第五章 圆培优专题 圆的切线的性质及证明方法（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 圆培优专题 圆的切线的性质及证明方法（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 13:08:14 | ||
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文档简介
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培优专题
圆的切线的性质及证明方法
圆的切线的性质
1.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点C 作⊙O 的切线CM,过点 A 作 于点D，交 BC 的延长线于点E.
(1)求证:
(2)若 求 CD 的长.
2.已知 AB 是⊙O 的直径,AC,BC 是⊙O 的弦,OE 是⊙O的半径, 垂足为 H,连接 BE.
(1)如图①,若 求 和的大小.
(2)如图②,过点 B 作⊙O 的切线,与 AC 的延长线交于点 D，若 ∥求 的大小.
3.如图,AB 为⊙O 的直径,AP 为⊙O 的切线,F 是AP 上一点,过点 F 的直线与⊙O 交于C,D两点,与AB 交于点 E,连接 AD,AC,
(1)求证:
(2)若 求 BE 的长.
4.如图,在⊙O中,AB 为直径,弦CD 与AB 交于P 点,
(1)如图①,若 求 的度数.
(2)如图②,过点C 作⊙O 的切线与 BA 的延长线交于点 Q，若 求 的度数.
切线的证明方法
方法一：连半径，证垂直，得切线
5.如图,点A,B,C是半径为 2 的⊙O 上三个点,AB 为直径, 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作AC 的垂线交 AC的延长线于点E，延长ED 交AB 的延长线于点 F.
(1)判断直线 EF 与⊙O 的位置关系,并证明.
(2)若 求 的值.
6.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,且连接AC,BC,直线经过点C,在
直线上取点D，使BD 与 AC 相交于点E,连接AD,且
(1)求 的度数.
(2)求证:直线是⊙O 的切线.
方法二：作垂直，证半径，得切线
7.如图,在 中, 半径为 2 的⊙C 分别交AC,BC 于点D,E,得到 求证:AB 为⊙C 的切线.
8.如图，已知O是菱形ABCD对角线BD上的一点,以O为圆心,OD 为半径的⊙O 与AB
相切于点E,与AD,CD 分别相交于点F,G.
(1)求证:BC 与⊙O 相切.
(2)若 求⊙O 的半径.
参考答案
1.(1)证明:如图,连接OC.∵CD 是⊙O 的切线,OC 为⊙O的半径,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CM,∴OC∥AE,∴∠OCB=∠E.∵OB=OC,∴∠OCB=∠B,∴∠E=∠B,∴AB=AE. (2)解:如图,连接AC.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°.在 Rt△ACB中,AB=10,cosB ∠DCE+∠ACD=90°,∴∠E=∠ACD,∴cos∠ACD=又:
2.解:(1)∵∠BOE=128°,∴∠AOE=180°-∠BOE=52°.又∵OE⊥AC,∴∠BAC=90°-∠AOH=38°.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠BAC=52°.又 ∠ABE=26° .
(2)如图,连接OC.由(1)知∠ACB=90°,又∵OE⊥AC,∴∠ACB=∠OHA=90°,∴BC∥OE.又∵EC∥AB,∴四边形OECB 是平行四边形.由OB=OE,∴四边形OECB 是菱形,则OB=OC=BC,∴∠ABC=∵BD 切⊙O 于点 B,∴AB⊥BD,∴∠DBE=90°-∠ABE=60°.
3.(1)证明:∵AP 为⊙O的切线,∴PA⊥AB,∴∠FAE=90°.∵AC=CE,∴∠CAE=∠CEA.∵∠CAE+∠CAF=90°,∠CEA+∠CFA=90°,∴∠CAF=∠CFA,∴AC=CF.
(2)解:如图,连接CB.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.∵∠FAC+∠CAB=90°,∴∠FAC=∠ABC.∵∠CAF=∠CFA,∠D=∠ABC,∴∠D=∠CFA,∴AF=AD=4.∵AC= 在 Rt△FAE 中, 90°,∴△ACB∽△EAF,∴AC:AE=AB:EF,即
4.解:(1)如图①,连接 BC.∵∠ADC=25°,∴∠B=∠ADC=25°.∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=65°.∵∠DPB=55°,∴∠DAB=∠DPB-∠ADC=55°-25°=30°,∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC=180°-25°-30°-65°=60°.
(2)如图②,连接 BC,OC.∵∠ADC=25°,∴∠B=∠ADC=25°,∠QOC=2∠ADC=50°.∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=65°.∵CQ 是⊙O 的切线,∴∠QCO=90°,∴∠Q=40°.∴∠DAP=∠QPC-∠ADC=70°-25°=45°,∴∠CAD=∠BAC+∠DAP=65°+45°=110°.
5.解:(1)EF 是⊙O 的切线.证明:连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD 平分∠EAF,∴∠DAE=∠DAO,∴∠DAE=∠ADO,∴OD∥AE.∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴EF 是⊙O的切线.
(2)在 Rt△ODF 中,∥
6.(1)解 是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠ABC=45°.设∠ABD=x.∵BD=AB,AD=AE,∴∠DAB=∠ADB=∠AED=x),解得x=30°,即∠ABD=30°.
(2)证明:连接OC,作DH⊥AB于点H,如图.∵AC=BC,OA=OB,∴OC⊥AB.在Rt△BDH中, 由题可证四边形 DHOC 为矩形,∴OC⊥CD,∴直线是⊙O 的切线.
7.证明:如图,过点 C 作CH⊥AB 于点 H
∵⊙C 的半径为 2，∴CH 为⊙C 的半径,而 CH⊥AB,∴AB 为⊙C 的切线.
8.(1)证明:如图,连接 EO,作ON⊥BC 于点 N.∵O是菱形ABCD对角线BD上的一点，以O为圆心，OD 为半径的⊙O 与AB 相切于点 E,∴∠ABD=∠CBD,∠OEB=90°，∴OE=ON(角平分线上的点到角的两边的距离相等),∴BC与⊙O 相切.
(2)解:∵∠A=60°,AD=AB,∴是等边三角形，
设 则 在 中, 解得 即⊙O的半径为
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圆的切线的性质及证明方法
圆的切线的性质
1.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点C 作⊙O 的切线CM,过点 A 作 于点D，交 BC 的延长线于点E.
(1)求证:
(2)若 求 CD 的长.
2.已知 AB 是⊙O 的直径,AC,BC 是⊙O 的弦,OE 是⊙O的半径, 垂足为 H,连接 BE.
(1)如图①,若 求 和的大小.
(2)如图②,过点 B 作⊙O 的切线,与 AC 的延长线交于点 D，若 ∥求 的大小.
3.如图,AB 为⊙O 的直径,AP 为⊙O 的切线,F 是AP 上一点,过点 F 的直线与⊙O 交于C,D两点,与AB 交于点 E,连接 AD,AC,
(1)求证:
(2)若 求 BE 的长.
4.如图,在⊙O中,AB 为直径,弦CD 与AB 交于P 点,
(1)如图①,若 求 的度数.
(2)如图②,过点C 作⊙O 的切线与 BA 的延长线交于点 Q，若 求 的度数.
切线的证明方法
方法一：连半径，证垂直，得切线
5.如图,点A,B,C是半径为 2 的⊙O 上三个点,AB 为直径, 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作AC 的垂线交 AC的延长线于点E，延长ED 交AB 的延长线于点 F.
(1)判断直线 EF 与⊙O 的位置关系,并证明.
(2)若 求 的值.
6.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,且连接AC,BC,直线经过点C,在
直线上取点D，使BD 与 AC 相交于点E,连接AD,且
(1)求 的度数.
(2)求证:直线是⊙O 的切线.
方法二：作垂直，证半径，得切线
7.如图,在 中, 半径为 2 的⊙C 分别交AC,BC 于点D,E,得到 求证:AB 为⊙C 的切线.
8.如图，已知O是菱形ABCD对角线BD上的一点,以O为圆心,OD 为半径的⊙O 与AB
相切于点E,与AD,CD 分别相交于点F,G.
(1)求证:BC 与⊙O 相切.
(2)若 求⊙O 的半径.
参考答案
1.(1)证明:如图,连接OC.∵CD 是⊙O 的切线,OC 为⊙O的半径,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CM,∴OC∥AE,∴∠OCB=∠E.∵OB=OC,∴∠OCB=∠B,∴∠E=∠B,∴AB=AE. (2)解:如图,连接AC.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°.在 Rt△ACB中,AB=10,cosB ∠DCE+∠ACD=90°,∴∠E=∠ACD,∴cos∠ACD=又:
2.解:(1)∵∠BOE=128°,∴∠AOE=180°-∠BOE=52°.又∵OE⊥AC,∴∠BAC=90°-∠AOH=38°.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠BAC=52°.又 ∠ABE=26° .
(2)如图,连接OC.由(1)知∠ACB=90°,又∵OE⊥AC,∴∠ACB=∠OHA=90°,∴BC∥OE.又∵EC∥AB,∴四边形OECB 是平行四边形.由OB=OE,∴四边形OECB 是菱形,则OB=OC=BC,∴∠ABC=∵BD 切⊙O 于点 B,∴AB⊥BD,∴∠DBE=90°-∠ABE=60°.
3.(1)证明:∵AP 为⊙O的切线,∴PA⊥AB,∴∠FAE=90°.∵AC=CE,∴∠CAE=∠CEA.∵∠CAE+∠CAF=90°,∠CEA+∠CFA=90°,∴∠CAF=∠CFA,∴AC=CF.
(2)解:如图,连接CB.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.∵∠FAC+∠CAB=90°,∴∠FAC=∠ABC.∵∠CAF=∠CFA,∠D=∠ABC,∴∠D=∠CFA,∴AF=AD=4.∵AC= 在 Rt△FAE 中, 90°,∴△ACB∽△EAF,∴AC:AE=AB:EF,即
4.解:(1)如图①,连接 BC.∵∠ADC=25°,∴∠B=∠ADC=25°.∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=65°.∵∠DPB=55°,∴∠DAB=∠DPB-∠ADC=55°-25°=30°,∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC=180°-25°-30°-65°=60°.
(2)如图②,连接 BC,OC.∵∠ADC=25°,∴∠B=∠ADC=25°,∠QOC=2∠ADC=50°.∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=65°.∵CQ 是⊙O 的切线,∴∠QCO=90°,∴∠Q=40°.∴∠DAP=∠QPC-∠ADC=70°-25°=45°,∴∠CAD=∠BAC+∠DAP=65°+45°=110°.
5.解:(1)EF 是⊙O 的切线.证明:连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD 平分∠EAF,∴∠DAE=∠DAO,∴∠DAE=∠ADO,∴OD∥AE.∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴EF 是⊙O的切线.
(2)在 Rt△ODF 中,∥
6.(1)解 是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠ABC=45°.设∠ABD=x.∵BD=AB,AD=AE,∴∠DAB=∠ADB=∠AED=x),解得x=30°,即∠ABD=30°.
(2)证明:连接OC,作DH⊥AB于点H,如图.∵AC=BC,OA=OB,∴OC⊥AB.在Rt△BDH中, 由题可证四边形 DHOC 为矩形,∴OC⊥CD,∴直线是⊙O 的切线.
7.证明:如图,过点 C 作CH⊥AB 于点 H
∵⊙C 的半径为 2，∴CH 为⊙C 的半径,而 CH⊥AB,∴AB 为⊙C 的切线.
8.(1)证明:如图,连接 EO,作ON⊥BC 于点 N.∵O是菱形ABCD对角线BD上的一点，以O为圆心，OD 为半径的⊙O 与AB 相切于点 E,∴∠ABD=∠CBD,∠OEB=90°，∴OE=ON(角平分线上的点到角的两边的距离相等),∴BC与⊙O 相切.
(2)解:∵∠A=60°,AD=AB,∴是等边三角形，
设 则 在 中, 解得 即⊙O的半径为
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