北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）一（学案）

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北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）一
知识点梳理
1、两个数相除又叫作两个数的比。“:”叫作比号，读作“比”。在一个比中，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项的商就是这个比的比值。
2、比与除法、分数既有联系，又有区别，它们之间的关系可以表示为a: b=a÷b=。
3、比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项互为质数，这样的比叫作最简整数比。把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。
4、根据商不变的规律化简比时，先把比改写成除法算式，再把被除数和除数同时除以它们的最大公因数，最后再化成比的形式。根据分数的基本性质化简比时，先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成比的形式。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，这就是比的基本性质。利用比的基本性质化简比时，把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数即可。
5、解决按一定的比进行分配的问题时，有三种解决问题的方法。一是把比看作分得的份数，转化成整数乘除法解答，先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分量。二是转化为分数乘法解答，仍然是先求出总份数﹐再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总份数乘相应的分数求出各部分量。三是列方程解答，先设每份的量为x，再用份数乘每份的量，利用各部分量的和一总量列方程求解。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．一辆汽车5小时行驶360千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比值是（ ）。
A． B． C．72 D．
2．一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶5，它是一个（ ）。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知客车和货车的速度比是9∶7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇，甲、乙两地相距（ ）千米。
A．360 B．400 C．480 D．600
4．一种盐水的含盐率是10%，盐与水的比是（ ）。
A．1∶10 B．1∶11 C．1∶9 D．以上都有可能
5．从甲堆小麦中取出给乙堆，这时两堆小麦的质量相等，原来甲、已两堆小麦的质量比是（ ）。
A．9∶7 B．7∶5 C．5∶7 D．8∶6
6．预防“新冠”使用的酒精溶液，用无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配制，现有蒸馏水360L，需配备（ ）L无水乙醇。
A．1080 B．120 C．90 D．180
7．三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精和水的体积比分别是1∶2、2∶3、4∶11，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的体积比是（ ）。
A．2∶5 B．1∶2 C．3∶7 D．4∶9
8．在9∶4这个比中，如果前项加上18，要使比值不变，后项应该加上（ ）。
A．18 B．12 C．8 D．4
二、填空题（共16分）
9．一个长方形的周长是24厘米，它的长与宽的比是3∶1，这个长方形的面积是( )平方厘米。
10．一列动车和一辆汽车的速度比是，已知这列动车每时比汽车多行180千米，汽车每时行( )千米。
11．的比值是( )，化成最简单的整数比是( )。
12．大小两个正方形如下图这样重叠，阴影部分的面积是小正方形的，同时又是大正方形的，大小正方形的面积之比是( )∶( )。
13．一种黄铜由锌和铜按溶铸而成，生产这种黄铜若用锌21吨，则需要铜( )吨。
14．把牛奶与红茶按的比，配制出一杯350毫升的奶茶，在这杯奶茶中，含有牛奶( )毫升，红茶( )毫升。
15．成年人血液的质量与体重之比大约是，王叔叔体重是65kg，他身体里的血液有( )kg。
16．把2.4m∶60cm化成最简比是( )。
三、判断题（共8分）
17．足球比赛的得分可以是3∶0，所以比的后项有时也可以是0。( )
18．把10克糖溶解在100克的水里，糖与水的比是1∶10。( )
19．若大圆与小圆半径的比是5∶3，则大圆与小圆面积的比也是5∶3。( )
20．走同一段路，甲要小时，乙要小时，甲、乙的速度比是9∶8。( )
四、计算题（共6分）
21．（6分）求下面各比的比值。
（1）5.2∶0.13 （2）36∶54 （3）2.5∶1 （4）7.5kg∶500g
五、作图题（共6分）
22．（6分）在下面方格纸上画一个周长是16厘米的长方形，且长与宽的比是3∶1。
六、解答题（共48分）
23．（6分）六年级原有学生42人，其中女生占，后来转来女生若干人后，男生和女生人数的比是6∶5，现在全班有学生多少人？
24．（6分）一种混凝土的水泥、沙子、石子的质量比是2∶3∶5，现在用20吨水泥，搅拌混凝土，还需沙子和石子各多少吨？
25．（6分）甲、乙两仓库都存有粮食，后来甲仓库增加存粮88吨，乙仓库运出20%存粮，这时甲仓库与乙仓库存粮的质量比是7∶6，已知乙仓库原来存粮300吨，甲仓库原来存粮多少吨？
26．（6分）一艘轮船以每时40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的20%后，又行时。这时，未行的路程与己行的路程的比是，甲、乙两港相距多少千米？
27．（6分）饺子，又称水饺，是中华民族的一种传统面食，距今已有一千八百多年的历史。周末，爸爸、妈妈和鹏鹏一起包韭菜虾仁鸡蛋饺子。韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2，1200克的饺子馅，需要韭菜、虾仁、鸡蛋各多少克？
28．（6分）医院用来消毒的碘酒是把碘和酒按的比混合配制而成的，现要配制459g碘酒，分别需要多少克的碘和酒？
29．（6分）丽丽有21张全运会吉祥物卡片，亮亮的全运会吉祥物卡片张数与丽丽的比是7∶3，亮亮有多少张全运会吉祥物卡片？
30．（6分）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？
参考答案
1．C
【分析】根据比的意义可知，用行驶的路程360比上行驶的时间5小时，即360∶5，根据比值的求法可知：用比的前项÷比的后项得到的结果即是比值，据此即可选择。
【详解】360∶5
这辆汽车行驶的路程和时间的比值是72。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查比值的求法，熟练掌握比值的求法并灵活运用。
2．B
【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了2＋3＋5＝10（份），最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，进而根据三角形的分类判断即可。
【详解】最大角：180°×
＝180°×
＝90°
所以：一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶5，它是一个直角三角形。
故答案为：B
【点睛】解答此题应明确三角形内角度数的和是180°，求出最大角的度数，再根据三角形的分类判定类型。
3．B
【分析】由“客车速度与货车速度的比为9∶7”可知，相同时间内，客车行驶路程与货车行驶路程的比也为9∶7， 客车比货车多行驶了25×2＝50千米，用多行驶的米数除以多出的份数求出每份是多少千米，再乘总份数即可求出总路程。
【详解】25×2÷（9－7）
＝50÷2
＝25（千米）
25×（9＋7）
＝25×16
＝400（千米）
一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知客车和货车的速度比是9∶7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇，甲、乙两地相距400千米。
故答案为：B
【点睛】明确客车行驶路程与货车行驶路程的比以及求出每份是多少千米是解答本题的关键。
4．C
【分析】根据一种含盐10%的盐水，可知在100份的盐水中含有盐10份，说明含有水（100－10）份，进而求出盐和水的比。
【详解】盐和水的比：
10∶（100－10）
＝10∶90
＝（10÷10）∶（90÷10）
＝1∶9
盐和水的比为1∶9。
故答案为：C
【点睛】此题考查根据盐水中含盐的百分数，求盐和水的比，关键是先求出水占的份数。
5．B
【分析】由题意知，可把甲堆货物的质量看作单位“1”，分成7份，拿出1份给乙后两堆货物的质量相等，那么就说明甲堆小麦原来比乙多2份，即乙原有5份，据此可列比解答即可。
【详解】由“从甲堆小麦中取出给乙堆，这时两堆货物的质量相等”可知，甲原有7份，乙原有7－2＝5份，
原来甲、乙两堆小麦的质量比是7∶5。
从甲堆小麦中取出给乙堆，这时两堆小麦的质量相等，原来甲、已两堆小麦的质量比是7∶5。
故答案为：B
【点睛】本题关键是弄清：“甲把自己的1份给乙后二者相等”意思是“原来甲比乙多2份”。
6．A
【分析】酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配制，也就是说无水乙醇是蒸馏水的3倍；据此求解即可。
【详解】360×3＝1080（L）
需配备1080L无水乙醇。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了比的应用，解题关键是明确酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水的关系。
7．B
【分析】根据题意，三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，设酒精溶液的体积是1，根据按比例分配，分别求出三个瓶子里酒精溶液中酒精的体积和水的体积，再把三个容器内酒精的体积相加，三个容器内水的体积相加，再根据比的意义，用酒精的体积∶水的体积，据此解答
【详解】设容器的酒精溶液的容积是1。
三个瓶子酒精的体积：
1×＋1×＋1×
＝1×＋1×＋1×
＝＋＋
＝＋＋
＝1
三个瓶子水的体积：
1×＋1×＋1×
＝＋＋
＝＋＋
＝2
酒精∶水＝1∶2
三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精和水的体积比分别是1∶2、2∶3、4∶11，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的体积比是1∶2。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握按比例分配以及比的意义是解答本题的关键，注意把容器里的酒精的溶液的体积看作是1。
8．C
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。
【详解】（9＋18）÷9
＝27÷9
＝3
4×3－4
＝12－4
＝8
在9∶4这个比中，如果前项加上18，要使比值不变，后项应该加上8。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握和灵活运用比的基本性质是解答本题的关键。
9．27
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长＋宽＝周长÷2，求出长、宽之和；
又已知长与宽的比是3∶2，把长看作3份，宽看作2份，一共是（3＋2）份；用长与宽的和除以（3＋2）份，求出一份数；
再用一份数分别乘长、宽的份数，求出长、宽；根据长方形的面积＝长×宽，即可求出这个长方形的面积。
【详解】3＋1＝4（份）
24÷2÷4
＝12÷4
＝3（厘米）
3×3＝9（厘米）
3×1＝3（厘米）
9×3＝27（平方厘米）
一个长方形的周长是24厘米，它的长与宽的比是3∶1，这个长方形的面积是27平方厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式，长方形面积公式以及按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
10．80
【分析】一列动车和一辆汽车的速度比是13∶4，把动车速度看作13份，汽车的速度看作4份，用13－4，求出动车比汽车多的份数，这列动车每时比汽车快180千米，用180除以动车比汽车多的份数，可得1份的数，再用1份的数量×4，即可求出汽车的速度。
【详解】180÷（13－4）×4
＝180÷9×4
＝20×4
＝80（千米）
一列动车和一辆汽车的速度比是，已知这列动车每时比汽车多行180千米，汽车每时行80千米。
【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出1份的数。
11． 1∶3
【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值；根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比。
【详解】
＝
＝
＝
＝（0.25×4）∶（×4）
＝1∶3
的比值是，化成最简单的整数比是1∶3。
【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
12． 5 7
【分析】把小正方形阴影部分面积看成1，那么小正方形的面积就是1÷＝；同样大正方形的面积是1÷＝，再根据题意进行比即可。
【详解】（1÷）∶（1÷）
＝（1×）∶（1×）
＝∶
＝（×2）∶（×2）
＝5∶7
所以，大小正方形的面积之比是5∶7。
【点睛】本题考查比的意义，把阴影部分的面积看作单位“1”，根据一个数的几分之几是多少，求出这个数，分别用除法算出大、小正方形的面积，再根据题意进行解答即可。
13．49
【分析】根据题意可知，一种黄铜由锌和铜按3∶7，则铜是锌的，把锌的质量看作单位“1”，已知锌的质量是21吨，求出铜的质量，用21×，即求出铜的质量。
【详解】21×＝49（吨）
一种黄铜由锌和铜按溶铸而成，生产这种黄铜若用锌21吨，则需要铜49吨。
【点睛】根据比的应用，求出铜是锌的几分之几，再根据求一个数的几分之几是多少的计算方法，进行解答。
14． 150 200
【分析】将这杯奶茶看成单位“1”，其中牛奶占，红茶占，根据乘法的意义，用奶茶的量分别乘牛奶及红茶的分率即可。
【详解】
＝350×
＝150（毫升）
＝350×
＝200（毫升）
在这杯奶茶中，含有牛奶150毫升，红茶200毫升。
【点睛】本题主要考查比的应用，解题时通常将比转化为分率再进行解答。
15．5
【分析】根据成年人血液的质量与体重之比大约是1∶13可知，王叔叔的体重是他身体里的血液质量的13倍，再用王叔叔体重除以13，即可计算出他身体里的血液有多少千克。
【详解】65÷13＝5（kg）
他身体里的血液有5kg。
【点睛】本题解题关键是根据熟练掌握比例分配问题的解题方法。
16．4∶1/
【分析】先统一单位，把2.4m换算成240cm，再根据比的性质，比的前、后项同时除以60即可解答。
【详解】2.4m∶60cm
＝240cm∶60cm
＝（240÷60）∶（60÷60）
＝4∶1
则把2.4m∶60cm 化成最简比是4∶1。
【点睛】比的前、后项单位不同，要先统一单位再化简。
17．×
【分析】比的意义是：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；而一场足球比赛的比分是3∶0，说明本次比赛，第一队进了3个球，第二队一个球也没有进，这是表示双方进球的个数多少，与前一个比意义不同；据此判断即可。
【详解】据上分析：足球比赛的得分可以是3∶0，所以比的后项有时也可以是0，此说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题重点考查对比意义的灵活理解。
18．√
【分析】求糖与水的比，用糖的质量∶水的质量即可。
【详解】糖的质量∶水的质量＝10克∶100克＝1∶10；原说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查比的意义及化简比。
19．×
【分析】根据大圆和小圆的半径之比是5∶3，可以把小圆的半径看作3，大圆的半径看作5，再根据圆的面积：面积＝π×半径2，分别求出大圆和小圆面积，再根据比的意义，用大圆面积∶小圆面积，化简比即可。
【详解】假设小圆半径是3，大圆半径是5。
（π×52）∶（π×32）
＝25π∶9π
＝25∶9
若大圆与小圆半径的比是5∶3，则大圆与小圆面积的比25∶9。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握圆的面积公式以及比的意义是解答本题的关键。
20．×
【分析】根据题意，把路程看做整体“1”，根据路程，速度，时间的关系，即可求出甲，乙的速度，问题即可解决。
【详解】（1÷）∶（1÷）
＝（1×）∶（1×）
＝∶
＝（×6）∶（×6）
＝8∶9
甲、乙的速度比是8∶9，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答此题的关键是，弄清路程，速度，时间的关系，找出对应量，写出对应的两数的比，再根据比的基本性质，化成最简整数比即可。
21．（1）40；（2）；（3）；（4）15
【分析】求比值是根据比的意义（两个数相除又叫两个数的比），用比的前项除以比的后项。单位不同的时候要先统一单位再计算。
【详解】（1）5.2∶0.13
＝5.2÷0.13
＝40
（2）36∶54
＝36÷54
＝
（3）2.5∶1
＝÷
＝×
＝
（4）7.5kg∶500g
＝7500g∶500g
＝7500÷500
＝15
22．见详解
【分析】根据圆的周长公式：（长＋宽）×2，由于周长是16厘米，长加宽的和是16÷2＝8（厘米），根据公式：总数÷总份数＝1份量，即8÷（3＋1）＝2（厘米），用2分别乘长和宽的份数，据此即可求出长方形的长和宽，再画图即可。
【详解】（16÷2）÷（3＋1）
＝8÷4
＝2（厘米）
3×2＝6（厘米）
1×2＝2（厘米）
即所画长方形的长是6cm，宽是2cm
画图如下：
【点睛】本题主要考查长方形的周长公式和比的应用，需要熟练掌握它们的公式并灵活运用。
23．44人
【分析】把原有全班人数看作单位“1”，其中女生占，则男生占（1－），用原有全班人数乘（1－）即可求出男生人数。转来女生若干人后，男生人数不变。男生和女生人数的比是6∶5，则男生占现在全班人数的，用男生人数除以即可求出现在的全班人数。
【详解】
＝42××
＝44（人）
答：现在全班有学生44人。
【点睛】转来女生若干人后，男生人数不变，明确这一点后，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，求出男生人数。根据现在男、女生人数的比，得出男生占现在全班人数的分率，用除法计算求出现在的全班人数。
24．沙子：30吨；水泥：50吨
【分析】根据题意可知，这种混凝土是按照水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5进行分配的，先求出水泥、沙子、石子质量的总份数，进一步求出水泥、沙子、石子的质量分别占混凝土总质量的几分之几，用20吨除以水泥的质量占混凝土总质量的分率，求出混凝土的总质量，最后用混凝土的总质量分别乘沙子、石子的质量占混凝土总质量的分率，求得沙子、石子的质量，据此解答即可。
【详解】2＋3＋5＝10（份）
20÷
＝20÷
＝20×5
＝100（吨）
100×
＝100×
＝30（吨）
100×
＝100×
＝50（吨）
答：需要沙子30吨，需要石子50吨。
【点睛】掌握按比例分配应用题的特点和解答的方法与步骤是解决问题的关键。
25．192吨
【分析】先把乙仓库原来的存粮看作单位“1”，乙仓库运出20%存粮，则还剩下（1－20%），用乙仓库原来的粮食量乘（1－20%）就是后来的乙仓库的质量，后来甲仓库与乙仓库的质量比是7∶6，把乙仓库的质量看成6份，甲仓库的质量就是7份，用后来乙仓库的质量除以6，求出1份是多少吨，再乘7就是甲仓库后来的质量，然后减去88吨，就是甲仓库原来的质量。
【详解】
＝192（吨）
答：甲仓库原来存粮192吨。
【点睛】先根据两者后来的比，根据按照按比分配的方法，求出甲仓库后来的质量，然后再进一步解答即可。
26．1200千米
【分析】将甲、乙两港的总路程看成单位“1”，根据未行的路程与己行的路程的比是可得：己行的路程占总路程的，再根据己行的路程等于全程的20%与时行程的和，求出时的行程占总路程的－20%；根据速度×时间＝路程求出时的行程，再除以其占总路程的分率即可求出总路程；据此解答。
【详解】×40÷（－20%）
＝×40÷5%
＝60÷5%
＝1200（千米）
答：甲、乙两港相距1200千米。
【点睛】根据未行路程与已行路程的比求出已行路程占全程的分率是完成本题的关键。
27．韭菜：600克；虾仁：200克；鸡蛋：400克
【分析】根据题意，韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2，用3＋1＋2，，求出总份数，再用1200克的饺子馅除以总份数，求出一份的质量，进而求出韭菜，虾仁和鸡蛋的质量，据此解答。
【详解】3＋1＋2
＝4＋2
＝6（份）
1200÷6＝200（克）
韭菜：200×3＝600（克）
虾仁：200×1＝200（克）
鸡蛋：200×2＝400（克）
答：需要韭菜600克，虾仁200克，鸡蛋400克。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
28．碘：9克；酒：450克
【分析】碘和酒按1∶50的比混合配置而成的，其中碘占碘酒的，酒占碘酒的，用459×，求出碘的质量，用459×，求出酒的质量。
【详解】459×
＝459×
＝9（克）
459×
＝459×
＝450（克）
答：需要9克碘，需要450克酒。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
29．49张
【分析】亮亮的全运会吉祥物卡片张数与丽丽的比是7∶3，则亮亮的卡片张数占丽丽的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用丽丽的张数乘即可求出亮亮有多少张全运会吉祥物卡片。
【详解】21×＝49（张）
答：亮亮有49张全运会吉祥物卡片。
【点睛】本题考查比的应用。根据亮亮的卡片张数与丽丽卡片张数的比，求出亮亮的卡片张数占丽丽的几分之几是解题的关键。
30．900个
【分析】由于第二天卖出去的占了后两天卖的总数的：；第三天卖的占了剩下两天总数的：，则第二天比第三天多卖出的量占后两天总量的：－，单位“1”是后两天总数，单位“1”未知，用除法，即120÷（－），由此即可求出后两天的总数，之后把这批吉祥物玩偶看作单位“1”，后两天总量占了总数的1－，单位“1”未知，用除法，即，算出结果即可。
【详解】
＝120÷（－）÷
＝120÷÷
＝120×5×
＝600×
＝900（个）
答：这批吉祥物玩偶一共有900个。
【点睛】本题主要考查按比例分配解决问题，同时要注意找准单位“1”是解题的关键。
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