北师大版六年级数学上册第六单元比的认识同步学案（知识点梳理+能力百分练）二

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北师大版六年级数学上册第六单元比的认识（知识点梳理+能力百分练）二
知识点梳理
1、两个数相除又叫作两个数的比。“:”叫作比号，读作“比”。在一个比中，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项的商就是这个比的比值。
2、比与除法、分数既有联系，又有区别，它们之间的关系可以表示为a: b=a÷b=。
3、比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项互为质数，这样的比叫作最简整数比。把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。
4、根据商不变的规律化简比时，先把比改写成除法算式，再把被除数和除数同时除以它们的最大公因数，最后再化成比的形式。根据分数的基本性质化简比时，先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成比的形式。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，这就是比的基本性质。利用比的基本性质化简比时，把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数即可。
5、解决按一定的比进行分配的问题时，有三种解决问题的方法。一是把比看作分得的份数，转化成整数乘除法解答，先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分量。二是转化为分数乘法解答，仍然是先求出总份数﹐再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总份数乘相应的分数求出各部分量。三是列方程解答，先设每份的量为x，再用份数乘每份的量，利用各部分量的和一总量列方程求解。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．在“我为群众办实事”活动中，兴平市法院诉讼服务中心、诉源治理办公室全体干警心系诉讼群众，努力解决好群众的操心事烦心事。截止4月9日，干警们为诉讼群众进行诉前远程调解案件和司法确认案件的数量比是2∶11，已知诉前远程调解案件有6件，则司法确认案件有（ ）。
A．22 B．78 C．66 D．33
2．预防“新冠”使用的酒精溶液，用无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配制，现有蒸馏水360L，需配备（ ）L无水乙醇。
A．1080 B．120 C．90 D．180
3．生产同样多的零件，小王用了8时，小张用了6时，小王和小张的工作效率的最简整数比是（ ）。
A． B． C． D． E．
4．下面说法正确的是（ ）。
A．一个三角形内角度数的比是1∶2∶4，这是个锐角三角形
B．读六年级的小东已生活了300周
C．男生人数比女生多，则男生和女生人数的最简整数比是6∶5
D．在生活中，知道了物体的方向，就能确定物体的位置
5．在含盐10%的盐水中，盐与水的质量比是（ ）。
A．1︰10 B．1︰9 C．1︰11 D．9︰1
6．一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知客车和货车的速度比是9∶7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇，甲、乙两地相距（ ）千米。
A．360 B．400 C．480 D．600
7．某校六年级人数在220～230之间，如果男生与女生的人数比为4∶5，六年级应该是（ ）人。
A．222 B．225 C．228 D．230
8．五年级男同学与女同学人数的比是5∶4，男同学人数比女同学人数多（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题（共16分）
9．小明的学号是个六位数，这个六位数从左到右各位上的数字分别为：首位是10以内的最大奇数，第二位是3的最小倍数，第三位是最小的质数，第四、五位两个数字的比是1∶2，和是12，第六位是1的倒数。小明的学号是( )。
10．成年人血液的质量与体重之比大约是，王叔叔体重是65kg，他身体里的血液有( )kg。
11．一个长方形花圃，长是100m，这个花圃长和宽的比是4∶3，这个长方形花圃的面积是( )，如果每平方米可以种4棵郁金香，这个花圃一共可以种( )棵郁金香。
12．一列火车提速前和提速后速度的比是5∶6，已知这列火车提速前的速度是每小时行驶100千米，那么这列火车提速后的速度是每小时行驶( )千米。
13．大小两个正方形如下图这样重叠，阴影部分的面积是小正方形的，同时又是大正方形的，大小正方形的面积之比是( )∶( )。
14．的比值是( )，化成最简单的整数比是( )。
15．某工厂今年第一季度生产洗衣机4000台，其中一月份生产的台数占总数的，二月份与三月份生产的台数比是，该工厂三月份生产了( )台洗衣机。
16．滑梯的长度是3m，高1.5m。滑梯的长度与滑梯的高的比是( )，比值是( )。

三、判断题（共8分）
17．配制一种蜂蜜水，蜂蜜和水的质量比是1∶8，现有3克蜂蜜，配制这种蜂蜜水需要加24克水。( )
18．如果，那么A比B少。( )
19．两个圆的周长的比是4∶9，它们直径的比是2∶3。( )
20．兰兰买了4本硬皮本共用了6元，丽丽买了3本软面本共用了3元，兰兰和丽丽用的总钱数的比是6∶3。( )
四、计算题（共6分）
21．（6分）求下面各比的比值。
（1）5.2∶0.13 （2）36∶54 （3）2.5∶1 （4）7.5kg∶500g
五、作图题（共6分）
22．（6分）在下面方格纸上画一个周长是16厘米的长方形，且长与宽的比是3∶1。
六、解答题（共48分）
23．（6分）剪刀手服装厂赶制一批校服，前10天完成了总套数的，如果再生产350套，则已完成的与未完成的套数的比是2∶3，这批校服一共多少套？
24．（6分）学校原有足球、篮球一共40个，篮球与足球的个数之比是，后来又买回一些篮球，这时篮球与两种球总个数的比是，新买回多少个篮球？
25．（6分）淘气早上做语文、数学、英语三科作业共用了90分钟，语文、数学、英语作业所用时间的比为4∶2∶3，三科作业各花了多少分钟？
26．（6分）小林读一本书，已读的页数和未读的页数之比是5∶4，如果再读25页，已读的页数和未读的页数之比是2∶1。这本书共有多少页？
27．（6分）为了迎接4月23日世界读书日，胜利小学把四月份定为读书月。赵玲读一本140页的书，第一周读了这本书的，第二周与第一周所读页数的比是3∶2，第三周正好读完。第三周读了多少页？

28．（6分）一辆客车和一辆货车同时从相距160千米的甲、乙两地相对开出，3小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？
29．（6分）一个圆形花坛，原来直径是15米，扩建后的直径与原来的比是4∶3，扩建后花坛的面积是多少？
30．（6分）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？
参考答案
1．D
【分析】诉前远程调解案件和司法确认案件的数量比是2∶11，则司法确认案件是诉前远程调解案件的，用乘法计算即可。
【详解】6×＝33（件）
司法确认案件有33件。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了比的应用，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。
2．A
【分析】酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配制，也就是说无水乙醇是蒸馏水的3倍；据此求解即可。
【详解】360×3＝1080（L）
需配备1080L无水乙醇。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了比的应用，解题关键是明确酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水的关系。
3．D
【分析】把工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出小王和小张的工作效率，再根据比的意义，用小王的工作效率∶小张的工作效率，化简即可。
【详解】（1÷8）∶（1÷6）
＝∶
＝（×48）∶（×48）
＝6∶8
＝（6÷2）∶（8÷2）
＝3∶4
生产同样多的零件，小王用了8时，小张用了6时，小王和小张的工作效率的最简整数比是3∶4。
故答案为：D
【点睛】利用工作总量、工作时间和工作效率三者的关系以及比的意义进行解答。
4．C
【分析】三角形的三个内角度数比是1∶2∶4，则把三角形的内角和看作单位“1”，用4÷（1＋2＋4）求出最大的角占内角和的几分之几，如果小于，则三角形是锐角三角形，如果大于，则三角形是钝角三角形，如果等于，则三角形是直角三角形；
根据1周＝7天，用300×7即可求出一共有多少天，一年有365天，用总天数除以365天，即可求出小东的年龄，然后根据常识推断出小东是否在读六年级；
假设女生人数有5人，已知男生人数比女生多，则男生人数是女生的（1＋），根据分数乘法的意义，用5×（1＋）即可求出男生人数，进而写出男生和女生人数的最简整数比；
要想知道物体的位置，不仅要知道它的方向，还要知道它的距离。
【详解】A．4÷（1＋2＋4）
＝4÷7
＝
＞
三角形是一个钝角三角形；
B．1周＝7天
300×7＝2100（天）
1年有365天，
2100÷365≈6（年）
小东大约有6岁，不可能在读六年级。
C．假设女生人数有5人，
5×（1＋）
＝5×
＝6（人）
男生和女生人数的最简整数比是6∶5。
D．要想知道物体的位置，不仅要知道它的方向，还要知道它的距离。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了比的应用、分数的应用、时间单位的换算以及依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。
5．B
【分析】把盐水看作单位“1”，已知盐占10%，则水占（1－10%），所以盐与水的质量比是10%∶（1－10%），然后化简比即可。
【详解】10%∶（1－10%）
＝10%∶90%
＝1∶9
即在含盐10%的盐水中，盐与水的质量比是1∶9。
故答案为：B
【点睛】本题考查了百分数的含义以及比的意义和化简。
6．B
【分析】由“客车速度与货车速度的比为9∶7”可知，相同时间内，客车行驶路程与货车行驶路程的比也为9∶7， 客车比货车多行驶了25×2＝50千米，用多行驶的米数除以多出的份数求出每份是多少千米，再乘总份数即可求出总路程。
【详解】25×2÷（9－7）
＝50÷2
＝25（千米）
25×（9＋7）
＝25×16
＝400（千米）
一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知客车和货车的速度比是9∶7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇，甲、乙两地相距400千米。
故答案为：B
【点睛】明确客车行驶路程与货车行驶路程的比以及求出每份是多少千米是解答本题的关键。
7．B
【分析】根据题意，如果男生与女生的人数比为4∶5，所以总人数应能整除9，据此解答即可。
【详解】4＋5＝9（份）
A．222÷9＝（人）不符合题意，
B．225÷9＝25（人）符合题意，
C．228÷9＝（人）不符合题意，
D．230÷9＝（人）不符合题意。
故答案为：B
【点睛】此题的关键是：根据男、女生人数的比，确定男、女及全班人数所占的份数，根据所求问题确定被除数。
8．B
【分析】根据比的意义可知，男同学的人数是5份，女同学人数是4份，男同学人数比女同学人数多几分之几，用多的份数除以女同学的份数即可，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
（5－4）÷4
＝1÷4
＝
男同学人数比女同学人数多。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查比的意义以及一个数比另一个数多几分之几的计算方法，熟练掌握它的计算方法并灵活运用。
9．932481
【分析】是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；3的最小倍数是它本身；最小的质数是2；根据按比例分配：第四、五位两个数字比是1∶2，即第四、五位数字和分成了（1＋2）份，用12÷（1＋2），求出1份是多少，进而求出第四位数、第五位数；1的倒数还是1，据此写出小明的学号。
【详解】第一位数是10以内的最大奇数，最大奇数是9；
第二位是3的最小倍数，3的最小倍数是3；
第三位是最小的质数，最小质数是2；
第四、五位数：
12÷（1＋2）
＝12÷3
＝4
4×1＝4
12－4＝8
第四位数是4；
第五位数是8
第六位数是1的倒数，是1。
小明学号是：932481。
小明的学号是个六位数，这个六位数从左到右各位上的数字分别为：首位是10以内的最大奇数，第二位是3的最小倍数，第三位是最小的质数，第四、五位两个数字的比是1∶2，和是12，第六位是1的倒数。小明的学号是932481。
【点睛】本题知识点较多，要综合运用所学知识，关键是掌握数的分类。
10．5
【分析】根据成年人血液的质量与体重之比大约是1∶13可知，王叔叔的体重是他身体里的血液质量的13倍，再用王叔叔体重除以13，即可计算出他身体里的血液有多少千克。
【详解】65÷13＝5（kg）
他身体里的血液有5kg。
【点睛】本题解题关键是根据熟练掌握比例分配问题的解题方法。
11． 7500平方米/7500 30000
【分析】先根据比的意义求出长方形的宽，再根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。根据整数乘法的意义，用这个花圃的面积乘每平方米种郁金香的棵数即可。
【详解】100×（100×）
＝100×75
＝7500（平方米）
7500×4＝30000（棵）
这个长方形花圃的面积是7500平方米，这个花圃一共可以种30000棵郁金香。
【点睛】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
12．120
【分析】根据题意，一列火车提速前和提速后速度的比是5∶6，即提速前的速度是提速后的，把提速后的速度看作单位“1”，它的是提速前的速度，对应的是100千米，求单位“1”，用提速前的速度÷，即可求出提速后的速度。
【详解】100÷
＝100×
＝120（千米）
一列火车提速前和提速后速度的比是5∶6，已知这列火车提速前的速度是每小时行驶100千米，那么这列火车提速后的速度是每小时行驶120千米。
【点睛】根据比的应用，把提速前和提升后化成分数的意义，再利用分数除法的意义进行解答。
13． 5 7
【分析】把小正方形阴影部分面积看成1，那么小正方形的面积就是1÷＝；同样大正方形的面积是1÷＝，再根据题意进行比即可。
【详解】（1÷）∶（1÷）
＝（1×）∶（1×）
＝∶
＝（×2）∶（×2）
＝5∶7
所以，大小正方形的面积之比是5∶7。
【点睛】本题考查比的意义，把阴影部分的面积看作单位“1”，根据一个数的几分之几是多少，求出这个数，分别用除法算出大、小正方形的面积，再根据题意进行解答即可。
14． 1∶3
【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值；根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比。
【详解】
＝
＝
＝
＝（0.25×4）∶（×4）
＝1∶3
的比值是，化成最简单的整数比是1∶3。
【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
15．2000
【分析】一月份生产的台数占总数的，则二月份与三月份共生产的台数占总数的1－，也就是4000×（1－）台；又二月份与三月份生产的台数比是，则三月份生产的台数占二月份与三月份生产的台数的，根据乘法的意义，用4000×（1－）×即可求出三月份生产的台数；据此解答。
【详解】4000×（1－）×
＝4000××
＝2000（台）
该工厂三月份生产了2000台洗衣机。
【点睛】本题主要考查比的应用，求出二月份与三月份共生产的台数是解题的关键。
16． 3∶1.5 2
【分析】求滑梯的长度与滑梯的高的比，只需要根据题目用滑梯长度比上滑梯高度即可；用比的前项除以后项，所得的商即为比值。
【详解】由分析可得：
滑梯的长度与滑梯的高的比是：3∶1.5
3÷1.5＝2
综上所述：滑梯的长度是3m，高1.5m。滑梯的长度与滑梯的高的比是3∶1.5，比值是2。
【点睛】本题主要考查了写出比和求比值的方法，求的比值是一个商，是具体结果，可以是整数、小数或者分数。
17．√
【分析】根据题意，蜂蜜和水的质量比是1∶8，即蜂蜜的质量是水的质量的，现有3克蜂蜜，求需要水的质量，用蜂蜜的质量÷，求出水的质量，再进行比较，即可解答。
【详解】3÷
＝3×8
＝24（克）
配制一种蜂蜜水，蜂蜜和水的质量比是1∶8，现有3克蜂蜜，配制这种蜂蜜水需要加24克水。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答本题的关键是把比转化成分数，再利用分数除法的意义进行解答。
18．√
【分析】根据比的性质将化简成，可设A是2份，B是5份，再用它们的差除以B即可解答。
【详解】由可得
假设A是2份，B是5份
（5－2）÷5
＝3÷5
＝
所以如果，那么A比B少。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查的是比的应用。解题关键在于用它们的差除以正确的单位“1”。
19．×
【分析】根据圆的半径比、直径比和周长比相等，据此求解。
【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据“圆的直径＝2r，周长＝2πr”分别求出大圆和小圆的直径和周长，进而求比即可；
圆的半径为R，小圆的半径为r，
直径比：
2R∶2r
＝R∶r
周长比：
2πR∶2πr
＝（2πR÷2π）∶（2πr÷2π）
＝R∶r
由此可得根据圆的直径比和周长比相等，因此两个圆的周长之比是4∶9，那么直径的比是4∶9；原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】解决此题关键是理解圆的半径、直径、周长之间的关系。
20．√
【分析】已知兰兰和丽丽各自用的总钱数，即用兰兰用的总钱数比上丽丽用的总钱数即可。
【详解】由分析可得：
兰兰和丽丽用的总钱数的比是：6∶3，
故答案为：√
【点睛】本题考查了比的应用，写比的时候注意按照题目的要求。
21．（1）40；（2）；（3）；（4）15
【分析】求比值是根据比的意义（两个数相除又叫两个数的比），用比的前项除以比的后项。单位不同的时候要先统一单位再计算。
【详解】（1）5.2∶0.13
＝5.2÷0.13
＝40
（2）36∶54
＝36÷54
＝
（3）2.5∶1
＝÷
＝×
＝
（4）7.5kg∶500g
＝7500g∶500g
＝7500÷500
＝15
22．见详解
【分析】根据圆的周长公式：（长＋宽）×2，由于周长是16厘米，长加宽的和是16÷2＝8（厘米），根据公式：总数÷总份数＝1份量，即8÷（3＋1）＝2（厘米），用2分别乘长和宽的份数，据此即可求出长方形的长和宽，再画图即可。
【详解】（16÷2）÷（3＋1）
＝8÷4
＝2（厘米）
3×2＝6（厘米）
1×2＝2（厘米）
即所画长方形的长是6cm，宽是2cm
画图如下：
【点睛】本题主要考查长方形的周长公式和比的应用，需要熟练掌握它们的公式并灵活运用。
23．5250套
【分析】把生产校服的总套数看作单位“1”，完成了后，再生产350套，则已完成的与未完成的套数的比是2∶3，也就是此时完成的套数占总套数的，则350套占总套数的（－），根据分数除法的意义，用350套除以（－）就是总套数。
【详解】由分析可得：
350÷（－）
＝350÷（－）
＝350÷
＝350×15
＝5250（套）
答：这批校服总共5250套。
【点睛】本题是分数除法应用题，解题的关键是把比转化成分数，进而求出350套占总套数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
24．40个
【分析】根据题意，足球的个数不变，先把学校原有足球、篮球的总个数看作单位“1”，足球的个数占，根据分数乘法的意义，求出足球的个数；再买来一些篮球后，篮球、足球的总共数看作单位“1”，买了一些篮球后，足球的个数占总个数的（1－），根据分数除法的意义，用足球的个数除以足球所占的分率，求出买了一些篮球后，篮球、足球的总个数，再用现在总个数减去原来的总个数，就是新买来篮球的个数。
【详解】40×（）÷（1－）－40
＝40×÷－40
＝16×5－40
＝80－40
＝40（个）
答：新买回40个篮球。
【点睛】解答本题的关键是抓住足球的个数不变，先把比转出成分数，再根据分数乘法的意义求出足球的个数，再求出买了一些篮球后足球个数占的分率，根据分数除法的意义，求出买回一些篮球后，篮球、足球的总个数。
25．语文花了40分钟；数学花了20分钟；英语30分钟。
【分析】根据题意“语文、数学、英语作业所用时间的比为4∶2∶3”可知，把总时间平均分成（4＋2＋3）份，做语文、数学、英语三科作业用的时间分别占总时间的、、；把做三科作业共用的时间看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用总时间乘做各科作业对应的分率即可求出做各科作业用的时间；也可以先用90除以9求出做一份用的时间，再分别求出即可。
【详解】4＋3＋2＝9（份）
语文：90×＝40（分钟）
数学：90×＝20（分钟）
英语：90－40－20＝30（分钟）
答：做语文花了40分钟，数学花了20分钟，英语花了30分钟。
【点睛】此题是考查按比例分配，关键是把比转化成分数，判断出单位“1”，再根据一个数乘分数的意义解答。
26．225页
【分析】把总页数看作单位“1”，已读的占，再读25页，已读的就占，也就是说这本书页数的与的差是25，根据一个数除以分数的意义即可解答。
【详解】25÷（－）
＝25÷
＝25×9
＝225（页）
答：这本书共有225页。
【点睛】本题是考查比的应用，关键是把比转化成分数，根据分数除法的应用来解答。
27．40页
【分析】用140×，求出第一周读的页数；第二周与第一周所读页数的比是3∶2，即第二周读的页数是第一周的，用第一周读的页数×，求出第二周读的页数，再用总页数－第一周读的页数－第二周读的页数，即可求出第三周读的页数。
【详解】第一周：140×＝40（页）
第二周：40×＝60（页）
第三周：140－40－60
＝100－60
＝40（页）
答：第三周读了40页。
【点睛】解答本题的关键是利用第二周与第一周的比，求出第二周读的页数是第一周读的页数的几分之几。
28．32千米
【分析】根据路程÷时间＝速度；用160÷3，求出客车和货车的速度和；再根据按比例分配，客车和货车的速度比是3∶2，即把客车和货车速度和分成（3＋2）份，用客车和货车速度和÷（3＋2），求出一份是多少，进而求客车的速度，据此解答。
【详解】3＋2＝5（份）
160÷3÷5
＝÷5
＝（千米）
×3＝32（千米）
答：客车每小时行32千米。
【点睛】本题考查按比分配问题，求出客车和货车的速度和是解题的关键。
29．314平方米
【分析】由于扩建后的直径与原来的比是4∶3，原来的直径是3份，根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即15÷3＝5（米），再用5乘4即可求出扩建后的直径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。
【详解】15÷3×4
＝5×4
＝20（米）
20÷2＝10（米）
3.14×10×10＝314（平方米）
答：扩建后花坛的面积是314平方米。
【点睛】本题主要考查比的应用以及圆的面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
30．900个
【分析】由于第二天卖出去的占了后两天卖的总数的：；第三天卖的占了剩下两天总数的：，则第二天比第三天多卖出的量占后两天总量的：－，单位“1”是后两天总数，单位“1”未知，用除法，即120÷（－），由此即可求出后两天的总数，之后把这批吉祥物玩偶看作单位“1”，后两天总量占了总数的1－，单位“1”未知，用除法，即，算出结果即可。
【详解】
＝120÷（－）÷
＝120÷÷
＝120×5×
＝600×
＝900（个）
答：这批吉祥物玩偶一共有900个。
【点睛】本题主要考查按比例分配解决问题，同时要注意找准单位“1”是解题的关键。
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