陕西省汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考数学（理）试题（含答案）

汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考
理科数学试题
注意事项：
1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页.
2、答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
3、第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知非零向量，，，则“”是“”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.在递增的等差数列中，首项为，若，，依次成等比数列，则的公差为（ ）
A. B. C. D.
5.下列函数中，最小值为的是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A. B. C. D.
8.若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
9.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.复数，则的虚部为________.
14.三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的体积为________.
15.若为数列的前项和，且，则下列结论正确的是________.（填序号）
①；②；③数列是等比数列；④数列是等比数列.
16.已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
三、解答题：本题共6小题，共70分.
（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分
17.的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，求.
18.如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
（2）若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
20.已知椭圆的标准方程为，椭圆过点且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.
21.已知函数，.
（1）求函数的极值：
（2）若，求函数的最小值；
（3）若有两个零点，，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的直角坐标方程为，以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于两点、，点，求的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知、均为正数，设；
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若的最大值为，求的最小值.
汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考
理科数学参考答案
一、选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C B C B A A C D B D B
二、填空题答案
13. 14. 15.①③ 16.
三、解答题
17.（1）因为，
由正弦定理得：，即，
又由余弦定理，
又因为，所以.
由及正弦定理得：（*），
又因为在中，，所以，
所以“*”式为，
即，又由（1），
所以有，整理得，
所以或，解得或，
又因为，所以，所以
18.（1）取中点，连接，
因为是正三角形，所以，
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）法一：设点到平面的距离为为.
由（1）平面，
所以点与点到平面的距离相等，
所以三棱锥和三棱锥的体积相等，
所以，
连接交线段与点，
因为四边形为菱形，，，
所以，
由（1）平面，由题是等边三角形，边长为2，易知，
所以.
由题，在中，，，所以，
连接，易知，所以在中，，
在中：，，，
由余弦定理可得，所以，
所以，
又因为，所以.
即点到平面的距离为.
法二：
法二：取中点，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，得，取，则，
则到平面的距离，所以到平面的距离为
19.（1）因为，所以
产品质量指标超过130的频率为
所以这批产品的优质率为25%
（2）因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.
所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有3件.
设从这7件中任取2件，设有一件质量指标在的事件为A.
，
所以至少一件质量指标在的概率为.
（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率.
所以每件产品为优质产品的概率为.4件产品中优质产品的件数.
，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
20.（1）解：因为椭圆过点，所以.
因为，所以.椭圆的标准方程为.
（2）由可知平分，直线，的斜率，互为相反数，即，
设，，，
由得，，
由韦达定理可得：，，
而，则，
即，
于是
，
化简得：，
且又因为在椭圆上，即，
即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，
即，
所以为定值，且.
21.解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，，可得函数在上单调递增，在上单调递减
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值
（2）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以
（同构构造函数化解等式）不妨设，
则由（2）知，.
设，由，得，
即，
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，又，
所以在上单调递减，所以，即
22.解：（1）因，，
所以化为极坐标方程为
即：
所以化为直角坐标方程为，即
（2）设，
则，，，
又因为
所以的面积为.
23.解：（1），即，
所以，或
解得或或
所以解集为
（2）因为的最大值为3，所以
因为，
当且仅当(时取等号，所以，
由柯西不等式得，所以
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为