北京市顺义区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

北京市顺义区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
2023.11
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）
1.若直线与垂直，则（ ）
A.-2 B.2 C. D.
2.椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知抛物线上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
6.已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A. B.
C. 与斜交 D.
7.已知点的坐标为，圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）
A. B.
C. D.
9.设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A.对于任意的点，均有
B.存在点，使得平面
C.存在点，使得与所成角是60°
D.不存在点，使得与平面的所成角是30°
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11.直线的倾斜角为________.
12.平面直角坐标系中，已知直线过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为________.
13.已知抛物线：的焦点为F，准线为，则F到的距离是_________；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作垂直于于点N，则的面积为__________.
14.已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为________.
15.关于曲线：，：
①曲线关于x轴、y轴和原点对称；
②当时，两曲线共有四个交点；
③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积；
④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为.
（I）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若与圆相切，求m的值；
（III）若直线被圆截得的弦长，求的值
17.（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
（I）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（Ⅱ）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.
18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，点是的中点.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分16分）
如图，直三棱柱中，，，，M为棱的中点，点N是上靠近C的三等分点
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）棱上是否存在点，使得点在平面内 若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分15分）
已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）求证：为定值.
21.（本小题满分13分）
对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（I）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（Ⅱ）设，，求证：；
（Ⅲ）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
北京市顺义区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：
1.A；2.C；3.D；4.D；5.C；6.C；7.B；8.B；9.A；10.D.
二、填空题：
11.0（或0°）；12. ；13.4（3分）；（2分）14. ；15.①②④（2，4，5给分）
三、解答题
16.（本题13分）解：（I）由题意知，
所以圆的方程为.
（Ⅱ）圆心到直线的距离
解得或
（Ⅲ）设圆心到直线的距离为，有
因为，所以
即有，解得或.
17.（本题14分）解：（I）由题设方程为，
将代入，解得
所以抛物线的标准方程为.
焦点坐标为（1，0）.
（Ⅱ）因为直线，过点，所以直线的方程为，
法一：，
消得
设，，则，.
（或）
所以.
18.（本题14分）解：（I）证明：因为为正方形，所以，
因为平面，平面
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，所以，
又因为底面是正方形，所以，
如图，以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，
所以，
所以线线所成角的余弦值为.
（Ⅲ）平面的法向量为
，设直线与平面所成角为，
则.
19.（本小题满分16分）
解：（I）证明：连接，，
由于，，所以
在直三棱柱中，
平面，所以，
又，所以平面.
（Ⅱ）如图，
取中点，由于平面，，因此平面，
又因为，所以，故，，两两垂直，
以M为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，
设平面的法向量为，
，即，取，则
平面的法向量为
设所求二面角为，则
（Ⅲ）设，
则，
因为平面的法向量，
若点在平面内，则垂直于，
所以，解得，
所以棱上是否存在点，使得点在平面内，此时.
20.（本小题满分15分）
（I）解：依题意，所以 .
因为，所以.
所以.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：椭圆得右焦点.
由已知可知，直线的斜率存在，设直线：，
联立方程组，消得，成立.
设，，则，
，
所以，所以.
（Ⅲ）证明：由上问可知 ，，.
分子化为 .
所以
综上所述，为定值2.
21.（本小题满分13分）
解：（I）① ，；
②，，此时
（Ⅱ）
因为 ，，
所以，
所以 .
（Ⅲ）.