课件14张PPT。12命题及其关系全称量词存在量词充分条件必要条件充要条件简单的逻辑联结词:且、或、非3注:(1) “互为”的;
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.原命题
若p,则q逆否命题
若? q,则? p否命题
若? p,则? q逆命题
若q,则p互逆互 否互 否互逆互为逆否同真同假4二、充要条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断(2)从命题的角度去理解．
设原命题为“若p，则q”，则
①若原命题为真，则p是q的 ．
②若逆命题为真，则p是q的 ．
③若原命题和逆命题都为真，则p是q的 .
④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的 .
⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的 ．
⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的 .充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分件既不充分也不必要条件5(3)从集合的角度去理解．
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即
A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则
①若A?B，则p是q的 ．
②若B ? A，则p是q的 ．
③若A=B，则p是q的 ．
④若A ? B且B?A，则p是q的 ．
⑤若B ? A且A?B，则p是q的 ．
⑥若A?B且B?A，则p是q的 .充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件6同步练习1.A2.C3.B74.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且?P是?q的必要不充分条件，
求a的取值范围．分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化．解：由?P是?q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件，8“或”
“且”
“非”9特别注意对一些词语的否定103答案113答案12133答案14课件25张PPT。本专题栏目开关画一画·知识网络、结构更完善本专题栏目开关试一试·双基题目、基础更牢固C 本专题栏目开关C 试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关A 试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关存在一个常数列，它不是等差数列 试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处A 本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处A 本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处本专题栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处本专题栏目开关课件14张PPT。课件40张PPT。新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0答案1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以 5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真． 8．条件p： ， ，
条件q： ， ，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q： ， ，但不满足q： ， ，故选项为B．9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜69．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①P A，②B P，B是P的充分非必要条件，③C P，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④D P，P D，D是P的必要不充分条件．10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分） 11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=A A B但不能得出A B，∴①不正确；②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件
．14．必要不充分．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数
．15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除， q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.17．（12分）给定两个命题,
P：对任意实数都有 恒成立；Q：关于 X的方程 有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．17．解：对任意实数都有 恒成
立 ；关于X的方
程 有实数根 ；如
果P正确，且Q不准确有 如果Q正确，且P不正确有 所以实数的取值范围为
．18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．（14分）设0
19．（14分）设020．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．20．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
∴方程有实数根(1)
（2）
由①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－ <2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
课件37张PPT。常用逻辑用语 1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题.其中 的语句叫真命题,
的语句叫假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题判断真假 判断为真 判断为假 考点分析
(2) 四种命题间的逆否关系逆命题 否命题 逆否命题 (3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假
性 .
3.命题 p∧q , p∨q ,?p的真假判断相同 没有关系真真真真真真假假假假假假 4.含有一个量词的命题的否定
?
5.充分条件与必要条件
(1)如果p? q,则p是q的 ,q是p ;
(2)如果p? q,q ?p,则p是q的 .
6.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否
定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论.充要条件 充分条件 必要条件 考点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“ p”形式的命题的真假.
(1) p:3是9的约数，q:3是18的约数;
(2) p:菱形的对角线相等，q :菱形的对角线互相垂直;
(3) p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同, q : 方程x2+x-
1=0的两实根绝对值相等;
(4) p:π是有理数,q:π是无理数.题型分析 【分析】由含逻辑联结词 “或” “且” “非” 的命
题的形式及其真值表直接判断.【解析】 (1) ∵p是真命题,q是真命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是真命题, p是假命题.
(2) ∵p是假命题,q是真命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是假命题, p是真命题.
(3) ∵p是假命题,q是假命题,
∴p∨q是假命题,p∧q是假命题, p是真命题.
(4) ∵p是假命题,q是真命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是假命题, p是真命题. 【评析】判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结构形式；③由真值表判断真假.分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“ p”形式的命题的真假.
(1) p:4∈{2,3},q:2∈{2,3};
(2) p:1是奇数,q:1 是质数;
(3) p:0∈?,q:{x|x2-3x-5<0}?R;
(4) p:5≤5,q:27不是质数.＊对应演练＊(1) ∵p是假命题,q是真命题,
∴p∨q为真命题 , p∧q为假命题, p为真命题.
(2) ∵1是奇数，∴p是真命题，
又∵1不是质数，∴q是假命题，
因此p∨q为真命题，p∧q为假命题, p为假命题.
(3) ∵0?? ,∴p为假命题,
又∵x2-3x-5<0?
∴{x|x2-3x-5<0}
= 成立.∴q为真命题.
∴p∨q为真命题, p∧q为假命题, p为真命题.(4)显然p:5≤5为真命题,q: 27不是质数为真命题,
∴p∨q为真命题,p∧q为真命题, p为假命题.考点二 判断命题的“否定”的真假 写出下列命题的否定，并判断其真假.
p:?x∈R,
q:所有的正方形都是矩形;
(3) r:?x∈R，x2+2x+2≤0;
(4)s:至少有一个实数x，使x3+1=0. 【分析】在全称命题和特称命题的否定中，应明确全称量词与存在量词是如何对应转换的， 全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题. 【解析】 (1) p:?x∈R, x2-x+ ＜0.(假）
这是由于?x∈R, x2-x+ =(x- )2≥0恒成立.
(2) q:至少存在一个正方形不是矩形.(假)
(3) r: x∈R,x2+2x+2＞0.(真)
(4) s: x∈R,x3+1≠0.（假） 【评析】命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题 p 的否定是否定命题所作的判断， 而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.＊对应演练＊写出下列命题的否定，并判定真假.
(1) 所有的矩形都是平行四边形;
(2) 有些实数的绝对值是正数.(1) 至少存在一个矩形不是平行四边形(假).
(2) 所有实数的绝对值都是正数(假).考点三 四种命题及真假的判断 把下列命题改写成“若p ，则 q”的形式 ，并写出它们
的 逆命题、否命题、逆否命题.
(1)正三角形的三内角相等;
(2)全等三角形的面积相等;
(3)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d. 【分析】 先找出原命题的条件p和结论q , 然后根
据四种命题之间的关系直接写出. (2)原命题:若两个三角形全等 , 则它们的面积相等.
逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相等).
逆否命题:若两个三角形面积不相等, 则这两个三角形不全等. (3)原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提， “a与b, c与d都相等”是条件p,“a+c=b+d”是结论q,所以
逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d ， 则a 与b,c与d都相等.
否命题:已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不都相等,则a+c≠b+d.
逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b, c与d不都相等. 【评析】已知原命题,写出它的其他三种命题,首先把原命题改写成“若p,则q”的形式,然后找出其条件p和结论q,再根据四种命题的定义写出其他命题.
逆命题:“若q，则p”；否命题：“若 p,则 q”;
逆否命题：“若 q，则 p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动.把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断其真假.
（1）当x=2时，x2-3x+2=0;
（2）对顶角相等.＊对应演练＊返回目录 （1）原命题:若x=2，则x2-3x+2=0.为真命题.
逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2.为假命题.
否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.为假命题.
逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.为真命题.
（2）原命题:若两个角是对顶角,则它们相等.为真命题.
逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角.为假命题.
否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等.为假命题.
逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角.为真命题.考点四 充要条件的判断 给出下列命题：
①p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0;
②p:两个三角形相似；q:两个三角形全等;
③p:m<-2;q:方程x2-x-m=0无实根;
④p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等.
试分别指出p是q的什么条件. 【分析】 (1)首先分清条件和结论.(2)再看条件
能否推出结论,结论能否推出条件.【解析】①∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0，
而(x-2)(x-3)=0?/ x-2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
②∵两个三角形相似?/ 两个三角形全等,
但两个三角形全等? 两个三角形相似,
∴p是q的必要不充分条件.
③∵m<-2?方程x2-x-m=0无实根,
方程x2-x-m=0无实根?/ m<-2,
∴p是q的充分不必要条件.
④∵矩形的对角线相等,∴p q,
而对角线相等的四边形不一定是矩形,
∴q / p,∴p是q的充分不必要条件. 【评析】 (1)判断p 是q 的什么条件 , 关键是看p能否推出q,q能否推出p.
(2)若“p? q” 是否成立，不能判断或不好处理 ，则可看它的逆否命题是否成立.
(3)否定一个结论时,只需举一个反例即可.＊对应演练＊指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
(1)在△ABC中, p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;
(2)对于实数x,y, p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A,B中, p:x∈A∪B,q:x∈B;
(4)已知x,y∈R, p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.(2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q? p, 但
p / q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,
所以p? q但q / p,故p是q的充分不必要条件.(1)在△ABC中,∠A=∠B sinA=sinB,反之,若sinA=
sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.考点五 充要条件的证明已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【分析】 此类问题需证明两个命题,即充分性与必要性,故应分清谁是条件,谁是结论,然后再分别证明. 【证明】 (必要性)
∵a+b=1,∴a+b-1=0,∴a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性)
∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,∴a≠0且b≠0,
∴a2-ab+b2=(a- )2+ >0,
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab- a2
-b2=0. 【评析】有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性，由“结论”?“条件”是证明命题的必要性. 证明要分两个环节:一是充分性;二是必要性.＊对应演练＊证明一元二次方程ax2 + bx +c=0有一正根和一负根的充
要条件是ac<0. 证明:充分性:若ac<0,则b2-4ac>0,且ca<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根, 且两根异号, 即方程有一正根和一负根.
必要性:若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,则Δ=b2-4ac>0,x1x2=ca<0,∴ac<0.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.考点六 利用复合命题的真假求参数的值或范围 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q : 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根 .若 p或q为真，p 且 q为假，
求m的取值范围.【分析】（1）“p∧q”为假，包括“p真q假”“p假q真”
“p假q假”；
（2）“p∨q”为假，则“p假q假”；
（3）“ p”为假，则“p真”.【解析】若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则
Δ=m2- 4>0
m>0，
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，
则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1因为p或q为真，所以p,q至少有一个为真.
又p且q为假，所以p,q至少有一个为假.
因此，p,q两命题应一真一假，
即p为真，q为假或p为假,q为真.
m>2 m≤2
m≤1或m≥3 12，即p:m>2. 或 所以 【评析】 （1）由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假.假若p且q真，则p 真，q也真;若p或q真，则p,q至少有一个真；若p且q假，则p,q至少有一个假.
（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算;把“p且q”为真命题转化为交集的运算.由 ,得 ≤0,即 ≤0,得0≤m< 3 ,
∴p:? m∈R,0≤m<3.
由关于x的不等式x2-4x+m2≤0的解集是空集得Δ=16-4m2<0, ∴m>2或m<-2,∴q:?m∈R,m>2或m<-2,＊对应演练＊(2011年唐山一模)设p: ;q:关于x的不等式x2-4x+m2≤0 的解集是空集，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围.∵p∨q为真,p∧q为假,
∴p,q有且只有一个为真.
①若p真q假,则0≤m<3且-2≤m≤2,
∴0≤m≤2.
②若p假q真,则m<0或m≥3,同时m<-2或m>2,
∴m<-2或m≥3.
∴m的取值范围是(-∞,-2)∪［0,2］∪［3,+∞).
1.命题的否定与否命题是完全不同的概念
(1) 任何命题均有否定 ，无论是真命题还是假命题 ；而否命题仅针对命题“若p，则q”提出来的.
(2)命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假 ；而否命题与原命题可能是同真同 假，也可能是一真一假.
2.一个命题的原命题与其逆否命题同真假;原命题的逆命题与否命题互为逆否关系，也同真假.有时一个命题的真假不易被判断时， 可以通过判断它的逆否命题的真假，从而得知原命题的真假.高考专家助教 3.“p∨q”为真，当且仅当p和q中至少一个为真（一真为真）；“p∧q”为假，当且仅当p和q中至少一个为假（一假为假）；p与 p真假相反.
4.A是B的充分不必要条件是指：A?B 且 B / A；
5.A的充分不必要条件是B，是指：B?A且 A / B.这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法 ，在解题中一定要根据问题的设问方式 ，弄清它们的区别，以免出现判断错误.课件50张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1 常用逻辑用语第一章章末归纳总结第一章知 识 结 构 学 后 反 思 专 题 探 究本章主要学习了常用逻辑用语中几个重要概念：命题、全称量词，存在性量词，“且”“或”“非”及充分条件、必要条件、充要条件等．
1．对命题概念的两点认识
(1)命题是对一个结论的判断：
所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清．命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断，这个判断可能正确，也可能错误，所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题． (2)命题都由条件和结论构成：
任何命题都有条件和结论，都可以改写成“若p，则q”的形式．数学中，一些命题表面上看不具有“若p，则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式，就可以写成“若p，则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这样，命题的条件和结论就十分清楚了．
一般地，在命题中，已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
2．全称命题及其真假的判断方法
(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．
(3)要判断全称命题“?x∈M，p(x)”为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立即可；要判断全称命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．简单地说，判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”．3．存在性命题及其真假的判断方法
(1)存在性命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词有“有的”“存在”等．
(2)要判断存在性命题“?x∈M，p(x)”为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；要判断存在性命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x，使得p(x)成立．简单地说，判断存在性命题真假的步骤为“先找正例后证明”．4．从交集、串联电路看“且”命题
(1)对于逻辑联结词“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，即A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}，二者含义是一致的，都表示“既……，又……”的意思．
(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断，可以联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图示)．
5．从并集、并联电路看“或”命题
(1)对于逻辑联结词“或”的理解，可联系集合中“并集”的概念，即A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}，二者含义是一致的，如果p：集合A；q：集合B；则p∨q：集合A∪B.“或”包含三个方面：
x∈A且x?B，x?A且x∈B，x∈A∩B.(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断，可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图示)．
6．关于命题p的否定綈p的理解
对命题p进行全盘否定得到綈p，故p与綈p一真一假．对于形如“若p，则q”的命题，其否定为“若p，则綈q”．7．对全称命题的否定以及特点的两点说明
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称命题的否定的等价形式就是存在性命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．
(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
8．对存在性命题的否定以及特点的两点说明
(1)由于全称命题的否定是存在性命题，而命题p与綈p互为否定，所以存在性命题的否定就是全称命题．
(2)全称命题与存在性命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假．9．对充分条件的理解
(1)“p是q的充分条件”的等价说法有：
①“若p，则q”为真；
②p?q；
③q是p的必要条件．
(2)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立．例如x＝6?x2＝36，但是当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．
10．对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题“若p，则q”的条件p是结论q的充分条件，同时，结论q是条件p的必要条件，所以“p是q的必要条件”的等价说法：①“若q，则p”为真；②q?p；③q是p的充分条件．(2)借助于电路图理解必要条件：
如图，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件．11．对四种命题间结构关系的认识
“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相互关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种且唯一．
12．对四种命题间真假关系的认识
(1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有必然关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假．
(2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一．
13．互为逆否命题等价性的应用
由于原命题“若p，则q”与其逆否命题“若綈q，则綈p”的真假性相同，故其具有相同的真假性．有关綈p与綈q的推出关系常常转化为p与q的推出关系解决．[例1] 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
[思路分析] 因p或q为真，p且q为假，故p、q一真一假，先求出p、q均为真的a的范围再讨论即可． 复合命题及其真假的判断
[方法总结] 在由复合命题求变量范围时，特别是涉及两个命题一真一假时，常运用分类讨论的数学思想进行求解．充要条件的判断
[方法总结] 判断p是q的什么条件时，充分性与必要性都得判定，同时要注意充分条件、必要条件与集合的关系．例如：若A?B，则A是B成立的充分不必要条件，B是A成立的必要不充分条件．1.转化与化归思想
转化与化归的思想在本章的应用主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化、充分必要条件与集合之间关系的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．思想方法 [例3] 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
[思路分析] 本题主要考查充分、必要条件及等价转化思想，解题时注意借助数轴求解a的取值范围．
[解析] 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q?綈p，且綈p?/ 綈q，
则{x|綈q}?{x|綈p}．
[方法总结] 通过等价转化，把充分、必要条件的参数范围问题转化为集合的运算问题．
2．分类讨论思想
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考的数学思想．分类讨论的关键是逻辑划分标准要恰当准确．从而对问题分类依次求解(或证明)，然后综合推出问题的结论．分类讨论思想在简易逻辑中主要体现在“或”、“且”、“非”所组成命题的真假及用充分必要性求参数范围问题上．∵綈p是綈q的充分条件，
∴q是p的充分条件．
设q对应集合A，p对应集合B，则A?B，
当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，则1综上，符合条件的a的取值范围是[1,3)．3．数形结合的思想
数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．对于集合的推理一般借助于Venn图，从而使问题得到简化．
[例5] 设集合A，B是全集U的两个子集，则A?B是(?UA)∪B＝U的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题用推理的方法求解较繁琐，我们可以借助于Venn图，利用图形来解决．利用Venn图，当A?B时，如图1所示，则(?UA)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U也成立，即(?UA)∪B＝U成立时，可有A?B，故选A. [答案] A
[方法总结] 本题主要考查集合的运算和充要条件的判定，借助Venn图，利用数形结合的思想可更直观地解题．对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，要调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样往往能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．具体的解题方法我们常常应用反证法和“补集”思想．正难则反的方法在本章的应用
1．补集思想的应用
[例6] 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}．若命题A∩B＝?为假命题，求实数m的取值范围．
最后再利用“补集”求解．[思路分析] 命题A∩B＝?为假命题，则有A∩B≠?.说明集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且①的根有：
(1)两负根；
(2)一负根一零根；
(3)一负根一正根等三种情况，分别求解十分繁琐，这里我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求方程①两根均为非负时的m的取值范围
2．反证法
[例7] 证明一个三角形中不可能有两个直角．
[思路分析] 命题是证明存在性问题，故可考虑运用反证法，考虑运用内角和定理证明．[解析] 假设一个三角形中有两个直角，
不妨设∠A＝90°，∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠C，
又三角形内角和为180°，∴∠C＝0°与已知条件矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
[方法总结] 当要证明的结论是以否定形式出现或命题的结论中含有“至少”“至多”等词语时，以及证明唯一性的结论时常考虑运用反证法．在运用时，有时反面不唯一，一定注意不能遗漏．