数等于300米，据此解答。
【详解】
解：设这条公路长x米
x－x＝300
x－x＝300
x－x＝300
x＝300
x÷＝300÷
x＝300÷
x＝300×10
x＝3000
答：这条公路长3000米。
【点睛】本题考查了利用按比例分配和列方程解决问题，需准确理解题目中的数量关系。
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