2023 学年第一学期杭州 S9联盟期中联考
高二年级数学学科 参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。
DCBB ABBA
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.AC 10. ABC 11.BC 12.BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 5 14. 6
4
1 231
15. 16.
12 64
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）
1 3 1
解析：（1）由斜率公式可得直线 AB的斜率 kAB ，---------3 分 4 2 3
3
AC 3 直线 的斜率 kAC 3， ---------3 分2 0
1
故直线 AB的斜率为 ，直线 AC的斜率为3 .
3
（2）当 D由 B运动到 C时，直线 AD的倾斜角增大且为锐角，
直线 AD的斜率由 kAB增大到 kAC，图略
1
所以直线 AD的斜率的变化范围是 ,3 3
---------4 分
18.（本题满分 12分）
2
解析：（1）因为M是棱 BC的中点，点 N满足ON 2NM，点 P满足 AP AN．3
2 2 1 2 1 OP OA AP OA AN 2 2
所以 OA ( ON OA) OA ON OA OM3 3 3 3 3 3 3
1 OA 4 1
1 2
(OB OC) OA OB 2 OC
3 9 2 3 9 9 ． ---------6 分
（2）因为四面体OABC是正四面体，则 |OA | |OB | |OC | 1，
OA OB OB OC OA OC 1 1 1 1
2 2，
22 1 OP OA 2 2 OB OC
3 9 9
1 2 4 2 4 2 1 2
OA OB OC 2 OA OB 2 2 2OB 1 2 OC 2 OA OC
9 81 81 3 9 9 9 3 9
1
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
1 4 4 2 4 2 33，
9 81 81 27 81 27 81
|OP | 33所以 ． ---------6分
9
19（本题满分 12分）
解析：（1）选择①与直线 x 2y 5 0垂直，
1
则直线 l的斜率 k 1，解得 k 2，又其过点 P(1, 1)，
2
则直线 l的方程为： y 1 2 x 1 ，整理得： 2x y 1 0；
选择②过点 (2, 3)，又直线 l过点 P(1, 1)
k 3 1则直线 l的斜率 2，
2 1
则直线 l的方程为： y 1 2 x 1 ，整理得： 2x y 1 0；
选择③与直线 2x y 2 0平行，
则直线 l的斜率 k 2，又其过点 P(1, 1)，
则直线 l的方程为： y 1 2 x 1 ，整理得： 2x y 1 0；
综上所述，不论选择哪个条件，直线 l的方程均为： 2x y 1 0 . ---------4 分
（2）根据（1）中所求，可得直线 l的方程为： 2x y 1 0，又M (3, 1)，
设点O关于直线 l的对称点为Q x, y ，
y x y Q 4 2则 ( 2) 1
，且 2 1 0，解得 , ； ---------2 分x 2 2 5 5
显然 |MN | |ON | MN QN QM ，图略
当且仅当Q,N ,M 三点共线时取得等号； ---------2 分
QM k 7 7又直线 的斜率 ，故其方程为： y 1 x 3 7 10，即 y x
11 11 11 11
-----------2 分
联立 2x
1 13
y 1 0 ，可得点N的坐标为 , 时，使得 |MN | |ON |最大. ---------2 分
15 15
20．（本题满分 12分）
解析：（1） ABC中， AC 3, AB 4,BC 5，所以 AB AC，
在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 AA1 AB，
2
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
又因为 AA1 AC A， AC 平面 ACC1A1， AA1 平面 ACC1A1，
所以 AB 平面 ACC1A1， A1C 平面 ACC1A1，所以 AB A1C . ---------4 分
（2）由（1）知， AA1 平面 ABC， AB 平面 ABC， AC 平面 ABC，
所以 AA1 AB, AA1 AC，又 AB AC，如图建立空间直角坐标系 A xyz，
---------1 分
3
则D , 2,02
, A1 0,0,3 ,B1 0, 4,3 ,C 3,0,0 ， A1C 3,0, 3 , A B 1 1
0,4,0
---------1 分
r
设平面 A1B1C的一个法向量为 n x, y, z ，
n A1C 3x 3z 0 x z n 则 ，解得 ，令 z 1，则 1,0,1 ， ---------3 分
n A1B1 4 y 0 y 0
CD 3 , 2,0
2
---------1 分
CD n
3
D 设 到平面 A 31B1C的距离为d ，得 d
n
2 2 .
2 4
---------2 分
21.（本题满分 12 分）
解析：(1)证明：设 AC∩BD＝O，连接 OF，如图．由于 EF∥AO，EF＝AO，所以四边
形 EFOA是平行四边形，所以 AE∥OF.由于 AE 平面 BFD，OF 平面 BFD，所以 AE∥平
面 BFD. ---------4 分
(2) 依题意，平面 EAB⊥平面 ABCD，∠BAE＝120°，以 A为原点，以 AB，AD所在
直线分别为 x，y轴，过点 A且垂直于平面 ABCD的直线为 z轴建立空间直角坐标系，
---------2 分
3
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
如图所示，设平面 EAB 的法向量为 m＝ (0，1，0) ，E (－1，0， 3) ，C (2，4，0) ，
D(0，4，0) A→F A→E E→F A→E 1 A→C → →， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝(0，2， 3) ，DC ＝(2，0，0) ，DF ＝
2
(0，－2， 3) .
设平面 FCD的一个法向量为 n＝(x，y，z) ，
n·D→C＝2x＝0，
则 故 n＝(0， 3，2) . ---------4 分
n·D→F＝－2y＋ 3z＝0，
设平面 EAB与平面 FCD的夹角为θ，
m·n
3 21
则 cos θ＝||m|·|n|| ＝ ＝ . ---------2 分
7 7
22. （本题满分 12 分）
解析：(1)因为 cos 2A＋cos 2C＝1＋cos 2B，则 1－sin 2A＋1－sin 2C＝1＋1－sin 2B，
所以 sin 2A＋sin 2C＝sin 2B，
a2 c2 b2 ABC B π则 ＋ ＝ ，所以△ 为直角三角形，所以 ＝ . ---------4分
2
→ → →
(2)A→B ·A→C |＝ AB| ·|AC| ·cos A | |＝ AB 2＝c2<1 ，所以 02 2
0 π，
而 a2＋c2＝1，所以设 c＝sin θ，a＝cos θ，θ∈ 4 ， ---------1 分
1 1 1 1 sin θ＋cos θ
所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ---------1 分
a c sin θ cos θ sin θcos θ
θ π＋
令 t＝sin θ＋cos θ＝ 2 sin 4 ，t∈(1， 2) ，
又因为 t2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
2
sin cos t －1 1 1 2t ( )所以 θ θ 1， 2＝ ，所以 ＋ ＝ ，t∈ ， ---------3 分
2 a c t2－1
2t 2
令 y＝ ＝ ( )
t2－1 t 1
，t∈ 1， 2 ，
－
t
y t 1
2
因为 ＝ － 在 t∈(1， 2) 上单调递增，所以 y＝ 1 在 t∈(1， 2) 上单调递减，t t－
t
2 1 1
所以 y> 1 ＝2 2 ，所以 ＋ 的取值范围为
(2 2，＋∞) . ---------2 分
2－ a c
2
4
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}修改反馈：（1）选择题11题，C,D选项已用公式编辑过.
立体几何20题第1小题包含了线面垂直的证明，填空题14题改成了求线面角绝密★考试结束前
2023 学年第一学期杭州 S9联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求。
1．已知集合M 1,0,1, 2 ， N x x 2 2x 3 0 ，则M N （ ）
A. 1,0,1 B. 0,1,2 C. -1 D. 1
1 i
2．已知复数 z (i为虚数单位)，则 z的虚部为( )
2 i
3 3 3 3
A． B． i C． D． i
5 5 5 5
3．已知向量a （m, 2)，b （4， 8），若a b ，则实数m 的值是( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
x21 2x 1
4．函数 y＝ 的单调递减区间为( )
2
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞， 2] D．[ 2，＋∞)
5.已知直线 l1 : ax 3y 3 0， l2 : 3x ay 1 0，则“ a 3”是“ l1 l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，并使得平面 ABC 垂直于平面 ACD，直线 AB 与 CD 所成的角( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
3 2 1
7．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，若点 P满足 AP AB AD AA1 ，则点 P到5 3 4
直线 AB的距离为( )
25 73 13 105
A. B. C. D.
144 12 12 15
8．设m R，若过定点A的动直线 x my 0和过定点B的动直线mx y m 2 0交于点 p(x, y)，
高二数学学科 试题 第 1 页(共 4 页)
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
则 PA PB 的最大值是( )
5
A. B.2 C.3 D.5
2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知 A(－1，－2)，B(2,4)两点到直线 l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数 a的值可能为( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
10．某校进行了一次创新作文大赛，共有 100 名同学
参赛，经过评判，这 100 名参赛者的得分都在
[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图
所示，则下列结论正确的是( )
A.得分在[40，60)之间的共有 40 人
B.从这 100 名参赛者中随机选取 1 人，其得分在[60，80)之间的概率为 0.5
C.估计得分的众数为 55
D.这 100 名参赛者得分的中位数为 65
11.已知 a>b>0，且 ab＝1，则下列式子中正确的有( )
A. loga logb 0 12 2 B log
a b a b 2
． 2 log2 0 C. 2 2 4 D．b 0a
12．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别为 B1C1，A1D1，CD的中点，O，P分别为
BE，CC1上的动点，作平面α∥BE截正方体的截面为β，则下列说法中正确的是( )
A．β不可能是六边形
B．存在点 P，使得 BE⊥FP
C．当α经过点 F，P时，点 D到平面α 2 6的距离的最大值为
3
D 6 5．OP＋PG的最小值为
5
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为 u＝(－2,0,5)，v＝(t，3,2)，则 t值是________．
14. 在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面为棱长为 1的正三角形，侧棱 AA1 底面 ABC，点D在棱 BB1上，
且 BD 1，则 AD与平面 AA1C1C所成的角的正弦值为 .
15. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合 A 0，1，2，3，4，5 内取值的点中任取一个点，此
点正好在直线 y 2x上的概率为 ．
高二数学学科 试题 第 2 页(共 4 页)
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
16．设函数 f x 的定义域为R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f x ax3 bx．若 f 0 f 3 6 2023 ，则f ．
4
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）
已知 A 2,3 ,B 4,1 ,C 0, 3 ．
(1)求直线 AB和 AC的斜率；
(2)若点 D在线段 BC（包括端点）上移动时，求直线 AD的斜率的变化范围．
18.（本题满分 12 分）
如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为 1，M是棱 BC的中点，点 N满足
2
ON 2NM ，点 P满足 AP AN．3
(1)用向量OA,OB,OC 表示OP；
(2)求 |OP |．
19．（本题满分 12 分）
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 x 2y 5 0垂直；②过点 (2, 3)；③与直线 2x y 2 0 平行．
问题：已知直线 l过点 P(1, 1)，且__________．
(1)求直线 l的一般式方程；
(2)已知M (3, 1)，O为坐标原点，在直线 l上求点 N坐标，使得 |MN | |ON |最大．
高二数学学科 试题 第 3 页(共 4 页)
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
20．（本题满分 12 分）
如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 AC 3, AB 4,BC 5，点D是线段 BC的中点，
(1)求证： AB A1C
(2)求D点到平面 A1B1C的距离；
21．（本题满分 12 分）
如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是一个矩形，EF∥AC，AC＝2EF，AB＝AE＝2，
AD＝4，∠BAE＝120°.
(1)求证：AE∥平面 BFD.
(2)若平面 EAB⊥平面 ABCD，求平面 EAB与平面 FCD的夹角的余弦值．
22．（本题满分 12 分）
在△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，cos 2A＋cos 2C＝1＋cos 2B且 b＝1，
(1)求角 B的大小；
(2) A→B ·A→C <1 1 1若 ，求 ＋ 的取值范围．
2 a c
高二数学学科 试题 第 4 页(共 4 页)
{#{QQABRQKAogigABIAABhCUwHiCEIQkACACKoOwEAAoAAAwAFABCA=}#}
