山东省普高大联考2023-2024学年高二上学期11月期中联合质量测评数学试卷（含解析）

试卷类型：A
山东省普高大联考2023-2024学年高二上学期11月期中联合质量测评
数学
2023.11
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的学校 班级 姓名 考号 座号填涂在相应位置.
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整 笔迹清楚.
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠 不破损.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点，则的中点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线，若，则的值为（ ）
A.-6 B.6 C.4 D.-4
3.过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（ ）
A.5 B.2 C. D.4
4.已知空间四边形，其对角线分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量，则向量可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知实数满足方程，则的最大值是（ ）
A. B. C.0 D.
6.战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.或 B. C. D.
7.已知中心在原点，半焦距为4的椭圆被直线方程截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
8.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取3.162）
A.6.48 B.4.48 C.2.48 D.以上都不对
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.空间直角坐标系中，已知，则（ ）
A.
B.是直角三角形
C.与平行的单位向量的坐标为
D.可以作为空间的一组基底
10.在如图所示的三棱锥中，面，下列结论正确的为（ ）
A.直线与平面所成的角为
B.二面角的正切值为
C.到面的距离为
D.异面直线
11.已知直线和圆，则（ ）
A.直线恒过定点
B.存在使得直线与直线垂直
C.直线与圆相交
D.若，则圆上到直线的距离为的点有四个
12.已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（ ）
A.拋物线的准线方程为
B.若，则直线的斜率为1
C.若，则直线的方程为
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.
13.过两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.
14.，若共面，则实数__________.
15.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为.记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为.已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为__________.
16.如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知点，向量
（1）若，求实数的值；
（2）求向量在向量方向上的投影向量.
18.（12分）已知的顶点.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程.
19.（12分）如图，在长方体中，为棱上一点，已知，.
（1）求直线和平面的夹角；
（2）求点到平面的距离.
20.（12分）已知定点，点为圆上的动点.
（1）求的中点的轨迹方程；
（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
21.（12分）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.已知在同一平面内，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
22.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
山东省普高大联考2023-2024学年高二上学期11月期中联合质量测评
数学参考答案及评分标准
一 单项选择题
1.B 【解析】因为，
中点故选：.
2.C 【解析】因为，所以，故选：.
3.D 【解析】点在圆内，当与垂直时，弦长最小，，即最短弦长为，故选：.
4.D 【解析】
故选：D.
5.B 【解析】的方程可化为，
它表示圆心，半径为1的圆.
表示圆上的点与点的连线的斜率，
圆心与点的距离为1，
则圆心到直线的距离，
可得，即最大值为，故选：B.
6.A 【解析】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为，
则反射光线经过点，且与圆相切，
设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为：，即，
圆的圆心为，半径
则有圆心到反射光线的距离等于半径可得：，
即，
解得：或，
故选：A.
7.B 【解析】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，直线的斜率.
由，得，
得，所以，又，
所以，椭圆的标准方程为，故选B.
8.A 【解析】以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标，
则圆拱所在圆的方程为，
，解得，
圆的方程为.
将代入圆方程，得：，
又.
故选：A.
二 多项选择题
9.ABD 【解析】因为，
所以，所以，选项正确；
又因为，所以，
所以是直角三角形，选项正确；
因为，所以与平行的单位向量的坐标为，选项错误；
因为相互不平行，故可作为空间一组基底，选项正确.故选：.
10.AC 【解析】因为面，故为直线与平面所成的角，又，所以，
故直线与平面所成的角是，故正确；
取中点为，连接，
因为面，所以，，因为，所以平面，故为二面角的平面角，
则，故二面角的正切值为，故项错误；
因为，所以，设到面的距离为，
则，解得，故项正确；
若，又，则面，则有，与矛盾，故项错误；
故选：.
11.BC 【解析】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当时，直线与直线垂直，故B正确；
因为定点在圆内部，所以直线与圆相交，故C正确；
当时，直线化为，
圆心到直线的距离，圆半径，则圆到直线距离为的点有三个，故D错误.故选BC.
12.ACD 【解析】对：显然正确；
对B：设A点的坐标为，则，所以，从而直线的斜率为1或，故B错误；
对C：设，
.
又，即，
又或，
当时；
当时，，此时直线的斜率不
存在，舍去，
直线的方程为：.故C正确.
对D；设直线，则直线，
设，
由，即，则，所以，
又，
，同理可证：，
，
又.故D正确.
故选ACD.
三 填空题
13.1 【解析】过两点的直线的倾斜角为，
则，又.故答案为：1.
14.2 【解析】由于共面，，故，
故解得.
15. 【解析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，
圆锥的底面直径均为4，则半径，侧面积均为.
可得，则，即，
所以.
16. 【解析】
由为边的中点知：且，
易知，而，故面，故与的夹角为.
若是的中点，又为的中点，则且，而且，
所以且，叫为平行四边形，故且，故的轨迹与到的轨迹相同.因为面，所以到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为.
四 解答题
17.解：（1），
即，得
（2），
，向量在向量上上的投影向量
18.解：（1），
直线的斜率，
边上的高所在直线的斜率为2，
边上的高所在直线过点，
边上的高所在直线的方程为，即.
（2），
即为以角为直角的直角三角形，
故的外接圆以中点为圆心，为半径，
的外接圆的方程为.
19.解：（1）依题意：平面，连接，则与平面所成夹角为，
因，
为等腰三角形，
，
直线和平面的夹角为
（2）如图建立坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
由，可得，
点到平面的距离.
20.解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，即，
的中点的轨迹方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆的半径且圆心到直线的距离，
，解得，
直线的方程为，即；
综上，直线的方程为或.
21.解：（1）证明：如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，
，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
因为平面平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则
所以，
令，
所以，
记直线与平面所成的角为，
则，
解得（负值舍去），即，
设平面的一个法向量为，
，
则即，
令，则，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
22.解：（1）由题意可知，，
故点的轨迹是以为焦点，且长轴长的椭圆，
焦距，所以，
因此轨迹方程为.
（2）证明：（i）设.
由题可知，如下图所示：
则，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值.
（ii）设直线的方程为.
由，得，
所以.
由（i）可知，，
即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
因此直线经过定点.