中国古代数学瑰宝(浙江省温州市)

课件45张PPT。第三讲 中国古代数学瑰宝引言:中华文明源远流长,发展进程波澜壮阔.在世界的古老文明中,古埃及、古巴比伦文化早已湮灭在历史的长河之中；古印度文明屡受摧残而损失殆尽，希腊与罗马也早已失去了往日的荣耀与辉煌，惟有中华文明薪火相传，五千多年虽有起伏跌宕，但却连绵不断，从未中断。
中国古代为世界数学做出了杰出的贡献！最早创立了十进位值制、负数、代数学。汉代帛画-伏羲女娲伏羲执矩
女娲执规我国古代从丰富的实践经验中发现问题，创造了有中国特色的几何学，既有实际成果又有系统理论。先秦著作--《墨子》中心对称：“中，同长也。”
圆：“圜，一中同长也。”
端点：“端，体之无厚而最前者也。”墨子：前468年-前376年
生活在毕达哥拉斯与孔子后，欧几里德与阿基米德之前。《庄子·天下篇》飞鸟之影未尝动也
镞矢之疾而有不行不止之时
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
蕴涵了朴素的极限思想流传最早的一部数学著作：《周髀》是一部主张盖天说的天文著作
大约成书于公元1世纪
唐朝数学家李淳风在选定数学课本时，认为它是最可贵的遗产，将它作为《算经十书》的第一种，并将其称为“周髀算经”。唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，唐高宗显庆元年（656），规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部汉、唐一千多年间的十部著名数学著作作为国家最高学府的算学教科书，用以进行数学教育和考试，后世通称为《算经十书》． 唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》
包括《周髀算经》、《九章算术》
《海岛算经》、《孙子算经》
《张丘建算经》、《夏侯阳算经》 《缉古算经》、《五曹算经》
《五经算术》、《缀术》，
作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。 李淳风 (公元604-672年)
唐代岐州雍人(今陕西风翔)一 《周髀算经》与赵爽图《周髀算经》是中国最早的天文著作，成书不晚于公元1世纪。
与数学有关的内容是：学习数学的方法、用勾股定理测量、计算高深远、近似分数计算等。
在这部书里有相当繁难的数字计算和勾股定理的应用。勾股定理的发现在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯发现早500多年。赵爽-三国时期吴人公元3世纪时的三国时代数学家赵爽，对《周髀算经》进行了详尽的注释，不但撰写了许多精辟的注释文字，还绘画了一些图形，《周髀算经注》中最可贵的是保存在《周髀算经注》之内的「勾股圆方图注」，《周髀算经》讨论勾股问题时，虽然也论及勾股定理的一般形式，但未曾给出严格证明，赵爽重新论述了勾股定理，专门写了一篇「勾股圆方图注」，并附了一幅「弦图」，对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
他对「勾股圆方图注」下注称:：「勾股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。」，「按弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实，加差实一亦成弦实。」赵爽-三国时期吴人 ?
图7-18 赵爽对勾股定理的证明2002.8 国际数学家大会会徽勾股定理——人类最伟大的十个科学发现之一勾股定理——人类最伟大的十个科学发现之一人类十大科学发现
勾股定理、微生物的存在、三大运动定律、物质结构、血液循环、电流、物种进化、基因、热力学四大定律、光的波粒二相性。 出入相补法刘徽用了“出入相补法”即剪内贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来（出），移到以弦为边的正方形的空白区域內（入），结果刚好填满，完全用图解法就解決了问题。（如下右图为刘徽的勾股证明图）勾股定理的“总统证明”美国第20任总统伽菲尔德在1876年发表在《新英格兰教育日志》上。
你能根据这个图形结出证明吗？
其证明思路是：直角梯形的面积等于这三个直角三角形的面积之和。二、《九章算术》大约成书于公元1世纪；
是中国古代最著名的传世著作；
是中国古代最重要的数学典籍；
对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》，它是十部算书中最重要的一部。它对以后中国古代数学发展所产生的影响，正像古希腊欧几里得（约前330—前275）《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，是非常深刻的。在中国，它在一千几百年间被直接用作数学教育的教科书。它还影响到国外，朝鲜和日本也都曾拿它当作教科书。《九章算术》《九章算术》，也不知道确实的作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。《汉书·艺文志》中没有《九章算术》的书名，但是有许商、杜忠二人所著的《算术》，因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作。1984年，湖北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简，推算成书当比《九章算术》早一个半世纪以上，内容和《九章算术》极相类似，有些算题和《九章算术》算题文句也基本相同，可见两书有某些继承关系。可以说《九章算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的，虽然其中的某些算法可能早在西汉之前就已经有了。正如书名所反映的，全书共分九章，一共搜集了二百四十六个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类，每类算是一章。《九章算术》作者不详，是汉朝及以前的中国古代数学家们的集体结晶。
历经多次校正与注释，其中以魏晋时期的刘徽与唐代的李淳风最有名。
此书的贡献包含两个方面：一是著作本身蕴涵的数学意义，二是后人对该书所作的注释中所蕴涵的数学思想。正如书名所反映的，全书共分九章，一共搜集了246个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类：方田、粟米、衰（cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，每类算是一章。
这246道应用题主要是解决一些生活中常见的问题，并且在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法，书中把解法称之为“术”。
主要有算术、代数和几何三部分内容。1《九章算术》的重要成就盈不足术-中国古典数学名题1.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
术曰:置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。
答曰：七人。物价五十三。练习：2.今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
答曰：九人。鸡价七十。今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？
答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半。〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；并大鼠所穿，合四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半。并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所问也。〕两只老鼠相遇的天数：方程术-专指多元一次方程方程章的第一题是要解一个三元一次方程组，用现代的形式可表示为 2 3
3 2
1 1
25 34 39 0 0 4
0 4 0
4 0 0
11 17 37遍乘直除法正负术“方程”章的第三题给出了正、负数的不同表示法，并给出了正负数的加减法则，第一次突破了正数的范围，这在数学史上是一个无比伟大的创举。
刘徽在第三题的注中给出了正、负数的定义。
刘徽 李冶的不同负数表示法。
《九章算术》中的正负加减法则。元代 朱世杰在《算法启蒙》中明确给出了正负数相乘的法则。2。《九章算术》的深远影响《九章算术》与《几何原本》的比较《几何原本》注重演绎推理，解决几何问题，较少实用；
《九章算术》全是实用，集中了算术、代数、几何，我国当时的全部数学知识。三 大衍 求一术今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 中国南北朝时期的《孙子算经》中，第26题是一个
驰名中外的问题：《孙子算经》中不但提供了答案，而且还给出了解法。N=70×2+21×3+15×2-2×105，故N=23．N=70R1+21R2+15R3-105P，使0類似地，構作一個 3 和 7 的公倍數，使它除以 5 後餘 1，即 21。
再構作一個 3 和 5 的公倍數，使它除以 7 後餘 1，即 15。
然後按題目中餘數的大小將上述 3 個數倍大，並加起來，得 70 ? 2 + 21 ? 3 + 15 ? 2 = 233。
留意，233 其實已經滿足題目的條件了！但如果我們要求所得的答案必須是所有可能答案中數值最小的，那麼就連續減去 3、5 和 7 的最小公倍數（即 105），直至得到一個最小的整數為止。由於 233 ? 2 ? 105 = 23，因此答案是 23。N=70R1+21R2+15R3-105P，使0四 中国古代数学家1。刘徽与割圆术
2。祖冲之与祖暅1。刘徽与割圆术刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．割圆术刘徽（生于公元三世紀）三国魏晋時代人。
中国古代杰出的数学家。
魏景元四年（即 263 年）为古籍《九章算术》作注释。
在书中，他提出了一个计算圆周率的方法。我们称这方法为「割圆术」。正六边形正十二边形正二十四边形割圆术 割圆术先作一个半径为 1 单位的圆。然后作內接正六边形。由此逐步算出 2n ? 6 內接正多边形的周界。（n = 1 , 2 , 3 , …）刘徽认为：「割之弥細，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！」刘徽一直计算到 96 边形的周界，得 ? ? 3.14 的结果。刘徽的主要成就：创造了割圆术，极限思想计算圆的面积与圆周率；
建立了重差术；重视逻辑推理，同时又注重几何直观的作用。
秦汉以前，人们以“径一周三”做为圆周率，这就是“古率”．后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接192边形， 求得π=3.14，分数表示：157/50即著名的“徽率”并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确． 牟合方盖-计算球的体积的方法刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切圆柱（图7-11），它把公共部分立体称作“牟合方盖”（图7-12）。刘徽认识到，
球与这个“牟合方盖”的体积之比才是π: 4，即

这里刘徽运用了截面原理。 图7-11立方体的两个内切圆柱 图7-12 牟合方盖 刘徽试图求出合盖体积以得到球积，可是立方体之内、合盖之外的复杂立体把他给难住了，他因此功亏一篑，未能彻底解决球积问题。他说：
“欲陋形措意，敢不阙疑，以俟能言者。”祖冲之祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．? ? 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算． 祖冲之在估算圆周率成就比刘徽更上一层楼。他推算出圆周率的值介乎3.1415926和3.1415927之间，也是世界上第一位把圆周率的值计算准确至七位小数的人。此外，祖冲之还用355/113(称为密率) 代替准确度较低的22/7 (称为疏率)作为圆周率的近似分数。然而，究竟祖冲之用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数，而他又怎样找出355/113作为圆周率的近似分数呢?这些问题至今仍是数学史上的谜。 祖暅-祖冲之的儿子，子承父业。 200多年后，数学家祖暅在刘徽基础上求得了合盖之积，从而彻底解决了球积问题。
祖暅取球外切立方体的八分之一部分（边长为球半径R的小立方体）ABCD-A1B1C1D1，其中所含八分之一合盖部分A-A1B1C1D1称为内棋，其余三块称为外棋，如图7-14和7-15和7-16所示。在离底面A1B1C1D1任意高h处作平行于底面的平面，截内棋得一正方形，其面积为 ，截三外棋得二长方形一小正方形，其面积总和为 ，这恰好是底面边长和高均为R的倒立阳马在同高处的截面面积（图7-17）。 祖暅提出：
“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。” ?
图7-15 内棋（八分之一合盖） 图7-14 八分之一合盖的截面图7-16 外棋（“立方之内、合盖之外”部分） （I） （II） （III）
图7-16 外棋（“立方之内、合盖之外”部分）
图7-17 倒立的阳马这就是著名的祖暅公理。由此立得 　　 。
从而 　　　 。
于是得 。
利用（7-6）即得球体积公式清代数学家徐有壬（1800—1860）受祖暅方法的启示，独立发现了另一种推导方法：在底面半径和高均为球半径R的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，则剩余部分立体体积等于半球体积。这就是意大利卡瓦列利的方法。