人教版六年级上册数学第四单元比（知识点梳理+能力百分练）五（学案）

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人教版六年级上册第四单元比（知识点梳理+能力百分练）五
知识点梳理
1、比的意义：两个数的比表示两个数相除。
2、比的各部分的名称：从左到右依次是比的前项、比号、比的后项。
3、区分比和比值：比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以写成分数的形式。比值是一个数，通常用分数表示，也可以用整数或小数表示。
4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
5、化简比：根据比的基本性质，可以把比化简成最简单的整数比。
6、按比例分配：把一个量按一定的比例分配的方法叫做按比例分配。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．若a、b是两个非0的自然数，a＞b，则（a＋b）∶a的比值（ ）。
A．是0到1之间的数 B．是1到2之间的数
C．有可能是2 D．有可能大于2
2．下列直角三角形，直角边a与直角边b的比不是2∶1的是（ ）。

A．A B．B C．C D．D
3．把50克蜂蜜加入500克水中，蜂蜜与蜂蜜水的质量比是（ ）。
A．1∶10 B．1∶11 C．10∶11 D．11∶10
4．小李走的路比小红多，小李走的时间是小红的，那么小李和小红的速度比是（ ）。
A． B． C． D．
5．一个等腰三角形的周长是120厘米，有两条相邻的边的长度比是2∶1，则这个三角形的底是（ ）厘米。
A．60 B．48 C．30 D．24
6．声乐社团中，男、女生的人数比是4∶5，下面说法正确的是（ ）。
A．女生人数是男生人数的 B．男生人数比女生人数少
C．女生人数比男生人数多 D．女生人数占社团总人数的
7．在4∶5中，如果比的后项增加10，要使比值不变，比的前项应（ ）。
A．乘2 B．乘3 C．增加10 D．减少10
8．小丽和小红从学校去图书馆，小丽需要9分钟，小红需要6分钟。小丽和小红的速度比是（ ）。
A．9∶6 B．3∶2 C．2∶3 D．∶
二、填空题（共16分）
9．把3.75∶1.8化成最简整数比是( )，比值是( )。
10．工程队挖一条水渠，已经挖了1200m，已经挖的米数与未挖米数的比是3∶5，这条水渠全长( )m。
11．有两堆小麦，甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的。甲乙两堆小麦质量的比是( )∶( )。
12．教室地面的周长是36m，长与宽的比是5∶4。这个教室的地面面积是( )m2。
13．如图，小新家的院子被分成5个形状、大小都相同的长方形，每个长方形的周长是10米，那么院子的周长是( )米。
14．一件衬衣的售价为100元，一条裤子的售价和衬衣的售价之比是；这条裤子的售价为( )元。
15．图书馆上午借出20本书籍，下午借出36本书籍，图书馆上午和下午借出的书籍的本数比是( )（填最简单的整数比），比值是( )。
16．一个等腰三角形，它的顶角与一个底角的度数比是1∶2，这个三角形中最大的内角度数是( )。
三、判断题（共8分）
17．甲数和乙数的比是2∶3，乙数和丙数的比是4∶5，则甲数∶丙数＝2∶5。( )
18．上衣比裤子贵，则上衣和裤子的价格比是7∶2。( )
19．一个长方形的周长是36厘米，长和宽的比是2∶1，它的面积是288平方厘米。( )
20．红红和老师今年的年龄比为1∶9，10年后，他们的年龄比不变。( )
四、计算题（共6分）
21．（6分）化简比。
升∶350毫升
五、作图题（共6分）
22．（6分）画一个面积为12平方厘米的直角三角形，要求两条直角边比为3∶2。（每一格边长1厘米）
六、解答题（共48分）
23．（6分）相同质量的冰和水的体积之比是10∶9。现有体积为45升的水，结成冰后的体积是多少立方分米？
24．（6分）学校武术队的男队员比女队员多24名，已知男、女队员人数的比是7∶5，则女队员与男队员各有多少名？
25．（6分）书法组和朗诵组的人数比为7∶5，如果将书法组的10名同学调到朗诵组去，这时书法组和朗诵组的人数比为4∶5，原来书法组有多少人？
26．（6分）水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？
27．（6分）果园里苹果树比桃树多90棵，苹果树的棵数与桃树的棵数比为5∶2，果园里苹果树、桃树各多少棵？
28．（6分）一只鱼塘按4∶5放养鲢鱼和鲤鱼，一共可以放养4500尾，其中鲢鱼的鱼苗应放养多少尾？
29．（6分）2022年12月22日是“冬至”，是一年中白昼最短、黑夜最长的一天。这天绍兴的白昼与黑夜时间比约是5∶7，而“中国最北端”的漠河县的白昼与黑夜时间比约是1∶2。
（1）“冬至”这一天绍兴的白昼约有几小时？
（2）“冬至”这一天，绍兴的黑夜时间是漠河黑夜时间的几分之几？
30．（6分）工程队正在进行道路抢修，要求三小时修好一条560米的公路，第一个小时修了全长的，第二小时和第三小时修的长度比是3∶4，问：这三小时，哪一小时修的路最长？
参考答案
1．B
【分析】两个不为0的数相除，如果被除数大于除数，则商大于1；根据分数和比的关系，可知（a＋b）∶a＝，根据分数加法的意义，可得＝1＋；如果分子小于分母，则分数值小于1，据此解答即可。
【详解】a＋b＞a
根据比和除法的关系，可知（a＋b）∶a的比值一定大于1；
（a＋b）∶a
＝
＝＋
＝1＋
a＞b
所以＜1
1＋＜2
据此可知，（a＋b）∶a的比值是1到2之间的数。
故答案为：B
【点睛】本题可根据比和分数、除法之间的关系进行解答。
2．A
【分析】两数相除又叫两个数的比，分别数出各三角形直角边格数，写出a与b的比，能化简的化简即可。
【详解】A．2∶4＝1∶2
B．4∶2＝2∶1
C．2∶1
D．3∶1.5＝30∶15＝2∶1
故答案为：A
【点睛】关键是理解比的意义，掌握化简比的方法。
3．B
【分析】根据题意，先用蜂蜜的质量加上水的质量，求出蜂蜜水的质量；然后根据比的意义写出蜂蜜与蜂蜜水的质量比，再化简比即可。
【详解】50∶（50＋500）
＝50∶550
＝（50÷50）∶（550÷50）
＝1∶11
蜂蜜与蜂蜜水的质量比是1∶11。
故答案为：B
【点睛】本题考查比的意义及化简比。注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
4．A
【分析】小李走的路比小红多，将小红走的路看作4，则小李走的路是（4＋1），小李走的时间是小红的，将小红走的时间看作11，则小李走的时间是10，速度＝路程÷时间，据此表示出两人走的速度，写出速度比，化简即可。
【详解】小李速度：10÷（4＋1）
＝10÷5
＝2
小红速度：11÷4＝
小李和小红的速度比：2∶＝（2×4）∶（×4）＝8∶11
故答案为：A
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解分数和比的意义。
5．D
【分析】根据三角形三边关系，可以确定这个等腰三角形的3条边的比是2∶2∶1，共（2＋2＋1）份，求出一份数就是等腰三角形的底。
【详解】120×
＝120×
＝24（厘米）
则三角形的底是24厘米。
故答案为：D
【点睛】关键是熟悉三角形三边关系和等腰三角形的特征，理解比的意义。
6．B
【分析】把男生的人数看作“4”，则女生人数是“5”，总人数是“（4＋5）”。
A．求女生人数是男生人数的几分之几，用女生人数除以男生人数。
B．求男生人数比女生人数少几分之几，用男、女生人数之差除以女生人数。
C．求女生人数比男生人数多几分之几，用男、女生人数之差除以男生人数。
D．求女生人数是社团人数的几分之几，用女生人数除以总人数，据此解答。
【详解】由分析可得：
A．5÷4＝，女生人数是男生人数的，选项说法错误；
B．（5－4）÷5
＝1÷5
＝
男生人数比女生人数少，选项说法正确；
C．（5－4）÷4
＝1÷4
＝
女生人数比男生人数多，选项说法错误；
D．5÷（4＋5）
＝5÷9
＝
女生人数占社团总人数的，选项说法错误。
故答案为：B
【点睛】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数；求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。
7．B
【分析】依据比的性质，即比的前项和后同时乘或除以一个不等于零的数，比的大小不变，即可求解。
【详解】4∶5，比的后项5增加10就变成15，就相当于扩大到原来的15÷5＝3倍，
若使比值不变，前项也应扩大到原来的3倍，则变成4×3＝12。
故答案为：B
【点睛】解答此题的关键是：看比的前项扩大到原来的几倍，比的后项也扩大相同的倍数，就能保证比值不变。
8．C
【分析】把从学校到图书馆的路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小丽和小红的速度，进而根据题意求比即可判断。
【详解】（1÷9）∶（1÷6）
＝∶
＝（×54÷3）∶（×54÷3）
＝2∶3
小丽和小红的速度比是2∶3。
故答案为：C
【点睛】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系。
9． 25∶12
【分析】第一空根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。第二空用最简整数比中比的前项除以后项即可。
【详解】3.75∶1.8
＝（3.75÷0.15）∶（1.8÷0.15）
＝25∶12
25∶12
＝25÷12
＝
即把3.75∶1.8化成最简整数比是25∶12，比值是。
【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
10．3200
【分析】已经挖的米数与未挖米数的比是3∶5，说明已挖的长度是整条水渠长的，用已经挖的长度除以它占全长的分率，求出全长即可。
【详解】（m）
所以这条水渠全长3200m。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解题的计算方法。
11． 2 3
【分析】根据“甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的”可得出，甲堆小麦质量×＝乙堆质量×，两个乘法算式的积相等，可以设它们积都等于1；
然后根据“因数＝积÷另一个因数”，分别求出甲堆小麦质量、乙堆小麦质量的值；
再根据比的意义，写出甲乙两堆小麦质量的比，并根据比的基本性质化简比。
【详解】设甲堆小麦质量×＝乙堆质量×＝1；
甲堆小麦质量＝1÷＝1×＝
乙堆质量＝1÷＝1×4＝4
甲堆小麦质量∶乙堆质量
＝∶4
＝（×3）∶（4×3）
＝8∶12
＝（8÷4）∶（12÷4）
＝2∶3
甲乙两堆小麦质量的比是2∶3。
【点睛】运用赋值法，根据乘法中各部分的关系计算出甲堆小麦质量、乙堆小麦质量的值，再根据比的意义和比的化简解答。
12．80
【分析】根据长方形的周长公式：C＝2（a＋b），用36除以2即可求出该长方形的长与宽的和，再根据按比分配问题，求出长方形的长和宽的值，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此计算即可。
【详解】36÷2＝18（m）
18÷（5＋4）
＝18÷9
＝2（m）
2×5＝10（m）
2×4＝8（m）
10×8＝80（m2）
则这个教室的地面面积是80m2。
【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。
13．22
【分析】已知每个小长方形的周长是10米，根据长方形的长、宽之和＝周长÷2，求出小长方形长、宽的和；
从图中可知，2个小长方形的长等于3个小长方形的宽，则小长方形的长、宽之比是3∶2，即长、宽各占长、宽之和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法分别求出小长方形的长和宽；
从图中可知，院子的长等于小长方形长的2倍，院子的宽等于小长方形的长加宽，由此求出院子的长和宽，然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算，即可求出这个院子的周长。
【详解】小长方形的长、宽之比是3∶2；
小长方形的长、宽之和：10÷2＝5（米）
长：5×＝3（米）
宽：5×＝2（米）
院子的长：3×2＝6（米）
院子的宽：3＋2＝5（米）
院子的周长：
（6＋5）×2
＝11×2
＝22（米）
院子的周长是22米。
【点睛】本题考查按比分配问题以及长方形周长公式的灵活运用，从图中找出小长方形的长、宽之比，然后把比转化成分数，根据分数乘法的意义求出每个小长方形的长、宽是解题的关键。
14．150
【分析】已知两个数量的比和其中的一个数量，求另外一个数量的解题方法：已知量÷对应的份数＝每份的量，每份量×相应份数＝对应的量。此题中100元对应2份，用100÷2先求出每份的钱数，再用每份的钱数乘3求出这条裤子的售价。
【详解】100÷2×3
＝50×3
＝150（元）
所以这条裤子的售价为150元。
【点睛】解按比分配的问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少。
15． 5∶9
【分析】根据比的意义，写出图书馆上午和下午借出的书籍的本数比，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）化简比；最后用比的前项除以后项即可。
【详解】20∶36
＝（20÷4）∶（36÷4）
＝5∶9
图书馆上午和下午借出的书籍的本数比是5∶9；
5∶9
＝5÷9
＝
比值是。
【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
16．72度/72°
【分析】根据等腰三角形的特征，可知两个底角相等，可知三个角度的比是1∶2∶2，把三角形的三个内角分别看作1份、2份和2份，已知三角形的内角和是180度，用180÷（1＋2＋2）即可求出每份是多少，进而求出2份是多少，也就是最大的内角度数。
【详解】180÷（1＋2＋2）
＝180÷5
＝36（度）
36×2＝72（度）
这个三角形中最大的内角度数是72度。
【点睛】本题考查了比的应用，明确三角形内角和是180度以及等腰三角形的特征是解题的关键。
17．×
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化为三联比即可求解。
【详解】甲数∶乙数＝2∶3＝8∶12
乙数∶丙数＝4∶5＝12∶15
可得甲数∶乙数∶丙数＝8∶12∶15
所以甲数∶丙数＝8∶15。
故答案为：×
【点睛】本题考查比的性质，熟练运用比的基本性质是解题的关键。
18．×
【分析】假设裤子为100元，根据题意可知，上衣比裤子贵，把裤子的价格看作单位“1”，上衣的价格是裤子的（1＋），根据分数乘法的意义，用100×（1＋）即可求出上衣的价格，最后写出上衣和裤子的价格比，再化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。据此解答。
【详解】假设裤子为100元，
上衣：100×（1＋）
＝100×
＝140（元）
140∶100
＝（140÷20）∶（100÷20）
＝7∶5
上衣比裤子贵，则上衣和裤子的价格比是7∶5。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了分数和比的关系的转化，可用假设法解决问题。
19．×
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知长方形的周长是36厘米，则用36÷2即可求出长与宽的和，又已知长和宽的比是2∶1，把长看作2份，宽看作1份，用36÷2÷（2＋1）即可求出每份是多少，进而求出长和宽，最后根据长方形的面积公式求解即可。
【详解】36÷2÷（2＋1）
＝18÷3
＝6（厘米）
6×2＝12（厘米）
6×1＝6（厘米）
12×6＝72（平方厘米）
即它的面积是72平方厘米。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了按比分配问题，熟记长方形周长公式和面积公式是解题的关键。
20．×
【分析】比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此分析。
【详解】红红和老师今年的年龄比为1∶9，10年后，相当于年龄比的前项和后项同时加上10，年龄比会改变，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是掌握并灵活运用比的基本性质。
21．8∶9；4∶1；5∶7
【分析】（1）根据比的基本性质比的前项和后项同时乘3和4的最小公倍数12。
（2）根据比的基本性质比的前项和后项同时乘100，把小数比转化为整数比128∶32；再把整数比的前项和后项同时除以128和32的最大公因数32。
（3）先把升换算为250毫升；再把比的前项和后项同时除以250和350的最大公因数50。
【详解】
＝
＝8∶9

＝
＝128∶32
＝（128÷32）∶（32÷32）
＝4∶1
升∶350毫升
＝250毫升∶350毫升
＝250∶350
＝（250÷50）∶（350÷50）
＝5∶7
22．见详解
【分析】因为三角形是一个直角三角形，则三角形的两条直角边相当于三角形的底和高，又已知三角形的面积为12平方厘米，两条直角边比为3∶2，设直角边为3x厘米，另一条直角边为2x厘米，根据三角形的面积公式可得，3x×2x÷2＝12，据此求出x＝4，进而求出直角边的长度，据此画图。
【详解】解：设直角边为3x厘米，另一条直角边为2x厘米。
3x×2x÷2＝12
6x2÷2×2＝12×2
6x2＝24
6x2÷6＝24÷6
x2＝4
x＝2
3×2＝6（厘米）
3×2＝4（厘米）
说明这个三角形的直角边分别为6厘米，4厘米。
（画法不唯一）
【点睛】本题考查了比的应用以及三角形的面积的灵活应用。
23．50立方分米
【分析】根据1升＝1立方分米，则45升为45立方分米，已知相同质量的冰和水的体积之比是10∶9，则把冰看作10份，水看作9份，用45÷9即可求出1份是多少，进而求出10份是多少。据此解答。
【详解】45升＝45立方分米
45÷9×10
＝5×10
＝50（立方分米）
答：结成冰后的体积是50立方分米。
【点睛】本题主要考查了比的应用，求出每份的量是多少是解答本题的关键。
24．男队员84名；女队员60名
【分析】男、女队员人数的比是7∶5，男队员人数占7份，女队员人数占5份，男队员比女队员多24名，根据男队员人数比女队员人数多的份数求出每份的量，最后乘男队员人数和女队员人数占的份数，据此解答。
【详解】24÷（7－5）
＝24÷2
＝12（名）
男队员：12×7＝84（名）
女队员：12×5＝60（名）
答：男队员有84名，女队员有60名。
【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。
25．42人
【分析】由题意可知，书法组的人数原来占两组人数总和的，将书法组的10名同学调到朗诵组去后，书法组的人数原来占两组人数总和的，则这10名学生占两组总人数的（－），根据除法的意义，用10除以（－）即可求出两组的总人数，再根据按比分配的方法求出原来书法组有多少人。
【详解】10÷（－）
＝10÷（－）
＝10÷
＝10×
＝72（人）
72×＝42（人）
答：原来书法组有42人。
【点睛】本题考查按比分配问题，求出两组原来共有多少人是解题的关键。
26．960千克
【分析】已知苹果与橙子的质量比是3∶5，则把苹果的质量看作3份，橙子的质量看作5份，则苹果比橙子少（5－3）份，又已知运来苹果比橙子少240千克，则用240÷（5－3）即可求出每份是多少，进而求出（3＋5）份是多少，也就是水果店运来苹果和橙子一共多少千克。
【详解】240÷（5－3）×（3＋5）
＝240÷2×8
＝120×8
＝960（千克）
答：水果店运来苹果和橙子一共960千克。
【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出每份的量是多少。
27．苹果树150棵；桃树60棵
【分析】由题意可知，苹果树和桃树一共（5＋2）份，苹果树的棵数占其中的5份，桃树的棵数占其中的2份，苹果树比桃树多（5－2）份，且苹果树比桃树多90棵，先求出比中每份表示的量，再乘苹果树、桃树占的份数，据此解答。
【详解】90÷（5－2）
＝90÷3
＝30（棵）
苹果树：30×5＝150（棵）
桃树：30×2＝60（棵）
答：果园里苹果树150棵，桃树60棵。
【点睛】本题主要考查比的应用，掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。
28．2000尾
【分析】把鱼苗总数看作单位“1”，鲢鱼鱼苗占鱼苗总数的，用乘法计算即可求出鲢鱼的鱼苗应放养多少尾。
【详解】4500×
＝4500×
＝2000（尾）
答：鲢鱼的鱼苗应放养2000尾。
【点睛】考查比的应用，找准单位“1”，用单位“1”乘对应的分率即可求出对应的量。
29．（1）10小时
（2）
【分析】（1）根据绍兴的白昼与黑夜时间比约是5∶7，一天有24小时，用24小时除以（5＋7），再乘5，求出这一天绍兴的白昼时间约是多少小时；
（2）根据绍兴的白昼与黑夜时间比约是5∶7，用24小时除以（5＋7），再乘7，求出这一天绍兴的黑夜时间约是多少小时；再根据漠河县的白昼与黑夜时间比约是1∶2，用24小时除以（1＋2），再乘2，求出这一天漠河的黑夜时间约是多少小时，最后求一个数是另一个数的几分之几，用除法即可求出。
【详解】（1）24÷（5＋7）×5
＝24÷12×5
＝2×5
＝10（小时）
答：“冬至”这一天绍兴的白昼约有10小时。
（2）24÷（5＋7）×7
＝24÷12×7
＝2×7
＝14（小时）
24÷（1＋2）×2
＝24÷3×2
＝8×2
＝16（小时）
14÷16＝
答：绍兴的黑夜时间是漠河黑夜时间的。
【点睛】本题考查了比的应用，解题关键在于，能根据白昼和黑夜的比求出一份时间是多少小时。
30．第一个小时
【分析】根据题意，用560乘求出第一个小时修路长度，用560减去第一个小时修路长度得到剩下的长度，再按照3∶4分配，求出第二小时和第三小时修的长度，找出最长的即可；据此解答。
【详解】560×＝210（米）
560－210＝350（米）
350÷（3＋4）
＝350÷7
＝50（米）
50×3＝150（米）
50×4＝200（米）
210米＞200米＞150米
答：第一个小时修的路最长。
【点睛】此题考查了分数与比的应用，关键能够结合条件求出对应的数量再比较。
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