课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 选修2-1 空间向量与立体几何第三章章末归纳总结第三章1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2．a·b＝0?a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面位置关系的关键．
5．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b?a·b＝0．
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线方向向量与平面法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
(2)求线面角
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ．即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝| cosφ|．
(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是：
①求出该平面的一个法向量；
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．1．空间向量有关概念的辨析题．空间向量中的所有概念都是严密、精炼、准确的，在做辨析题时往往改变、缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况，所以对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．
2．利用向量求空间角时，要注意弄清向量夹角与所求角的关系． [答案] D[答案] B[答案] 4
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为__________．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB?AD?AA1＝1?2?4．
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，一、利用空间向量解决平行与垂直问题
空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系，使用向量将几何证明与计算转化为纯代数运算，使问题得以简化． [例1] 如下图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．
(1)求证：直线EF∥AC1；
(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体．
(3)求二面角
设n1，n2分别是平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)．
[例2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
[解析] (1)设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连接CD．
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC．所以PO⊥CD．
由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB．
设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
三、利用空间向量求空间距离
(1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解．
(2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．[例4] 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1BD；
(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；
(3)求点C到平面A1BD的距离．
[分析] ∵△ABC为正三角形，且平面ABC⊥平面BCC1B1，故可取BC中点O，以O为原点建立恰当的坐标系，借助向量来解决．[解析] (1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO．
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．[例5] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．课件16张PPT。空间向量与立体几何选修2-1——第3章KONG JIAN XIANG LIANG YU LI TI JI HE一、本章地位与作用（1）本专题是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续；
（2）空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)；
（3）进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。二、本章主要内容与结构? 内容 ? 空间向量及其运算
空间向量及其线性运算 / 共面向量定理；
空间向量基本定理 / 空间向量的坐标表示；
空间向量的数量积。
? 空间向量的应用
直线的方向向量与平面的法向量；
空间线面关系的判定 / 空间角的计算。? 结构 三、本章展开方式 立体几何初步——横向：空间线线关系、线面关系、面面关系；
空间向量与立体几何——纵向：直线的方向向量与平面的法向量、线面关系的判定、空间角的计算．
先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从位置关系的判定、空间角的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用． 四、本章教学要点（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；
（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。? 重点、难点? 思想方法重点——利用向量解决立体几何问题；
难点——法向量方向的确定。五、内容解析与教学建议? 空间向量及其运算 对比：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
教材对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受． ? 关于共面向量的定义——能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． ? 空间向量及其运算? 关于共面向量定理——如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使得p = xa + yb． 空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的．这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示．? 空间向量及其运算? 关于空间向量基本定理——如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序数组(x, y, z)，使p = xe1 + ye2 + ze3． 线索：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。
通过向量分解惟一性定理的推广，引导学生积极主动地探索．
价值：为空间向量的坐标表示做准备．
注意：“惟一性”的证明要用反证法(了解)．? 空间向量及其运算? 关于空间向量的数量积——1．由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同。
2．要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉。
3．空间向量数量积的几何意义只要求学生了解。
4．空间向量数量积运算律的证明不作要求。 ? 空间向量的应用? 直线的方向向量与平面的法向量 如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？ 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与垂直关系．
平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关系．? 空间向量的应用? 空间线面关系的判定 用向量语言（符号语言）描述空间线面关系：其中e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别为平面?1，?2的法向量。? 空间向量的应用? 空间线面关系的判定 三垂线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理。? 空间向量的应用? 空间角的计算1．线线角 设e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2 所成的角为?，则 。2．线面角 设e为直线l的方向向量，n为平面?的法向量，l与平面?所成的角为?，则? 空间向量的应用? 空间角的计算3．二面角 设n1，n2分别为平面?1，?2的法向量，平面?1，?2 所成的二面角为?，则注意：二面角也可以通过线线角来计算（根据二面角的定义）。? 空间距离的计算距离计算谢谢！课件39张PPT。章末归纳总结1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2．a·b＝0?a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．4．直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
(1)线线平行
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线平行，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b?a·b＝0.(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线方向向量与平面法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．6．运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角(2)求线面角
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝| cosφ|.(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7．运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是：
①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．
一、空间向量的概念与计算
空间向量有关概念的辨析题、空间向量中的所有概念都是严密、精练、准确的，在做辨析题时往往改变、缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况，所以对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．②若a·b<0，〈a，b〉是钝角；
③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；
④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．
其中错误命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D二、空间向量的线性运算
向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理．[答案] D三、利用空间向量解决平行与垂直问题
利用向量可以解决空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系使用向量会变得很简捷，将几何证明与计算转化为纯代数运算，也使问题得以简化．[例4] 如下图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2E1B，BF＝2FA1.
(1)求证：直线EF∥AC1；
(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体．化简，得a2＝b2＝c2，∴a＝b＝c.
所以该长方体为正方体．四、利用空间向量求角度与距离问题
利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点．解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有空间距离问题用向量求时，有着相同的表现形式．应加强理解与掌握，求角时，要弄清向量夹角与所求角的关系．
[例5] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．[解析] 建立如图所示的空间
直角坐标系，设正方体棱长为2，
∵E、F是AA1、AB的中点，
∴E(2,0,1)，F(2,1,0)．[例6] 如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．
(1)求证MN⊥CD；
(2)求二面角M－BN－C的大小．[例7] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系．
(1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，
B1(2,3,2)，E(1,3,0)课件26张PPT。课件33张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 空间向量的概念及运算
1．空间向量的线性运算包括：加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．专题二 空间向量与空间位置关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
专题三 空间向量与空间角
利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解．
(1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|.
(3)二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，根据情况确定．
【答案】 A (2011·高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A-BF-C的大小．
专题四 利用空间向量解决存在性问题
存在性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性． (2012·高考福建卷节选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
专题五 数学思想
转化与化归思想既是一种数学思想，又是一种数学方法．
在立体几何中，体现转化与化归思想的问题有：
(1)把立体几何问题转化为向量问题，通过空间向量的运算求出立体几何的问题；
(2)立体几何问题之间的转化，例如①空间图形问题转化为平面几何问题；②线面角、二面角转化为平面角；③空间各种距离之间的相互转化等都体现了转化与化归的思想． 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1BD；
(2)求二面角A－A1D－B的余弦值．
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