人教版六年级数学上册第五单元圆同步学案（知识点梳理+能力百分练）四

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人教版六年级数学上册第五单元圆（知识点梳理+能力百分练）四
知识点梳理
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，一般用字母О表示，它到圆上任意一点的距离都相等；
半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径；
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示，直径是一个圆内最长的线段。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。直径的长度是半径的2倍。
3、圆规画圆的步骤：(1)把圆规的两只脚分开，定好两只脚之间的距离；(2)把带针尖的脚固定在一个点上；(3)把装铅笔的脚绕着这个点旋转1圈，就画出了一个圆。
4、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。任意一个圆的周长与它的直径的比值都是一个固定的数﹐我们把它叫做圆周率，用字母r表示。圆的周长计算公式C=Πd=2Πr。
5、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。圆的面积计算公式：S=Πr2。
6、环形的面积：S环=Π(R2 -r2)
7、圆上任意两点之间的部分叫做弧。
8、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。在扇形中，顶点在圆心的角叫做圆心角。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．如图，用两块三角尺可以测量圆的直径，这是因为（ ）。

A．圆是轴对称图形
B．直径是半径的2倍
C．圆的周长是直径的3.14倍
D．直径是圆内最长的线段
2．如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（ ）。
A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多
3．圆、三角形、平行四边形、梯形、正五边形、正八边形中，能密铺的有（ ）种。
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，中间是面积为16平方厘米的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形。那么涂色部分的面积是（ ）平方厘米。

A．π×12 B．π×22 C．π×42 D．π×62
5．在下图中阴影部分与圆面积的比是（ ）。
A． B． C． D．
6．如图，有一个直径是6厘米的圆在一个宽是6厘米的长方形方框（厚度不计）内平移。这个圆不能覆盖部分的面积是（ ）平方厘米。
A．7.74 B．15.48 C．28.26 D．36
7．下面选项中的三条线段能围成（每相邻两条线段的端点相连）三角形的是（ ）。
A． B．
C． D．
8．把一张半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了（ ）厘米。
A．16 B．32 C．64 D．0
二、填空题（共16分）
9．如图，将一个圆沿半径平均分成若干份，剪开后，拼成一个近似的长方形，周长增加了4cm，原来的圆的面积约是( )cm2。
10．下面平行四边形是由1个正方形和2个等腰三角形拼成的，正方形的边长是10厘米。图中圆的面积是( )平方厘米，一个三角形的面积是( )平方厘米。

11．如图，边长是厘米的正方形与半径是厘米的圆有部分重叠。若没有重叠的两空白部分的面积分别是和，则( )。
12．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）。
13．在图中，小圆的周长与大圆的周长比是( )，面积比是( )。
14．大圆的半径等于小圆的直径，大圆与小圆的面积之和是80平方厘米，那么大圆的面积是( )平方厘米。
15．一个小圆和一个大圆的半径之比是1∶3，如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是( )。
16．如图，阴影部分的面积可列式为( )。

三、判断题（共8分）
17．用12.56米长的篱笆靠直墙围一个半圆形的鸡舍，鸡舍的占地面积是25.12平方米。( )
18．一个半圆的周长是20.56厘米，这个半圆的直径是8厘米。( )
19．两个圆半径长度的比是1∶2，则它们的面积比也是1∶2。( )
20．当圆的半径为2分米时，这个圆的周长和面积相等。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）计算下面图形中涂色部分的面积。

22．（6分）求阴影部分的面积。（单位：厘米）

五、作图题（共6分）
23．（6分）下图方格中正方形的面积是2cm2，请你画出面积是的图形。
六、解答题（共42分）
24．（6分）用两张同样大小的正方形铁皮（边长为6米），分别按照下面两种方式，在铁皮里面剪出多个大小一样的圆。剪去4个圆后剩下的铁皮面积与剪去9个圆后剩下的铁皮面积大小相等吗？（请写出你的计算过程）
25．（6分）李叔叔购置了一款可伸缩餐桌，如图。这款餐桌完全展开后的桌面面积是多少平方米？取
26．（6分）一个圆形实木餐桌的直径是2米，在餐桌的中央放一个半径是0.5米的圆形转盘，那么露在外面的实木餐桌面的面积是多少？
27．（6分）公园里有一个周长是50.24米的花坛，现在要绕花坛周围铺上一条2米宽的水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米？
28．（6分）一台压路机的滚筒长1.5米，直径是0.8米，这台压路机滚动10周压过的路面是多少平方米？
29．（6分）有一栋底面呈长方形的建筑物（如下图），墙角有一根木桩，木桩上栓着一条狗。栓狗的绳子长4m，这条狗活动区域的面积有多大？

30．（6分）一个圆形水池的半径是6米，在它周围用砖砌一条宽2米的小路，这条小路的面积是多少平方米？
参考答案
1．D
【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长；由此解答即可。
【详解】A．圆是轴对称图形，与本题测量圆的直径无关；
B．直径是半径的2倍，与本题测量圆的直径无关；
C．圆的周长是直径的3.14倍，与本题测量圆的直径无关；
D．两端都在圆上的线段中，直径最长，根据直径的含义可知：直径是圆内最长的线段，两端都在圆上的线段中，直径最长。故此选项符合题意；
故答案为：D
【点睛】此题考查了圆的认识与圆周率，明确直径的含义，是解答此题的关键。
2．D
【分析】假设出正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积，所剪的图形面积越大剩下的卡纸面积越小，所剪的图形面积相等时剩下卡纸的面积也相等，所剪的图形面积越小剩下的卡纸面积越大，据此解答。
【详解】假设正方形的边长为2。
甲：
＝
＝
乙：
＝
＝
丙：
＝
＝
＝
由上可知，甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩下的卡纸一样多。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握圆的面积计算公式并求出三个图形的面积是解答题目的关键。
3．C
【分析】能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。
三角形的内角和是180°，n边形的内角和是180°×（n－2）。
【详解】①圆是曲面，不能密铺；
②三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，能整除，所以能密铺；
③平行四边形的内角和是360°，能密铺；
④梯形的内角和是360°，能密铺；
⑤正五边形的内角和是：
180°×（5－2）
＝180°×3
＝540°
正五边形的每个内角：
540°÷5＝108°
360°不是108°的整数倍，所以不能密铺；
⑥正八边形的内角和是：
180°×（8－2）
＝180°×6
＝1080°
正八边形的每个内角：
1080°÷8＝135°
360°不是135°的整数倍，所以不能密铺。
综上所述，以上能密铺的有3种。
故答案为：C
【点睛】掌握密铺图形的特点以及多边形内角和的求法是解题的关键。
4．C
【分析】根据题意可知，4个扇形可以组成一个圆，圆的半径是正方形的边长，已知正方形的面积是16平方厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，可推出半径是4厘米，所以用π×42即可求出4个扇形的面积，阴影部分的面积占4个扇形面积的；用π×42即可求出阴影部分的面积。据此解答。
【详解】16＝4×4
扇形的半径是4厘米，
π×42
＝π×16
＝12π（平方厘米）
涂色部分的面积是12π平方厘米，列式为π×42。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了圆面积公式的灵活应用以及分数乘法的应用，要熟练掌握公式。
5．C
【分析】观察图形，圆的直径为2厘米，则圆的半径为（2÷2）厘米，利用圆的面积公式求出圆的面积，再利用正方形的面积公式求出整个正方形的面积，减去圆的面积，即是阴影部分的面积，最后根据比的意义，求出阴影部分与圆面积的比。
【详解】×（2÷2）2
＝×12
＝（平方厘米）
2×2－
＝（4－）平方厘米
所以阴影部分与圆面积的比是（4－）∶。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆和正方形的面积公式解决问题。
6．A
【分析】如图所示，这个圆不能覆盖的面积是1、2、3、4四部分的面积，把3和4向左平移至3’和4’的位置，这个圆不能覆盖部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，据此解答。
【详解】6×6－3.14×（6÷2）2
＝6×6－3.14×9
＝36－28.26
＝7.74（平方厘米）
所以，这个圆不能覆盖部分的面积是7.74平方厘米。
故答案为：A
【点睛】准确找出这个圆不能覆盖部分的面积，并把该面积转化为正方形的面积和圆的面积的差是解答题目的关键。
7．A
【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边；圆上任何一点到圆心的距离都相等，也就是同一个圆的半径相等，依此判断即可。
【详解】A．此图中，两边之和大于第三边，因此能围成三角形。
B．此图中，两边之和小于第三边，因此不能围成三角形。
C．此图中，两边之和小于第三边，因此不能围成三角形。
D．此图中，两边之和等于第三边，因此不能围成三角形。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形三边的关系，以及掌握圆的半径的特点。
8．B
【分析】如图所示，把一张圆形纸片切成两个半圆后，每个半圆的周长比原来圆周长的一半多一条直径的长度，两个半圆的周长之和比原来圆的周长多两条直径的长度，据此解答。
【详解】
8×2×2
＝16×2
＝32（厘米）
所以，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了32厘米。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查圆的周长，根据图形分析增加部分的周长是解答题目的关键。
9．12.56
【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了4cm，是因为近似的长方形的周长比圆的周长多了圆的两个半径。可求出圆的半径，然后根据圆的面积公式解答即可。
【详解】4÷2＝2（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（cm2）
即原来的圆的面积约是12.56cm2。
【点睛】本题是主要考查了圆的面积的考查，根据拼组特点得出圆的半径并熟记圆的面积公式是解题的关键。
10． 78.5 50
【分析】由图可知，圆的直径等于正方形的边长，利用“”求出圆的面积，等腰三角形的腰长等于正方形的边长，利用“”求出一个三角形的面积，据此解答。
【详解】3.14×（10÷2）2
＝3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
×10×10
＝5×10
＝50（平方厘米）
所以，圆的面积是78.5平方厘米，一个三角形的面积是50平方厘米。
【点睛】熟练掌握三角形和圆的面积计算公式是解答题目的关键。
11．56.96平方厘米/56.96cm2
【分析】圆的面积－正方形的面积。先根据圆的面积求出圆的面积；再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出正方形的面积；最后用圆的面积－正方形的面积求出。
【详解】3.14×82－12×12
＝3.14×64－144
＝200.96－144
＝56.96（平方厘米）
所以=56.96平方厘米。
【点睛】解决此题的关键是明确被减数和减数同时加上相同的数，差不变。
12．10
【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长。先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长。
【详解】3×4÷2＋4
＝12÷2＋4
＝6＋4
＝10（cm）
所以新组合的图形的周长是10cm。
【点睛】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直径（2条半径）的长。
13． 1∶2 1∶4
【分析】观察题意可知，大圆的半径是小圆半径的2倍，则设小圆的半径为1，大圆的半径为2，根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，分别求两个圆的周长和面积，即可求得其周长比和面积比。
【详解】设小圆的半径为1，大圆的半径为2，
则它们的周长比是（2π×1）∶（2π×2）
＝2π∶4π
＝（2π÷2π）∶（4π÷2π）
＝1∶2
面积比是：（π×12）∶（π×22）
＝π∶4π
＝（π÷π）∶（4π÷π）
＝1∶4
小圆的周长与大圆的周长比是1∶2，面积比是1∶4。
【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用。
14．64
【分析】根据题意可知，设小圆的半径是x厘米，则大圆的半径是2x厘米，根据圆面积公式，π×2x×2x＋π×x2＝80，然后求出πx2的值，进而乘4即可求出大圆的面积。
【详解】解：设小圆的半径是x厘米，则大圆的半径是2x厘米。
π×2x×2x＋π×x2＝80
4πx2＋πx2＝80
5πx2＝80
πx2＝80÷5
πx2＝16
4πx2
＝16×4
＝64（平方厘米）
大圆的面积是64平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆面积公式的灵活应用，明确大圆半径和小圆半径之间的关系是解答本题的关键。
15．9.42厘米/9.42cm
【分析】已知小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆周长公式：C＝2πr，以及比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，可知小圆和大圆的周长的比也是1∶3，小圆的周长看作1份，大圆的周长看作3份，已知小圆的周长是3.14厘米，则用3.14×3即可求出大圆的周长。据此解答。
【详解】根据圆周长公式以及比的基本性质可知，小圆和大圆的周长的比也是1∶3，
小圆的周长是3.14厘米，
大圆的周长：3.14×3＝9.42（厘米）
如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是9.42厘米。
【点睛】本题主要考查了比的应用以及圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式以及比的基本性质。
16．19.44
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－等腰直角三角形的面积－圆的面积；据此代入数据计算。
【详解】（4＋6）×（4＋6）÷2－6×6÷2－3.14×42×
＝10×10÷2－36÷2－3.14×16×
＝100÷2－18－50.24×
＝50－18－12.56
＝32－12.56
＝19.44
阴影部分的面积为19.44。
【点睛】不规则图形的面积可以采用“整体”减“空白”的计算方法，熟练掌握各部分面积的计算公式也是解题的关键。
17．√
【分析】由题意可知，篱笆的长度就是整圆周长的一半，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出整圆的面积，再除以2就是鸡舍的占地面积。
【详解】12.56÷3.14＝4（米）
3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝50.24÷2
＝25.12（平方米）
则鸡舍的占地面积是25.12平方米。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。
18．√
【分析】半圆的周长等于整圆周长的一半，再加上一条直径的长度，根据圆的周长公式：C＝πd，据此计算即可。
【详解】3.14×8÷2＋8
＝25.12÷2＋8
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
则原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查半圆的周长，明确半圆的周长的计算方法是解题的关键。
19．×
【分析】圆的面积，所以圆的面积之比等于圆半径的平方之比，据此判断即可。
【详解】两个圆半径长度的比是1∶2，则它们的面积比是，本题说法错误；
故答案为：×。
【点睛】本题考查比、圆的面积，解答本题的关键是掌握比的意义。
20．×
【分析】圆的周长、面积是两个不同的量，即使计算结果的数字相等，单位也是不同的，据此解答。
【详解】C＝2πr
＝2×3.14×2
＝12.56（分米）
S＝πr2
＝3.14×22
＝12.56（平方分米）
周长是指绕圆一周曲线的长度，面积是圆所占平面的大小，当半径是2分米时，周长是12.56分米，面积是12.56平方分米，周长和面积是不同的两个量，不能说周长与面积相等。因此，当圆的半径为2分米时，这个圆的周长和面积相等的这个说法错误。
故答案为：×
【点睛】考查圆的周长和面积的概念。
21．63.48平方厘米
【分析】图中虚线部分是两个圆心角是90°，半径是6厘米的扇形，因为半径相等，两个扇形刚好拼成一个半圆，用长方形面积减去半圆的面积，就能求出涂色部分的面积。
【详解】
＝120－56.52
（平方厘米）
22．28.5平方厘米
【分析】如下图，连接BD。阴影①和阴影②的面积和＝以BC为直径的半圆面积－△BDC的面积；阴影③的面积＝以AB为半径的圆面积的－△ABD的面积；用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形，即△BDC的面积和△ABD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。

【详解】[3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2]
＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]
＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25]
＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]
＝[39.25－25]＋[39.25－25]
＝14.25＋14.25
＝28.5（平方厘米）
23．见详解。
【分析】如下图，圆的半径是正方形的边长，设圆的半径为，则正方形的面积是，圆的面积是，即圆的面积＝×正方形的面积。据此可知，以面积是2cm2的正方形的边长为半径画圆，圆的面积是。
【详解】如下图：（圆的位置不唯一）
【点睛】巧用圆的半径的平方等于正方形的面积是解决此题的关键。
24．相等
【分析】由题意可知：左图剩下的铁皮的面积＝正方形的面积―4个小圆的面积；右图剩下的铁皮的面积＝正方形的面积―9个小圆的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据计算即可。
【详解】正方形的面积：（平方米）
（米）
（米）
（平方米）
所以左图剩下的铁皮的面积是：（平方米）
（米）
（米）
（平方米）
所以右图剩下的铁皮的面积是：（平方米）
答：剪去4个圆后剩下的铁皮面积与剪去9个圆后剩下的铁皮面积大小相等。
【点睛】考查求正方形的面积以及圆的面积，牢记公式是关键。
25．1.56平方米
【分析】展开后的餐桌相当于在原来圆桌基础上加上了一个宽为0.4米，长为圆桌直径的长方形，面积＝长方形面积＋圆形面积，长方形面积＝长×宽，圆形面积＝πr2，据此可得出答案。
【详解】这个长方形的长是：（米）；宽就是直径，为1.2米。
原来桌面的面积是：
（平方米）
增加的长方形面积是：（平方米）
展开后的桌面面积是：
（平方米）
答：展开后的桌面面积是1.56平方米。
【点睛】本题主要考查的是组合图形的面积及小数四则运算，解题的关键是熟练运用长方形、圆形的面积公式，进而得出答案。
26．2.355平方米
【分析】求露在外面的实木餐桌面的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可。
【详解】2÷2＝1（米）
3.14×（12－0.52）
＝3.14×（1－0.25）
＝3.14×0.75
＝2.355（平方米）
答：露在外面的实木餐桌面的面积是2.355平方米。
【点睛】本题考查圆环面积公式的运用，熟记公式，找出外圆、内圆的半径是解题的关键。
27．113.04平方米
【分析】水泥路的形状是个圆环，根据圆的半径＝周长÷π÷2，先求出花坛半径，即小圆半径，小圆半径＋路宽＝大圆半径，确定大圆和小圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式解答即可。
【详解】50.24÷3.14÷2＝8（米）
8＋2＝10（米）
3.14×（102－82）
＝3.14×（100－64）
＝3.14×36
＝113.04（平方米）
答：这条水泥路的面积是113.04平方米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和圆环面积公式。
28．37.68平方米
【分析】先求出滚筒的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，求滚筒的周长；进而求出10周滚出的长度，宽就是滚筒的长，再根据长方形的面积公式：面积＝长×宽；即可求出被压路面的面积。
【详解】3.14×0.8×10×1.5
＝2.512×10×1.5
＝25.12×1.5
＝37.68（平方米）
答：这台压路机滚动10周压过的路面是37.68平方米。
【点睛】解答本题的关键是明白：被压路面是一个长方形，弄清楚其长和宽，即可求其面积。
29．37.68m2
【分析】根据题意可知，小狗活动的最大范围是半径为4m的圆面积的，根据圆的面积公式 ：S＝πr2，把数据代入公式解答即可。
【详解】
＝
＝
＝（m2）
答：这条狗活动区域的面积是37.68m2。
【点睛】本题主要考查圆的面积公式在实际生活中的应用，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
30．87.92平方米
【分析】根据题意，在圆形水池的周围砌一条宽2米的小路，那么水池是半径r为6米的内圆，外圆的半径R为（6＋2）米；求小路的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可。
【详解】6＋2＝8（米）
3.14×（82－62）
＝3.14×（64－36）
＝3.14×28
＝87.92（平方米）
答：小路的面积是87.92平方米。
【点睛】明白求小路的面积就是求圆环的面积，先确认内、外圆的半径，然后运用圆环的面积公式解答。
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