(共20张PPT)
3.1.1 随机事件的概率
吴川市一中 李君
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．
为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大．
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．
1名数学家＝10个师
在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．
如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：
另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．
一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；
下面各事件的发生与否，各有什么特点？
（1）导体通电时发热；
（6）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化．
（5）抛一枚硬币，正面朝上；
（4）在常温下，钢铁熔化；
（3）抛一石块，下落；
（2）李强射击一次，中靶；
随机事件及其概率
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．
比如：“（1）导体通电时发热”，“（3）抛一石块，下落”都是必然事件．
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．
比如：“（4）在常温下，铁能熔化”，“（6）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”，都是不可能事件．
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
比如“（2）李强射击一次，不中靶”，“（5）掷一枚硬币，出现反面”都是随机事件．
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件及其概率
随机事件注意：要搞清楚什么是随机事件的条件和结果。
事件的结果是相应于“一定条件”而言的。因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
（2）概率的定义及其理解
随机事件及其概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验
序号
1 2 3 4 5 6 7
2
3
1 5 1 2 4
22
25
21
25
24
18
27
251
249
256
247
251
262
258
0.4
0.6
0.2
1.0
0.2
0.4
0.8
0.44
0.50
0.42
0.48
0.36
0.54
0.502
0.498
0.512
0.494
0.524
0.516
0.50
0.502
波动最小
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 ：
抛掷次数（ ）
正面向上次数（频数 ）
频率（ ）
2048
1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
随机事件及其概率
当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动．
随机事件及其概率
随机事件及其概率
0.951
0.954
0.94
0.97
0.92
0.9
优等品频率
1902
954
470
194
92
45
优等品数
2000
1000
500
200
100
50
抽取球数
某批乒乓球产品质量检查结果表：
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率 接近于常数0.95，在它附近摆动。
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率 接近于常数0.9，在它附近摆动。
随机事件及其概率
1. 频率的定义
).
(
,
.
,
,
,
A
f
A
n
n
A
n
A
n
n
n
A
A
成
并记
发生的频率
称为事件
比值
生的频数
发
称为事件
发生的次数
事件
次试验中
在这
次试验
进行了
在相同的条件下
2. 概率的定义
在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生
的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆
动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．
注意以下几点：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 的概率；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此
例题分析
例1 指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；
（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．
（1）若 都是实数，则 ；
（3）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；
（4）直线 过定点 ；
例2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
40
92
192
285
478
954
（1）计算表中优等品的各个频率；
（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
例题分析
知识小结
3．概率的性质：
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．
2．随机事件的概率的统计定义
在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率．(共27张PPT)
3. 2. 1 古 典 概 型
概 率 初 步
温故而知新
1、随机现象
事前不能完全确定，事后会出现各种可能结果 之一的现象。
2、随机试验(简称“试验”)
有的试验，虽然一次试验的结果不能预测，但一切可能出现的结果却是可以知道的，这样的观察称为随机试验。
3、样本空间Ω
一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合。
4、随机事件(简称“事件”)用A、B、C等表示
样本空间的任一个子集。
5、基本事件ω
样本空间的元素(随机试验每一个可能出现的结果)
概 率 初 步
考察下列现象，判断那些是随机现象，如果是随机试验，则写出试验的样本空间
1、抛一铁块，下落。
2、在摄氏20度，水结冰。
3、掷一颗均匀的骰子，其中可能出现的点数为 1， 2, 3，4，5，6.
4、连续掷两枚硬币，两枚硬币可能出现的正反面的
结果。
5、从装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球的
袋中，任取两个球，其中可能出现不同色的两个
球的结果。
分析例3、4、5的每一个基本事件发生的可能性
概 率 初 步
3、掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω＝｛1,2，3,4，5,6｝
它有6个基本事件，即有6种不同的结果，由于骰子 是均匀的，所以这6种结果的机会是均等的，于是，掷一颗均匀的骰子，它的每一种结果出现的可能性都是 .
概 率 初 步
古 典 概 型
我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
我们称这样的随机试验为古典概型。
1、古典概型
概 率 初 步
古 典 概 率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,
随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用
来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概
率，记作P(A)，即有
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
2、古典概率
注意: A即是一次随机试验的样本空间的一个 子集，而m是这个子集里面的元素个数；n即是一次随机试验的样本空间的元素个数。
概 率 初 步
古 典 概 率
显然，
(1) 随机事件A的概率满足
0≤P(A)≤1
(2)必然事件的概率是1，不可能的事件的概率是0,即
P(Ω) =1 ， P(Φ) =0.
如：
1、抛一铁块，下落。
2、在摄氏20度，水结冰。
是必然事件，其概率是1
是不可能事件，其概率是0
3、概率的性质
概 率 初 步
例 题 分 析
1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n，和事件A的元素个数m.最后利用公式即可。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是
Ω={1, 2，3, 4，5，6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
∴m=3
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取
出的两件中恰好有一件次品的概率。
分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m
公式
解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是
Ω={ }
(a,b),
(a,c),
(b,c)
∴n = 3
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则
A={ }
(a,c),
(b,c)
∴m=2
∴P(A) =2/3
概 率 初 步
例 题 分 析
3、从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每次任
取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的 两件中恰好有一件次品的概率。
解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的
样本空间是
Ω={ }
(a,a),
(a,b),
(a,c),
(b,b),
(b,c),
(c,c)
∴n=6
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则
B={ }
(a,c),
(b,c)
∴m=2
∴P(B) =2/6=1/3
概 率 初 步
练 习 巩 固
2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数
都是奇数的概率。
解：试验的样本空间是
Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}
∴n=10
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则
A={(13)，(15)，(3,5)}
∴m=3
∴P(A)=
概 率 初 步
练 习 巩 固
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是
0.25
0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是
0.25
5、做投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是
(2)事件“出现点数相等”的概率是
概 率 初 步
练 习 巩 固
6、 在掷一颗均匀骰子的实验中，则事
件Q={4，6}的概率是
7、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1
张特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100
张三等奖，其余的不得奖，则购买1张奖
券能中奖的概率
概 率 初 步
小 结 与 作 业
一、小 结：
1、古典概型
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
2、古典概率
二、作 业：
P 123 习题1, 2, 3 P127 习题 2
概 率 初 步
思 考
1、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任
取2支，恰好都取到正品的概率是
2、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中，
任取2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为
偶数”的概率是
答案：(1)
(2)
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，
求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。
解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
而每个盒子中至多放一只球, 共有
此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：
“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。
n
1-p
20 23 30 40 50 64 100
0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
经计算可得下述结果：
例4 从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，任取4个组成四位数，求：
（1）这个四位数是偶数的概率；
（2）这个四位数能被5整除的概率．
例 ４ 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只
红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考
虑两种取球方式：
放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放
回袋中， 搅匀后再取一球。
不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二
次从剩余的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率；
2）取到的两只球颜色相同的概率；
3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
无放回抽取:
例 ５ 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，
这15 名新生中有 3 名是优秀生。问：
(1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？
解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
于是所求的概率为：
三名优秀生分配在同一班级内
其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
等可能概型
Goodbye
Goodbye
Goodbye
Goodbye
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。
概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。(共22张PPT)
几何概型
引例
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少
能否用古典概型的公式来求解
事件A包含的基本事件有多少
为什么要学习几何概型
问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所
关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于
[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率
的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他
打开收音机,想听电台报时,求他等待
的时间不多于10分钟的概率.
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用
一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯
水中含有这个细菌的概率.
2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒
一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概
率.
练习:
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子
随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，
求下列事件的概率：
（1）豆子落在红色区域；
（2）豆子落在黄色区域；
（3）豆子落在绿色区域；
（4）豆子落在红色或绿色区域；
（5）豆子落在黄色或绿色区域。
4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,
那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲
离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,
问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)
的概率是多少
解:
以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标
Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标
系,假设随机试验落在方形区域内任何一
点是等可能的,所以符合几何概型的条件.
根据题意,只要点落到阴影部
分,就表示父亲在离开家前能
得到报纸,即时间A发生,所以
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.
例1 抛阶砖游戏
玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的概率有多大？
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a ,
“金币”直径为d .
a
若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.
问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.
a
A
S
a
a
A
于是成功抛中阶砖的概率
由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1.
0
若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
a
a
A
成功抛中阶砖的概率
0据此，请你自行设计不同难度的抛阶砖游戏.
若设r=d/a, 则
p=(1-r)2
1
1
0
r
p
虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
思考题
甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.
课堂小结
1.几何概型的特点.
2.几何概型的概率公式.
3.公式的运用.
作业:137页 3
古典概型:
特点:
(1)试验中所有可能出现的基本
事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性
相等.
返回(共21张PPT)
3.3 几何概型
引例
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少
能否用古典概型的公式来求解
事件A包含的基本事件有多少
为什么要学习几何概型
问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所
关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于
[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率
的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他
打开收音机,想听电台报时,求他等待
的时间不多于10分钟的概率.
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用
一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯
水中含有这个细菌的概率.
2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒
一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概
率.
练习:
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子
随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，
求下列事件的概率：
（1）豆子落在红色区域；
（2）豆子落在黄色区域；
（3）豆子落在绿色区域；
（4）豆子落在红色或绿色区域；
（5）豆子落在黄色或绿色区域。
4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,
那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲
离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,
问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)
的概率是多少
解:
以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标
Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标
系,假设随机试验落在方形区域内任何一
点是等可能的,所以符合几何概型的条件.
根据题意,只要点落到阴影部
分,就表示父亲在离开家前能
得到报纸,即时间A发生,所以
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.
例3 抛阶砖游戏
玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的概率有多大？
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a ,
“金币”直径为d .
a
若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.
问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.
a
A
S
a
a
A
于是成功抛中阶砖的概率
由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1.
0若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
思考题
甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.
课堂小结
1.几何概型的特点.
2.几何概型的概率公式.
3.公式的运用.
作业:137页 3
古典概型:
特点:
(1)试验中所有可能出现的基本
事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性
相等.
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概 率 初 步
制作：pan
时间：2004年4月21日
概 率 初 步
温故而知新
1、随机现象
事前不能完全确定，事后会出现各种可能结果之一的现象。
2、随机试验(简称“试验”)
有的试验，虽然一次试验的结果不能预测，但一切可能出现的结果却是可以知道的，这样的观察称为随机试验。
3、样本空间Ω
一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合。
4、随机事件(简称“事件”)用A、B、C等表示
样本空间的任一个子集。
5、基本事件ω
样本空间的元素(随机试验每一个可能出现的结果)
概 率 初 步
考察下列现象，判断那些是随机现象，如果是随机试验，则写出试验的样本空间
1、抛一铁块，下落。
2、在摄氏20度，水结冰。
3、掷一颗均匀的骰子，其中可能出现的点数为 1， 2, 3，4，5，6.
4、连续掷两枚硬币，两枚硬币可能出现的正反面的
结果。
5、从装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球的
袋中，任取两个球，其中可能出现不同色的两个
球的结果。
分析例3、4、5的每一个基本事件发生的可能性
概 率 初 步
3、掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω＝｛1,2，3,4，5,6｝
它有6个基本事件，即有6种不同的结果，由于骰子 是均匀的，所以这6种结果的机会是均等的，于是，掷一颗均匀的骰子，它的每一种结果出现的可能性都是 .
概 率 初 步
古 典 概 率
我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
我们称这样的随机试验为古典概型。
1、古典概型
概 率 初 步
古 典 概 率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,
随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用
来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概
率，记作P(A)，即有
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
2、古典概率
注意: A即是一次随机试验的样本空间的一个 子集，而m是这个子集里面的元素个数；n即是一次随机试验的样本空间的元素个数。
概 率 初 步
古 典 概 率
显然，
(1) 随机事件A的概率满足
0≤P(A)≤1
(2)必然事件的概率是1，不可能的事件的概率是0,即
P(Ω) =1 ， P(Φ) =0.
如：
1、抛一铁块，下落。
2、在摄氏20度，水结冰。
是必然事件，其概率是1
是不可能事件，其概率是0
3、概率的性质
概 率 初 步
例 题 分 析
1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n，和事件A的元素个数m.最后利用公式即可。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是
Ω={1, 2，3, 4，5，6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
∴m=3
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取
出的两件中恰好有一件次品的概率。
分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m
公式
解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是
Ω={ }
(a,b),
(a,c),
(b,a),
(b,c),
(c,a),
(c,b)
∴n = 6
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则
A={ }
(a,c),
(b,c),
(c,a),
(c,b)
∴m=4
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
3、从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每次任
取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出
的两件中恰好有一件次品的概率。
解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的
样本空间是
Ω={ }
(a,a),
(a,b),
(a,c),
(b,a),
(b,b),
(b,c),
(c,a),
(c,b),
(c,c)
∴n=9
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则
B={ }
(a,c),
(b,c),
(c,a),
(c,b)
∴m=4
∴P(B) =
概 率 初 步
练 习 巩 固
1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中任取2
件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
解：试验的样本空间
Ω={ab,ac,bc}
∴n = 3
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则
A={ac,bc}
∴m=2
∴P(A)=
概 率 初 步
练 习 巩 固
2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数
都是奇数的概率。
解：试验的样本空间是
Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}
∴n=10
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则
A={(13)，(15)，(3,5)}
∴m=3
∴P(A)=
概 率 初 步
练 习 巩 固
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是
0.25
0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是
0.25
5、作投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是
(2)事件“出现点数相等”的概率是
概 率 初 步
练 习 巩 固
6、 在掷一颗均匀骰子的实验中，则事
件Q={4，6}的概率是
7、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1
张特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100
张三等奖，其余的不得奖，则购买1张奖
券能中奖的概率
概 率 初 步
小 结 与 作 业
一、小 结：
1、古典概型
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
2、古典概率
二、作业：
P 123 习题1, 2, 3 P127 习题 2
概 率 初 步
思 考
1、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任
取2支，恰好都取到正品的概率是
2、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中，
任取2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为
偶数”的概率是
答案：(1)
(2)
Goodbye
Goodbye
Goodbye
Goodbye
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。
概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。(共11张PPT)
概率的意义
一、概率的正确理解
1、你能回忆随机事件发生的概率的定义吗？
2、谁能说说掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为1/2的含义？
3、有人说，中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖，这种理解对吗？
4、你能举出一些生活中与概率有关的例子吗？
5、随机事件发生的频率与概率的区别与联系是什么？
二、概率在实际问题中的应用
1、游戏的公平性
2、决策中的概率思想
3、天气预报的概率解释
4、遗传机理中的统计规律
1、游戏的公平性
（1）你有没有注意到在乒乓球、排球等体育比赛中，如何确定由哪一方先发球？你觉得对比赛双方公平吗？
（2）你能否举出一些游戏不公平的例子，并说明理由。
这样的游戏公平吗
小军和小民玩掷色子是游戏，他们约定：两颗色子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么小军获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么小民获胜。这样的游戏公平吗？
事件：掷双色子
A：朝上两个数的和是5
B：朝上两个数的和是7
关键是比较A发生的可能性和B发
生的可能性的大小。
这样的游戏公平吗
2、决策中的概率思想
思考：如果连续10次掷一枚色子，结果都是出现1点，你认为这枚色子的质地均匀吗？为什么？
3、天气预报的概率解释
思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%。你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点？
（1）明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨；
（2）明天本地下雨的机会是70%。
4、遗传机理中的统计规律
1、试验与发现
2、遗传机理中的统计规律(共14张PPT)
3.1.3 概率的基本性质
事件
的关系
和运算
概率的
几个基
本性质
3.1.3 概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
1.包含关系
2.等价关系
3.事件的并 (或和)
4.事件的交 (或积)
5.事件的互斥
6.对立事件
事件 运算
事件 关系
1、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。
A={正面朝上} ，B={反面朝上}
A，B是对立事件
A，B是互斥（事件）
2、某人对靶射击一次，观察命中环数
A =“命中偶数环” B =“命中奇数环”
C =“命中 0 数环”
A，B是互斥 事件
A，B是对立事件
3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察其中的次品数
记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件”
C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件”
试写出下列事件的基本事件组成：
A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个发生）
A∩C= “有4件次品”
B∩C =
一次抽取8件共有9种抽取结果；
第一种： 有 0 件次品（全是合格品）,
第二种： 有 1 件次品（7件合格品），
第三种： 有 2 件次品（6件合格品），
第四种： 有 3 件次品（5件合格品），
第五种： 有 4 件次品（4件合格品），
第六种： 有 5 件次品（3件合格品），
第七种： 有 6 件次品（2件合格品），
第八种： 有 7 件次品（1件合格品），
第九种： 有 8 件次品（0件合格品）。
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是：
0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0
必然事件的概率是P（A）=1
不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况
（2）、当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率
fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
由此得到概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则
P（A∪B）=P（A）+P（B）
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（3）、特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有
P（A）=1- P（B）
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
利用上述的基本性质，可以简化概率的计算
例题1 课本114页
例2、抛掷色子，事件A= “朝上一面的数是奇数”，
事件B = “朝上一面的数不超过3”，
求P（A∪B）
解法一：
因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2
所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1
解法二：
A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5
所以P（A∪B）= 4/6=2/3
请判断那种正确
已知:诸葛亮的成功概率为0.90.三个臭皮
匠的成功概率分别为:0.6,0.5,0.5.
证明:三个臭皮匠抵个诸葛亮.
练习1 课本114页 1、2、3、4