山西省朔州市怀仁市第九中学高中部2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年
高二上学期期中数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1、已知点是角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
2、如图所示,在直二面角中,四边形ABCD是边长为2的正方形,是等腰直角三角形,其中,则点D到平面ACE的距离为( )
A. B. C. D.
3、已知,,若,则( )
A.0 B.1 C. D.
4、若,则的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
6、若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7、一组数据按照从小到大的顺序排列为1,2,3,5,6,8,记这组数据的上四分位数为n,则二项式展开式的常数项为( ).
A.-160 B.60 C.120 D.240
8、已知一组数据：1，2，3，5，m，则下列说法错误的是( )
A.若平均数为4，则 B.中位数可以是5
C.众数可以是1 D.总体方差最小时，
9、在平面直角坐标系中，点M的坐标为，则点M、原点O到直线的距离不都为1的直线方程是( )
A. B. C. D.
10、已知，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、已知的一条直径为AB，M，N是上的两点，，，则( )
A. B. C. D.
12、已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0 1 2 3 4 5表示击中目标，6 7 8 9表示未击中目标.因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：
据此估计P的值为( )
A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.75
二、填空题（共22分）
13、在梯形ABCD中,,,M为AC的中点,将沿直线AC翻折成,当三棱锥的体积最大时,过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
14、已知直线和圆相交于A,B两点.若,则r的值为__________.
15、如图,已知四边形ABCD为圆柱的轴截面,,E,F为上底面圆上的两个动点,且EF过圆心G,当三棱锥的体积最大时,直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.
16、已知直线与直线平行，则_____.
17、甲 乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概亭为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是__________.
三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）
18、已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求C的方程：
（2）点M,N在C上,且,,D为垂足.证明：存在定点Q,使得为定值.
19、如图,在三棱锥中,,PA上底面ABC.
（1）求证：平面平面PBC;
（2）,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.
20、已知函数.若函数在处有极值-4.
（1）求的单调递减区间;
（2）求函数在上的最大值和最小值.
21、已知圆与圆相交于M，N两点，点M位于x轴上方，且两圆在点M处的切线相互垂直.
（1）求的值；
（2）若直线l与圆、圆分别切于P，Q两点，求的最大值.
22、在正方体中，E为BC的中点，M为棱上一点，平面交棱AB于点F，交棱于点H.
（1）若，求；
（2）若，求证：平面ABCD.
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、C
5、D
6、A
7、B
8、B
9、B
10、C
11、D
12、B
13、
14、5
15、
16、-2
17、0.32
18、（1）由题意可得：,解得：,,
故椭圆方程为：.
（2）设点,,
若直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为：,
代入椭圆方程消去y并整理得：,
可得,,
因为,所以,即,
根据,
代入整理可得：,
所以,
整理化简得,
因为不在直线MN上,所以,
故,,
于是MN的方程为,
所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时,可得,
由得：,
得,结合可得：,
解得：或（舍）.
此时直线MN过点.
令Q为AP的中点,即,
若D与p不重合,则由题设知AP是的斜边,
故,
若D与p重合,则,
故存在点,使得为定值.
19、（1）底面ABC,
底面ABC,
.又,即.
,平面PAC.
平面PBC,平面平面PBC.
（2）取PC的中点D,连接AD,DM.
..由（1）知,平面PAC,
又平面PAC,.而,平面PBC.
DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
就是AM与平面PBC所成的角,目.
设,则由M是PB中点得,
..
即AM与平面PBC所成角的正切值为.
20、(1),
,
依题意有即,解得.
,
由,得,
函数的单调递减区间.
(2)由(1)知,
,
令,解得,.
当x变化时,,的变化情况如下表：
x -1 1 2
- 0 +
8 极小值-4 2
由上表可知,函数在上单调递减,在上单调递增.
,.
故可得,
.
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和-4.
21、（1）如图，
由题意可知，与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，，
故，
又，
当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为3.
22、（1）连接，并延长，DA交于点Q，连接QE，则QE与AB的交点即为点F，如图，
易得，
又，则，
则.
（2）证明：设正方体棱长为a，，
易得，则，
故，.
延长，EH交于点S，连接，AC，如图，
易得，则，则，
又，则
，
化简得，则，，
故，则四边形MACH为平行四边形，
则，平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD.