广东省肇庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省肇庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 694.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-24 20:40:26 | ||
图片预览
文档简介
肇庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学科试卷
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
4．设为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
5．方程的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆交于点两点，为坐标原点，且，则实数m为（ ）
A．2 B． C． D．
7．椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，在正方形中有一动点，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆
D．若直线，，且，则
10．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的值可能是（ ）
A． B． C．6 D．36
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦直线方程为
C．最短时，弦长为
D．直线过定点为
12．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为，点都在上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形
C．直线的斜率之积为定值 D．的面积最大值为
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量满足，且，则夹角的余弦值为______．
14．已知经过、两点的直线的方向向量为，则实数的值为______．
15．圆与圆的公切线方程为______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知点、、，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）三角形的面积．
18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，．
（1）证明：；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
肇庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1—8．CADB CBAD 9．BCD 10．AD 11．AC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
8．【详解】正方体中，正方形内的点满足可知是平面内，以为直径的半圆上一点，设圆心为，如下图所示：当直线与平面所成最大角时，点位于圆心与点连线上，此时取得最小值．则即为直线与平面所成的角，设正方体的边长为2，则，．所以．
12．【详解】对于A．根据椭圆的对称性，，当为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14．故A正确：
对于B．因为，所以，则，故椭圆上不存在点，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形．故B不正确．
对于C．由题意得，设，则，所以．
对于D．设的面积为，所以当为椭圆的短轴时，最大，
所以．故D正确．故选ACD．
16．【详解】因为，，所以
即，所以，所以．
设，则，所以，，由得
，所以，所以，，
在中，由，得，所以．
17．解：（1）由题设，的中点坐标为，则中线的斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为；
（2）由题设，则，
而，故，
所以三角形的面积．
18．解：（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，
又圆心在直线上，令可得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为．
（2）当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，则．
又直线被圆所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，所以直线的方程为．
综上：的方程为或．
19．解：（1）连接交于点，连接，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，又为线段的中点，∴，
又，，∴直线．
（2）∵，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，
得，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，
则，得，不妨取，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）由题可知解得故椭圆的方程为．
（2）设，，则
两式相减得，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，所以，
所以直线的方程为，即．
21．解：（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
有因为四边形为菱形，所以，
因为，，所以，
又因为且，所以，
因为，所以．
（2）解：取中点，连接，因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得，，设平面的法向量，则，
取，可得，所以．
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为．
22．解：（1）由垂直平分线的性质可知，
所以．又，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
设曲线的方程为，则，所以，
所以曲线的方程为．
（2）由，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，所以，
此时，，所以，
由，得，
假设存在定点，使得以为直径的圆恒过点，则，
又，，
所以，
整理，得对任意实数，恒成立，
所以，解得，故存在定点，使得以为直径的圆恒过点．
数学科试卷
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
4．设为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
5．方程的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆交于点两点，为坐标原点，且，则实数m为（ ）
A．2 B． C． D．
7．椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，在正方形中有一动点，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆
D．若直线，，且，则
10．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的值可能是（ ）
A． B． C．6 D．36
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦直线方程为
C．最短时，弦长为
D．直线过定点为
12．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为，点都在上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形
C．直线的斜率之积为定值 D．的面积最大值为
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量满足，且，则夹角的余弦值为______．
14．已知经过、两点的直线的方向向量为，则实数的值为______．
15．圆与圆的公切线方程为______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知点、、，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）三角形的面积．
18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，．
（1）证明：；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
肇庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1—8．CADB CBAD 9．BCD 10．AD 11．AC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
8．【详解】正方体中，正方形内的点满足可知是平面内，以为直径的半圆上一点，设圆心为，如下图所示：当直线与平面所成最大角时，点位于圆心与点连线上，此时取得最小值．则即为直线与平面所成的角，设正方体的边长为2，则，．所以．
12．【详解】对于A．根据椭圆的对称性，，当为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14．故A正确：
对于B．因为，所以，则，故椭圆上不存在点，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形．故B不正确．
对于C．由题意得，设，则，所以．
对于D．设的面积为，所以当为椭圆的短轴时，最大，
所以．故D正确．故选ACD．
16．【详解】因为，，所以
即，所以，所以．
设，则，所以，，由得
，所以，所以，，
在中，由，得，所以．
17．解：（1）由题设，的中点坐标为，则中线的斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为；
（2）由题设，则，
而，故，
所以三角形的面积．
18．解：（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，
又圆心在直线上，令可得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为．
（2）当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，则．
又直线被圆所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，所以直线的方程为．
综上：的方程为或．
19．解：（1）连接交于点，连接，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，又为线段的中点，∴，
又，，∴直线．
（2）∵，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，
得，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，
则，得，不妨取，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）由题可知解得故椭圆的方程为．
（2）设，，则
两式相减得，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，所以，
所以直线的方程为，即．
21．解：（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
有因为四边形为菱形，所以，
因为，，所以，
又因为且，所以，
因为，所以．
（2）解：取中点，连接，因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得，，设平面的法向量，则，
取，可得，所以．
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为．
22．解：（1）由垂直平分线的性质可知，
所以．又，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
设曲线的方程为，则，所以，
所以曲线的方程为．
（2）由，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，所以，
此时，，所以，
由，得，
假设存在定点，使得以为直径的圆恒过点，则，
又，，
所以，
整理，得对任意实数，恒成立，
所以，解得，故存在定点，使得以为直径的圆恒过点．
同课章节目录