人教A版必修1~必修5全部教案

第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题
A
B
C
D
A(起点)
B
（终点）
a3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：
键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
PAGE
12MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 14.1.1 圆的标准方程
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
化简可得： ②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
例（2）： 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
（教师板书解题过程。）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：
1、 根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本第1、3、4题
提炼小结：
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本习题4.1第2、3、4题课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题的意识；
（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；
教学重点：用”二分法”求方程的近似解．
教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤．
教学过程：
1、 复习引入
① 零点的概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
② 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
③ 一元二次方程可以用公式求根,但没有公式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
2、 新课教学
（一）用二分法求方程的近似解
1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解
想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点.
2．二分法概念
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法
思考:
为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 -0.009
(2.53125,2.2625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
3、用二分法求方程的近似解的步骤
①、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε
②、求区间(a,b)的中点x1
③、计算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4
（二）典型例题
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）
解：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象（如下):
x 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
巩固练习：（教材P106练习1）
3、 归纳小结，强化思想
二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。
4、 作业
复习二分法求解方程近似解的步骤
第 4 页 （共 4页）第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2），
∴．
实际上，我们还有，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
由①、②得　 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、已知求证
。
证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
1、 比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：…………………………(1)
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式的解集.
解：因为.
所以，原不等式的解集是
例3 (课本第88页)解不等式.
解：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然 ，方程有两个实数根，即
。所以不等式的解集为
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式的解集为，求
▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设，且，求的取值范围.
改：设对于一切都成立，求的范围.
改：若方程有两个实根，且，，求的范围.
随堂练习2
1、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
2、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】
【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题 数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
（把文字语言 符号语言）
（资金总数为25 000 000元） （1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第97页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
【教学难点】
把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。
随堂练习1
1、画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元
初中 45 2 26/班 2/人
高中 40 3 54/班 2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有
考虑到所投资金的限制，得到
即
另外，开设的班数不能为负，则
把上面的四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) ； (2)
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。
解：(1)或矛盾无解，故点在一带形区域内（含边界）。
(2) 由，得；当时，有点在一条形区域内(边界)；当，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
例2、利用区域求不等式组的整数解
分析：不等式组的实数解集为三条直线，，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，，，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值。
解：设，，，，，，∴，，。于是看出区域内点的横坐标在内，取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式组有 ，得＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约。
3.随堂练习2
1．（1）； （2）．； （3）．
2．画出不等式组表示的平面区域
3．课本第97页的练习4
4.课时小结
进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
5.评价设计
1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第3课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
1.课题导入
[复习提问]
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
……………………………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
3、 变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
3.随堂练习
1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
点（0，0）在直线:2x+y=0上.
作一组与直线平行的直线
:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
5.评价设计
课本第105页习题[A]组的第2题.
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第4课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
2.讲授新课
线性规划在实际中的应用：
　　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
例6 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2
4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第5课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
2.讲授新课
1．线性规划在实际中的应用：
例7 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数，满足
求4+2的取值范围．
错解：由①、②同向相加可求得：
0≤2≤4 即 0≤4≤8 ③
由②得 —1≤—≤1
将上式与①同向相加得0≤2≤4 ④
③十④得 0≤4十2≤12
以上解法正确吗 为什么
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．
(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4≤8及0≤2≤4是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．
(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么 此例有没有更好的解法 怎样求解
正解：
因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有条件有： （5）
（6）
将（5）（6）两式相加得
所以
3.随堂练习1
1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
4.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第4题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
基本不等式的应用
【教学难点】
利用基本不等式求最大值、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
我们称的算术平均数，称的几何平均数
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，
可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由
，可得
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小 最小值是多少
2．课本第113页的练习1、2、3、4
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第2、4题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第3课时
授课类型：习题课
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【教学难点】
利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b是正数，那么
2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证.
[思维拓展2] 求证.
例2 求证:.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2
[思维拓展1] 求(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且,求xy的最小值.
4.课时小结
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
5.评价设计
１．证明：
２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: 《不等式》复习小结
授课类型：复习课
【教学目标】
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
【教学重点】
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
【教学难点】
利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【教学过程】
1.本章知识结构
2.知识梳理
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；
作差法
3、应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1、如果a,b是正数，那么
2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
3.典型例题
1、用不等式表示不等关系
例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。
2、 比较大小
例3 (1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4)
(6)
3、 利用不等式的性质求取值范围
例4 如果,,则
(1) 的取值范围是 , (2) 的取值范围是 ,
(3) 的取值范围是 , (4) 的取值范围是
例5已知函数,满足,,那么
的取值范围是 .
[思维拓展]已知，，求的取值范围。（[-2，0]）
4、 解一元二次不等式
例6 解不等式：（1）；（2）
例7已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
5、 二元一次方程（组）与平面区域
例8 画出不等式组表示的平面区域。
6、 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例9已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。
[思维拓展] 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值
7、 利用基本不等式证明不等式
例8 求证
8、 利用基本不等式求最值
例9若x>0,y>0,且,求xy的最小值
[思维拓展] 求(x>5)的最小值.
4.评价设计
课本第115页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。
【板书设计】
【授后记】
PAGE
1
第十四中学第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2， y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0)
例4已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)
即： ∴ ∴(5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：4-1.3三角函数的诱导公式
一、教材分析
（一）教材的地位与作用：
1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：
1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析
根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：
1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析
（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题
I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义
2、提问：试写出诱导公式（一）
3、提问：试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式（一）及结构特征：
诱导公式（一）
sin(k·2π+)=sin cos(k·2π+)=costg(k·2π+)=tg（k∈Z）
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
5、问题：试求下列三角函数的值
（1）sin1110° （2）sin1290°
学生：（1）sin1110°=sin（3×2π°+30°）=sin30°=
（2）sin1290°=sin（3×π°+210°）=sin210°
（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）
6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：
演示（一）
（1）210°能否用（180°+）的形式表达？
（0°＜＜90°＝（210°=180°+30°）
（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点对称）
（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]
（5）sin210°与sin30°的值关系如何？
7、师生共同分析：
在求sin210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值。
8、导入课题：对于任意角，sin与sin（180+）的关系如何呢？试说出你的猜想。
（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式
（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：
设为任意角 演示（二）
（1）角与（180°+）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（2）设与（180°+）的终边分别交单位圆于p，p′，则点p与
p′具有什么关系？ （关于原点对称）
（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？ [p′（－x,－y）]
（4）sin与sin（180°+）、cos与cos（180°+）关系如何？
（5）tg与tg（180°+）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？
2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。
（1）板书诱导公式（二）
sin（180°+）=－sin cos（180°+）=－costg（180°+）=tg
（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。
3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表）
①cos225° ②tg－π ③sinπ
4、用相同的方法归纳出公式：
sin（π－）=sin
cos（π－）=－cos
tg（π－）=－tg
5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：
演示（三）
（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与
p′的关系如何？
（3）设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin（－30°）与sin30°的值关系如何？
6、师生共同分析：在求sin（－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。
（Ⅱ）导入新问题：对于任意角 sin与sin（－）的关系如何呢？试说出你的猜想？
1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：
设为任意角 演示（四）
（1）与（－）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设与（－）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于x轴对称）
（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin与sin（－）、 cos与cos（－）关系如何？
（5）tg与tg（－）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？
2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评
3、板书诱导公式（三）
sin（－）=－sin cos（－）=costg（－）=－tg
结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）
②把求（－）的三角函数值转化为求的三角函数值
4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表）
1 sin（－） ②tg（－210°） ③cos（－240°12′）
（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力
I、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）
1、诱导公式（一）、（二）、（三）
sin（k·2π+）=sin cos（k·2π+）=costg（k·2π+）=tg(k∈Z)
sin（π+）=－sin cos（π+）=－costg（π+）=tg
sin(－)=－sin cos(－)=costg(－)=－tg
用相同的方法，归纳出公式
Sin(π－α)＝Sin
Cos(π－α)＝－cosα
Ten(π－α)＝－tanα
2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
（Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力）
1、已知sin(π+)=（为第四象限角），求cos(π+)+tg(－)的值。
2、求下列各三角函数值
（1）tg(－ π) （2）sin(＝－ π)
（3）cos(－5100151) （4）sin(－)
（III）方法及步骤：
（IV）作业与课外思考题
通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？
四、教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课彩了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法。
（1）利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的。
（2）由（1800＋300）与300、（－300）与300终π－与）边对称关系的特殊例子，利多媒体动态演示。学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行导，问题类比、方法迁移，发现任意角α与（1800＋α）、－α终边的对称关系，进行寅，从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力。
（3）采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。
（4）通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、四的应用进一步拓广，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。
х
300
2100
χ
1800
300
χ
χ
χ
1800
1800
1800
300
300
O
χ
χ
χ
χ
查表
求值
00~3600间角
的三角函数
任意正角的
三角函数
任意负角的
三角函数
00~900间角
的三角函数课题：§2.2.2对数函数（三）
教学目标：
知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
教学重点：
重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难点 反函数的概念．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 呈现教学材料 师生互动设计
创设情境 材料一：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？ 生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1）P和t之间的对应关系是一一对应；（2）P关于t是指数函数；t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：表一 ．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
…-3-2-10123……1248…表二 ．…-3-2-10123……1248…在同一坐标系中，用描点法画出图象． 生：仿照材料一分析：与的关系．师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究 材料一：反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？ 师：说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．师：引导学生探索研究材料二．生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．
尝试练习 求下列函数的反函数：（1）； （2） 生：独立完成．
巩固反思 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
作业反馈 求下列函数的反函数：12343579
环节 呈现教学材料 师生互动设计
123435792．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ 答案：1．互换、的数值．2．略．
课外活动 我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题2 取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？问题3 如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题5 上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？ 结论： 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
互为反函数的函数图象的关系．
简单的反函数问题，单调性问题．
从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
简单的反函数问题，单调性问题．
两种函数的内在联系，图象关系．
由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．
课外活动
巩固反思
尝试练习
组织探究
创设情境
作业回馈
第 1 页 共 4 页高一新课程数学必修（Ⅲ）教案1
算法的概念
教学目的：理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。
教学重点：算法的设计与算法意识的的培养
教学过程：
一、问题情景：
请大家研究解决下面的一个问题
1．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。
（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）
S1 两个小孩同船过河去；
S2 一个小孩划船回来；
S3 一个大人划船过河去；
S4 对岸的小孩划船回来；
S5 两个小孩同船渡过河去；
S6 一个小孩划船回来；
S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；
S8 两个小孩再同时划船渡过河去。
2．一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
先列方程组解题，得鸡10只，兔7只；
再归纳一般二元一次方程组的通用方法，即用高斯消去法解一般的二元一次方程组。
令D，若D，方程组无解或有无数多解。
若D，则，。
由此可得解二元一次方程组的算法。
计算；
如果，则原方程组无解或有无穷多组解；否则（），
，
输出计算结果、或者无法求解的信息。
二、数学构建：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
三、知识运用：
例1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。（1）设计过河的算法；（2）思考每一步算法所遵循的相同之处原则是什么。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河
S2 人自己返回
S3 人带一只羚羊过河
S4 人带两只狼返回
S5 人带两只羚羊过河
S6 人自己返回
S7 人带两只狼过河
S8 人自己返回带一只狼过河
例2．写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：为了便于理解，算法步骤用自然语言叙述：
先将序列中的第一个整数设为最大值；
将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”就是这个整数；
如果序列中还有其它整数，重复；
在序列中一直进行到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
试用数学语言写出对任意3个整数中最大值的求法
max=a
如果b>max，则max=b
如果c>max，则max=c,
max就是中的最大值。
四、学力发展：
1．给出求的一个算法。
2．给出求点P关于直线的对称点的一个算法。
五、课堂小结：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
六、课外作业：
1．优化设计P3-4：变式练习1-10题。
2．课本P6：练习1-4题第8课时
§2.4.2平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
C§2平面向量复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
3、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+
A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=
4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数． 生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
组织探究 材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． [解] 列表（略） 图象 师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
环节 教学内容设计 师生双边互动
组织探究 材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点
材料五：例题[例1]（教材P92例题）[例2] 比较下列两个代数值的大小：（1），（2），[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
尝试练习 1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）； （2）．
探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和． 规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．
作业回馈 1．在函数中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．3
环节 呈现教学材料 师生互动设计
2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
课外活动 利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．
收获与体会 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？
利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．
幂函数性质的初步应用．
复述幂函数的图象规律及性质．
幂函数性质的初步应用．
幂函数的图象和性质．
问题引入．
课外活动
巩固反思
尝试练习
组织探究
创设情境
作业回馈
第 5 页 共 5 页4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题
例题：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
【情态与价值】
一、选择题
1. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
2. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（ ）
A． B. C. D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.
三、解答题
6. 三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，，求
7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少 第9课时
§2.4.3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
1、 设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
2、 向量垂直的判定
设，，则
3、 两向量夹角的余弦（）
cos =
4、 讲解范例：
5、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
6、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或
C.或? D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
7、 小结（略）
8、 课后作业（略）
9、 板书设计（略）
10、 课后记：
C课题：§1.2.1函数的概念
教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
1、 引入课题
1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30
新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101
3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
2、 新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
解：（略）
说明：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：（略）
说明：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
课本P22第2题
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3、 归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
4、 作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
第 1 页 （共 4页）3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线经过两点,求直线的方程.（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程。 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）（2）教师指出：当时，方程可以写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
2、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？ 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：。
问 题 设计意图 师生活动
3、例3 教学 已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程： 教师指出：的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
5、课堂练习 第102页第1、2、3题。 学生独立完成，教师检查、反馈。
6、小结 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。 学生课后完成§1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图
难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比
2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
3．三视图与几何体之间的相互转化。
（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？
（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。1.1.2程序框图
教学目标：理解程序框图的概念，学会画程序框图的规则
教学重点：理解程序框图的概念，学会画程序框图的规则
教学过程：
1、 复习回顾
1、 算法的概念：算法是解决某个特定问题的一种方法或一个有限过程。
2、 算法的描述
（1） 自然语言
（2） 形式语言
（3） 框图
1、 程序框图的概念
1、通过例子：对任意三个实数a、b、c求出最大值。写出算法（两种方法）
2、程序框图也叫流程图，是人们将思考的过程和工作的顺序进行分析、整理，用规定的文字、符号、图形的组合加以直观描述的方法
3、程序框图的基本符号
起止框
输入输出框
处理框
判断框
连接点
循环框
用带有箭头的流程线连接图形符号
注释框
三、读图
例 1、读如下框图分析此算法的功能
四、画流程图的基本规则
1、使用标准的框图符号
2、从上倒下、从左到右
3、开始符号只有一个退出点，结束符号只有一个进入点，判断符号允许有多个退出点
4、判断可以是两分支结构，也可以是多分支结构
5、语言简练
6、循环框可以被替代
五、例子
1、 输入3个实数按从大到小的次序排序
2、 用二分法求方程的近似解
课堂练习：第10页，练习A,练习B
小结：本节介绍程序框图的概念，学习了画程序框图的规则
课后作业：第19页，习题1-1A第1、2题
EMBED PBrush第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学思想
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
6、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
7、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
D
C
B
A
α
α
β
α
β
·B
·B
·A
α
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β直线的倾斜角和斜率(3.1.1)
教学目标:
知识与技能
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.
(3) 理解直线的斜率的存在性.
(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
（1） 直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
的倾斜角α相等吗 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)
所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1), 可作直线a.
同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
(八)板书设计:
§3.1.1……
1．直线倾斜角的概念 3.例1…… 练习1 练习3
2. 直线的斜率
4.例2…… 练习2 练习44-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
三、巩固与练习
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。
五、课后作业：
以下函数中，不是奇函数的是( )
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
六、板书设计：
0
0
T
A三角函数小结和复习
【知识与技能】
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题
例1 判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数
解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数
例2 求函数y=-3cos(2x-π)的最大值，并求此时角x的值。
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。
解：函数的最大值为：y=|-3|=3,此时由2x-π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z)
例3 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则有
即
所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R且}
【情态与价值】
一、选择题
1．已知cos240约等于0.92 ,则sin660约等于（ ）
A．0.92 B．0.85 C．0.88 D．0.95
2．已知tanx=2，则的值是（ ）。
A． B． C．- D．
3．不等式tanx≤-1的解集是（ ）。
A．（k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
4. 有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
5． tan（-）= .
6．函数y=sinx（≤x≤）的值域是 。
7．若函数y=a+bsinx的值域为[-，]，则此函数的解析式是 。
8．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：
①最大值为A； ②最小正周期为；③在[0，2π]λο上至少存在一个x，使y=0；
④由≤ωx+≤（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，
其中正确的结论的序号是 。
三、解答题
9．（1）已知sinθ－cosθ=0＜θ＜，求sinθ+cosθ的值；
（2）求函数y=2cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x的值。
10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为y= 6sin（2πt+）。
（1） 作出它的图象；
（2） 单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？
（3） 单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
（4） 单摆来回摆动一次需要多少时间？
角度制与弧度制
任意角的概念
同角函数关系
函数
终边相同角
象 限 角
区 间 角
任意角的三角函数
弧长与扇形面积公式
三角函数图象与性质
诱 导 公 式
第三章：三角恒等变换
符号法则
三角函数线§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
例4（投影）
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为
α∥β α∩β= L
教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究
让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解
教材P51 练习
学生独立完成后教师检查、指导
（三）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第5题
α
β
L
α
β课题：§2.1.2对数函数（一）
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
1、 引入课题
1．（知识方法准备）
学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．
对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
2、 新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
巩固练习：（教材P68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P85练习2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P85练习3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．
3、 归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．
4、 作业布置
1． 必做题：教材P86习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2． 选做题：教材P86习题2．2（B组） 第5题．
第 1 页 共 3 页第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使， ，
则(+) +=，+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
A B C
C A B
A B
C
A B
C
a
a
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
ｂ
ａ＋ｂ
a
O
A
B
a
a
a
b
b
b§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若，，则，，.
若，，则
5．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.
8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，
可得=.
10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|
ab = bc 但a c
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos =
5 |ab| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：
C {3.3-1两直线的交点坐标
三维目标
知识与技能：1。直线和直线的交点
2．二元一次方程组的解
过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的
直线系方程。
情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
教学过程：
1． 情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
2． 讲授新课
1． 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示
点A A（a，b）
直线L L：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
（2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
（3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
2． 例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解：解方程组
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本110页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
（1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
（2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
（3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
3． 启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形
有何特点？求出图形的交点坐标。
（1） 可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2） 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3） 结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
例2 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
解：解方程组若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.
又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0
因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上，得交点(－)
4． 小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
5． 练习及作业：
1． 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
2． 求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
板书设计：略§2.1.2 系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
【课堂练习】P49 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为 （ ）
A．8 B.8，3
C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
1、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
2、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b
则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4． 探究：
1） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a∥b， 如何作出a b　？
3、 例题：
例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= ab， = cd
例二、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得：
= a + b， = = ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：Ｐ98
4、 小结：向量减法的定义、作图法|
5、 作业：P103第4、５题
6、 板书设计（略）
7、 备用习题：
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
A B
D C
O
a
b
B
a
b
ab
O
A
B
a
B’
b
b
b
B
a+ (b)
a
b
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
b
a
d
c
D
O
A B
D C
第３题第三章 三角恒等变换
一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时
3.2简单的恒等变换 约3课时
复习 约2课时
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：§2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生
共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、例5
以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
（三）自主学习、巩固知识
练习：课本第63页
学生独立完成，教师进行纠正。
（四）归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业
课本第65页 习题2.2 A组第6题。
EMBED Photoshop.Image.7 \s4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990
说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z }………………（1）
S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }
={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } …………………（2）
师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
S= S1∪S2 ={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }
={β|β=900+n×1800，n∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z },{β|β=k×900，k∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }
推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
例1 若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？
师：是第二象限角，如何表示？
解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×3600<<1800+k×3600（k∈Z）
∴ 1800+k×7200<2<3600+k×7200
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
（2）∵，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
当时，，是第一象限的角；
当时，，是第三象限的角。
∴是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）
进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。
三、例题小结
1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习
练习2 若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.
练习3 若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。 （200，1400，2600）
（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。
（{α| 1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）
探究活动
　　经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
1．与 终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265 （2）－1000o （3）－843o10’ （4）3900o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：
(1)60o (2)－75o (3) －824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o
C组：若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？
1200 y
O
x
25001.1.1集合的含义与表示
教学目的：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.
教学重难点：1、元素与集合间的关系
2、集合的表示法
教学过程：
1、 集合的概念
实例引入：
⑴ 1~20以内的所有质数;
⑵ 我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;
⑶ 金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
⑸ 所有的正方形;
⑹ 黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.
结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.
2、 集合元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写
练习：判断下列各组对象能否构成一个集合
⑴　2，3，4 ⑵ （2，3），（3，4） ⑶　三角形
⑷　2，4，6，8，… ⑸　1，2，（1，2），{1，2}
⑹我国的小河流 ⑺方程x2+4=0的所有实数解
⑻好心的人 ⑼著名的数学家 ⑽方程x2+2x+1=0的解
三 、 集合相等
构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等
4、 集合元素与集合的关系
集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）
A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形
（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？
六、集合的表示方式
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）
例 1、 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1~20以内的所有质数组成。
例 2、 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由大于10小于20的的所有整数组成的集合；
（2）方程x2-2=2的所有实数根组成的集合.
注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素
(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略
七、小结
集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.
八、作业2.2 用样本估计总体 · 海口实验中学 覃荣学·
２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
【创设情境】
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33
请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。
【探究新知】
〖探究〗：P55
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P56）
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。
下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：
（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：
〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
2．总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。（见课本P60）
〖思考〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P61 练习 1. 2. 3
【课堂小结】
1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2． 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P72 习题2.2 A组 1、 2
122
126
130
134
138
142
146
150
158
154
身高（cm）
o
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
频率/组距
90
100
110
120
130
140
150
次数
o
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
频率/组距
0.032
0.036函数模型及其应用
一、教学目的
1、 利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
2、 结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；
3、 运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；
4、 以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程
第一课时 几类不同增长的函数模型
1、复习引入
师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？
生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……
师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课
（用幻灯片展示例题）
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
1） 每天回报40元；
2） 第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
3） 第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）
教师提示：
1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？
教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。
通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。
由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？
3）、（幻灯片展示例题2）
设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？
教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。
让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。
教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。
3、小结：
一般地，在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax (a>1)和y=xa (a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y=ax (a>1)的增长速度会越来越快，会远远大于y=xa (a>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax第二课时 函数模型的应用实例
1、复习引入
通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。
2、新课
1）、（用幻灯片展示例题3）
教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。
课堂练习：P128第1、3题。
小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。
2）、（用幻灯片展示例题4 课本P121）
教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。
课堂练习：P123第1题。
教师小结：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。
3）、（用幻灯片展示例题5课本P123）
让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。
教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。
4）、（用幻灯片展示例题6 课本P124）
观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。
课堂练习：
P133 B组第3题。
4、 小结：
应用函数模型解决实际问题的基本过程：
1 确定函数模型；
2 利用数据表格，函数图象讨论模型；
3 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。高中数学新课标必修5第二章
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解]
课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
　　 的通项公式为 ；
　　 的通项公式为 ；
2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式 ∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由 n=20，得
⑵由 得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15, =4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：根据题意可得：=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：=－n+,
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=－ ② d= ③ d=
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A ，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列
[补充例题]
例 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {an }是等差数列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ =2, =32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
●板书设计
●授后记
课题: §3.3 等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.3等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由，得
当时==
=2p
对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
（2） 利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的
首项是
公差是d=2p
通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
，所以，数列{}也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，则
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
1、 等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；
（1）a=0时，Sn=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记
课 题：数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、知识精要：
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
2． 对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
[等比中项]
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
[等比数列的通项公式]
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]
当时，
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
3． 对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
4、数列前n项和
（1）重要公式：
；
；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中，
（4）裂项求和：；（）
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18
海口十四中第二章 点、直线、平面的位置关系 小结
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B组第2题。
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面平行
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面垂直
直线与直线垂直
直线与平面垂直
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1§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
；．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
．
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，
于是有
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
（3）、．
例3、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
作业：
1、 已知求的值．（）
2、 已知，求的值．几种不同增长的函数模型（两课时）
一、教学目的
1、 利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
2、 结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；
3、 运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；
4、 以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程
第一课时
1、复习引入
师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？
生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……
师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课
（用幻灯片展示例题）
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
1） 每天回报40元；
2） 第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
3） 第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）
教师提示：
1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？
教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。
通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。
由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？
3）、（幻灯片展示例题2）
设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？
教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。
让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。
教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。
3、小结：
一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+∞）上，尽管指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xa(a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a>0)，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax第二课时
1、复习引入
通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。
2、新课
1、（用幻灯片展示例题3）
教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。
课堂练习：P128第1、3题。
小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。
2、（展示例题4）
教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。
课堂练习：P123第1题。
教师小结指出：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。
3、（用幻灯片展示例题5）
让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。
教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。
4、（用幻灯片展示例题6）
观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。
课堂练习：P133 B组第3题。
小结：应用函数模型解决实际问题的基本过程：
1 确定函数模型；
2 利用数据表格，函数图象讨论模型；
3 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。
作业：P127第4、5题4.3.2空间两点间的距离公式
1． 教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2． 教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3． 教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、 情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 通过类比，充分发挥学生的联想能力。 师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？[1] 从特殊的情况入手，化解难度 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出
问题 问题设计意图 师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？ 任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？[2] 人的认知是从特殊情况到一般情况的 师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
1、问题：
（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置
第65页习题2.2 A组第7题。
EMBED Photoshop.Image.7 \s第1章 三角函数
4-1.1.1任意角（1）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：?
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
师：如图3，以OA为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
师：（2）锐角就是小于900的角吗？
生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
师：（3）锐角就是00～900的角吗？
生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.
学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现 390 330 30 1470 1770
生:终边重合.
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。
师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300 -3×3600+300
4×3600+300 -4×3600+300
……， ……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
6.例题讲评
例1 设， ，那么有（ D ）．
　　A．　　　B．　　C．（ ）　　D．
例2用集合表示：
　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．
解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝
（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．
说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_{－45o,225o}_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
　　① ～ 间的角　 ②第一象限角　 ③锐角　 ④小于 角．
解答（1）① ；　　　　② ；
　　　　③ ；　　　④
（2）分别写出：
　　①终边落在 轴负半轴上的角的集合；　　②终边落在 轴上的角的集合；
　　③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
　　④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
　解答（2）① ；　② ；
　　　　③ ；　　　　④ ．
　　说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 ．
例4在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）∵
　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
　　（2）∵
　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
　　（3）
　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
　　
　　总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）
　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，
　　C． 轴或 轴上，　　　　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上
（3）设 ，　　　　　
　　　　C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，　　　　　
　　　　
则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业:
B
α
O A
图1课题：§2.1.1指数
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2）规定分数指数幂的意义；
（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；
（5）了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．
教学过程：
1、 引入课题
1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性
2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；
3． 复习初中整数指数幂的运算性质；
4． 初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
2、 新课教学
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．
式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
思考：（课本P58探究问题）=一定成立吗？．（学生活动）
结论：当是奇数时，
当是偶数时，
例1．（教材P58例1）．
解：（略）
巩固练习：（教材P58例1）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
引导学生解决本课开头实例问题
例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）
说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．
巩固练习：（教材P63练习1-3）
4． 无理指数幂
结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：（教材P63练习4）
巩固练习思考：：（教材P62思考题）
例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
解：（略）
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
3、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
4、 作业布置
1． 必做题：教材P69习题2．1（A组） 第1－4题．
2． 选做题：教材P70习题2．1（B组） 第2题．
第 1 页 （共 3页§1.3.2 球的体积和表面积
1. 教学目标
1． 知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分
割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2． 过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3． 情感与价值观
　　通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
2. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
3. 学法和教学用具
1． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值　　　　的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
2． 教学用具：投影仪
4. 教学设计
（1） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（2） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
　如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。
如图：
得
第二步：求和
第三步：化为准确的和
　　当n→∞时， →0 （同学们讨论得出）
所以
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）
（3） 典例分析
课本P47 例4和P29例5
（4） 巩固深化、反馈矫正
⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案： ；　3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
（5） 课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
（6） 评价设计
作业 P30 练习1、3 ，B（1）　　《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan2α=
8
A
E D
B C3..3..。2直线与直线之间的位置关系-两点间距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：
1， 情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为
直线相交于点Q。
在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有
所以，=。
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
由 得
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。因此
同步练习：书本112页第1，2 题
3． 　巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——
。
板书设计：略。课题：§2.2.2对数函数（二）
教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；
（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；
（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点：对数函数的图象和性质．
教学难点：对对数函数的性质的综合运用．
教学过程：
1、 回顾与总结
1． 函数的图象如图所示，回答下列问题．
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？
（2）函数与
且有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？
（3）以的图象为基础，在同一坐标系中画出的图象．
（4）已知函数的图象，则底数之间的关系：
．
教
2． 完成下表（对数函数且的图象和性质）
图象
定义域
值域
性质
3． 根据对数函数的图象和性质填空．
已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
2、 应用举例
例1． 比较大小： ，且；
，．
解：（略）
例2．已知恒为正数，求的取值范围．
解：（略）
[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．
．
例3．求函数的定义域及值域．
解：（略）
注意：函数值域的求法．
例4．（1）函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
（2）求函数的最小值．
解：（略）
注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．
例5．（2003年上海高考题）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
解：（略）
注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．
例6．求函数的单调区间．
解：（略）
注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”．
练习：求函数的单调区间．
3、 作业布置
考试卷一套
4
3
2
eq \o\ac(○,3)
eq \o\ac(○,2)
eq \o\ac(○,1)
1
第 2 页 共 3 页3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验次 数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x y 计数
0.598895 0.940794 0
0.512284 0.118961 1
0.496841 0.784417 0
0.112796 0.690634 1
0.359600 0.371441 1
0.101260 0.650512 1
… … …
0.947386 0.902127 0
0.117618 0.305673 1
0.516465 0.222907 1
0.596393 0.969695 0
7、作业：根据情况安排
M
o
r
2a
PAGE
133.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设想：
1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
7、作业：根据情况安排
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74.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．
2、过程与方法
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；
（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；
（5）当时，圆与圆内含；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．
3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生“数形结合”的意识． 教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．利用判别式来探求两圆的位置关系． 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发学生探求新知的精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题． 巩固方法，并培养学生解决问题的能力． 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 得出两个圆的相交弦所在直线的方程． 师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？ 进一步验证相交弦的方程． 师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
作业：习题4．2A组：4、7．3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
一、教学目标
（1） 使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
（2） 通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
（3） 体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
二、教学重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学手段：
运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。
四、教材分析：
1、 背景
（1） 圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2πR (一次函数)
（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=πR2 (二次函数)
（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两个分裂成4个……，一个这样的细
胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数 型函数) 。
2、例题
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优
(1) 比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；
y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)
方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。
Y=0.4×2x-1(x)
从每天的回报量来看：
第1~4天，方案一最多：
每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
有人认为投资
1~4天选择方案一；
5~8天选择方案二；
9天以后选择方案三。
累积回报表
天数方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
结论
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
3．例题的启示：
解决实际问题的步骤：
（1）实际问题
（2）读懂问题抽象概括
（3）数学问题
（4）演算推理
（5）数学问题的解
（6）还原说明
（7）实际问题的解
4．练习
某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
5．小结
（1）解决实际问题的步骤：
实际问题 读懂问题 将问题抽象化 数学模型 解决问题
（2）几种常见函数的增长情况：
常数函数 一次函数 指数函数
没有增长 直线上升 指数爆炸
6．作业:
课本116页练习题集1、2题
图112-1课题：§1.3.1函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
1、 引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
2、 新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元） 住房率（%）
160 55
140 65
120 75
100 85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例3．（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材P38练习4）
3、 归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
4、 作业布置
1． 书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第6、7、8题．
提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
D
C
B
A
25
第 1 页 （共 3页）4.2.2 直线与圆的方程的应用
（两个课时）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？ 启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课． 师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？ 理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想． 师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？ 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择． 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．生：自学例4，并完成练习题1、2．师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 使学生加深对圆的方程的认识． 教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？ 巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力． 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4． 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤． 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？ 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识． 学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：（1）利用“坐标法”解决问 对知识进行归纳概括，体会利 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第
问 题 设计意图 师生活动
题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？ 用“坐标法”解决实际问题的作用． 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
作业：习题4．2B组：1、2．课题：§2.2.1对数
教学目的：（1）理解对数的概念；
（2）能够说明对数与指数的关系；
（3）掌握对数式与指数式的相互转化．
教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化
教学难点：对数概念的理解．
教学过程：
1、 引入课题
1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；
设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．
2． 尝试解决本小节开始提出的问题．
2、 新课教学
1．对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：
— 底数，— 真数，— 对数式
说明： 注意底数的限制，且；
；
注意对数的书写格式．
思考： 为什么对数的定义中要求底数，且；
是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．
两个重要对数：
常用对数（common logarithm）：以10为底的对数；
自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数的对数．
2． 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
例1．（教材P73例1）
巩固练习：（教材P74练习1、2）
设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．
说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．
3． 对数的性质
（学生活动）
阅读教材P73例2，指出其中求的依据；
独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论
对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
3、 归纳小结，强化思想
引入对数的必要性；
指数与对数的关系；
对数的基本性质．
4、 作业布置
教材P86习题2．2（A组） 第1、2题，（B组） 第1题．
第 1 页 （共 2页）课题：§2.2.1对数的运算性质
教学目的：（1）理解对数的运算性质；
（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．
教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程：
1、 引入课题
1． 对数的定义：；
2． 对数恒等式：；
2、 新课教学
1．对数的运算性质
提出问题：
根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
设，，求；
设，，试利用、表示·．
（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）
运算性质：
　　如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）
学生活动：
阅读教材Ｐ75例3、4，；
设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．
完成教材Ｐ79练习1~3
设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．
2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值
设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．
思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值？从而引入换底公式．
3． 换底公式
（，且；，且；）．
学生活动
根据对数的定义推导对数的换底公式．
设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．
思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）；
利用换底公式推导下面的结论
（1）；
（2）．
设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．
说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．
4． 课堂练习
教材Ｐ79练习4
已知
试求：的值。（对换5与2，再试一试）
设,，试用、表示
3、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．
4、 作业布置
1． 基础题：教材P86习题2．2（A组） 第3 ~5、11题；
2． 提高题：
设,，试用、表示；
设,，试用、表示；
设、、为正数，且，求证：．
3． 课外思考题：
设正整数、、（≤≤）和实数、、、满足：
，，
求、、的值．
第 3 页 （共 3页）课题：§1.2.2映射
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：映射的概念．
教学过程：
1、 引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5． 函数的概念．
2、 新课教学
1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．
2． 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以2；
3． 什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：AB”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4． 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B到集合A的映射吗？
5． 完成课本练习
3、 作业布置
补充习题
第 2 页 （共 2页）第一章：空间几何体
§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3．课本P8，习题1.1 A组第1题。
4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
四、巩固深化
练习：课本P7 练习1、2（1）（2）
课本P8 习题1.1 第2、3、4题
五、归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
六、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能　：　 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
　　把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
　②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
1、 根据提议，选择标准方程或一般方程；
2、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 ①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：课堂练习第1、2、3题
小结 ：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：习题4.1第2、3、6题§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算
难点：台体体积公式的推导
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪
四、教学设想
1、创设情境
（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知
（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:
r1为上底半径 r为下底半径 l为母线长
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：
（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
4、例题分析讲解
（课本）例1、 例2、 例3
5、巩固深化、反馈矫正
教师投影练习
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。 （答案：）
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm3）
6、课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
7、评价设计
习题1.3 A组1.3
EMBED PBrush高一新课程数学必修（Ⅲ）教案
算法小结复习
教学目的：总结算法解题的一般思路，即算法分析（提炼问题的数学本质）——画出程序框图——按框图编写伪代码；通过本章学习增强解题的规范性．
教学重点：在准确理解算法的基础上，掌握流程图的画法及判断；掌握伪代码的编写．
教学过程：
例1．阅读下列伪代码，并指出当时的计算结果：
（1）read a, b (2) read a, b (3) read a, b
X←a+b a←a+b a←a+b
y←a-b b←a-b b←a-b
a←(x+y)/2 a←(a+b)/2 a←(a-b)/2
b←(x-y)/2 b←(a-b)/2 b←(a+b)/2
Print a, b Print a, b Print a, b
a=____,b___ a=____,b___ a=____,b___
例2．写出用二分法求方程在区间内的一个近似解（误差不超过）的一个算法．
说明：此题主要再次强调算法的问题根本上是一个思维的问题以及算法语言的基本规则；如何通过语句的结构形式规范处理及简化问题，
从而增强解题的规范性．
流程图与伪代码
10 Rend a,b,c
20 x0 ←(a+b)/2
30 f(a) ←a3-a-1
40 f(x0) ←x03-x0-1
50 If f(x0)=0 then Goto 120
60 If f(a)f(x0)<0 then
70 b ←x0
80 Else
90 a ←x0
100 End if
110 If |a-b|≧c then Goto 20
120 Print x0
N
以上两例重点理解赋值语句，尤其是在循环结构中如何根据对变量的理解灵活赋值，从而用简炼的语句表示算法。
例3．满足方程的一组正整数称为勾股数或商高数，设计计算某一范围内的勾股数的算法．
For a from 3 to 30
For b from a+1 to 40
For c from b+1 to 50
If a2+b2=c2 then
P a, b, c
End if
End
End
End
例四．已知钱数（不足10元），要把它用于1元、5角、1角、1分的硬币表示，若要用尽量少的硬币个数表示，设计一个算法，求各硬币的个数．
分析：要用尽量少的硬币表示钱数，也就是要尽可能地用大面值的硬币．以1元钱的个数就是的整数部分，记为，则5角钱的个数就是（－）/0.5的整数部分,记为；1角钱的个数就是（－＊1－＊0.5）的整数部分，记为；1分钱的个数就是（－＊1－＊0.5－＊0.1）的整数部分．
解：Read
=int（）
=int（（－）/0.5）
= int（（－＊1－＊0.5）/0.1）
=int（（－＊1－＊0.5－＊0.1）/0.01）
Print ，，，
例五. 在日常生活中，人们经常要把一些记录中的数据排序，如招生录取中按照成绩对考生进行排序，汉字拼音检索中按照字母顺序对汉字进行排序等等。排序就是按照一定的规则，对数据加以排列整理，从而提高查找效率．
（1）直接插入排序法：
（2）冒泡排序法：
现用直接插入排序法对任意输入的n个数进行从小到大的排序，其伪代码程序如下：
Begin
Read n
For i=1 to n
Read a(i)
End For
For i=2 to n
For j=1 to i-1
If a(j)>a(i) Then
m=a(i)
a(i)=a(j)
a(j)=m
End if
End For
End For
For k=1 to n
Print a(k)
End For
End
再用直接冒泡排序法对任意输入的n个数进行从小到大的排序，其伪代码程序如下：
10 Begin
20 Read n
30 For i=1 to n
40 Read a(i)
50 End For
60 For j=1 to n-1
70 w=0
80 For i=1 to n-1
90 If a(i)>a(i+1) Then
100 m=a(i)
110 a(i)=a(i+1)
120 a(i+1)=m
130 w=w+1
140 end if
150 End For
160 If w=0 Then Goto 180
170 End For
180 For k=1 to n
190 Print a(k)
200 End For
210 End
用DO循环语句表示如下：
Begin
Read n
For i=1 to n
Read a(i)
End For
Do
w=0
For i=1 to n-1
If a(i)>a(i+1) Then
m=a(i)
a(i)=a(i+1)
a(i+1)=m
w=w+1
end if
Next i
Loop Until w=0
For k=1 to n
Print a(k)
End For
End
例三与例五及算经中的“百钱百鸡”问题均对循环语句的应用提出更高要求，在算法理解及流程图的设计上思路一定要清晰。
例六．（李白买酒)“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒”．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出伪代码．
S=0
For I from 1 to 3
S←(S+1)/2
End For
Pint S
例七．一个三位数,如果每一位数字的立方和等于它本身,则称之为“水仙花数”．设计一个算法，找出所有的水仙花数，用伪代码表示．
For n from 100 to 999
←int(n/100)
←int((n-100x)/10)
z←n－100－10
If n=3+3+z3 then
Pint n
End If
Next n
End for
例八．一辆邮车依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…Am（），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个，
设ｎ是邮车从第ｎ个（1≤n＜m，n∈N* ）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求ｎ.
分析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I从1至ｎ时，ｎ的变化。
解：　伪代码为：
Read m,n
If m≤n then Print“错误！ｍ必须大于ｎ”
Else
S←0
For I from 1 to n
S←S+(m- I)-(I-1)
Next I
End For
End If
Print S
例九．进位制与秦九韶算法
1．用程序把进制数（共有位）转换为十进制数
2．把一个十进制数化为k进制数
Begin
Read a , k
i=1
Do
r=mod(a,k)
a(i)=r
a=(a-r)/k
i=i+1
Loop Until a=0
m=i-1
For j=m to 1 Step -1
Print a(j);
Next j
Prin “(”;k;”)”
End
3．求次多项式当（是任意实数）的值
解析：把次多项式改写如下形式：
发现规律结合所掌握算法，通过模仿，操作，探索，寻找解决问题的通法。]
例十．（焚塔传说）
解析：关键是理解问题发现规律
二、数学构建：
三、知识运用：
四、学力发展：
五、课堂小结：
六、课外作业：
输入a,b,c
输出x0
b←x0
a←x0
f(a)←a3-a-1
f(x0)←x03-x0-1
X0←(a+b)/2
|a-b|f(a)f(x0)<0
f(x0)=0
Y
N
Y
N
Y
结束
开始
Y
N
结束
b←a+1
输出a,b,c
a2+b2=c2
a←3
b←b+1
c←c+1
a←a+1
c←b+1
开始
Y
N
I=I+1
V=v×x0+an-i
V=v0
输出v
I≦n
I=1
输入x0
输入f(x)的系数：
a0 a1 a2 …an
Read a, k, n
I=1
b=0
while i<=n
t=get a(i)
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
end while
print b
a≦30
b≦40
c≦50
Y
Y
Y
N
N
N课题：§1.1.1算法的概念
1、 教学目标：
1、 知识目标：
⑴使学生理解算法的概念。
⑵掌握简单问题算法的表述。
⑶初步了解高斯消去法的思想．
⑷了解利用scilab求二元一次方程组解的方法。
2、 能力目标：
①逻辑思维能力：通过分析、抽象、程序化高斯消去法的过程，体会算法的思想，发展有条理地清晰地思维的能力，提高学生的算法素养。
②创新 能力：通过分析高斯消去法的过程，发展对具体问题的过程与步骤的分析能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力。
3、 情感目标：
通过体验算法表述的过程，培养学生的创新意识和逻辑思维能力；通过应用数学软件解决问题，感受算法思想的重要性，感受现代信息技术的威力，提高学生的学习兴趣。
2、 重点与难点
重 点：算法的概念和算法的合理表述。
难 点：算法的合理表述、高斯消去法．。
三、教学方法与手段：
采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
3、 教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 要把大象装入冰箱分几步？第一步 把冰箱打开。第二步 把大象放进冰箱。第三步 把冰箱门关上。指出在家中烧开水的过程分几步？ 略如何求一元二次方程的解？解：第一步 计算第二步 如果 如果方程无解第三步 输出方程的根或无解的信息注意：以上三例的求解过程中，老师紧扣算法的定义，带领学生总结。反复强调，使学生体会到以下几点：强调步骤的顺序性，逻辑性，打乱顺序，就不能完成任务。强调步骤的完整性，不可分割。强调步骤的有限性。强调每步的结果的确切性（明确的结果）。强调步骤的通用性，任何人只要按照该步骤执行即可完成任务。 由学生回答，老师书写，分清步骤，步步诱导，为引入算法概念做准备。 用学生熟悉的问题来引入算法的概念，降低新课的入门难度，有利于学生正确理解算法的概念。
2、算法是如何定义？ 2、打开课本引领学生共同分析算法的定义。 培养学生体会发现、抽象、总结的能力。
概念深化 1、算法的定义：算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。分析句子成分，强调指出：（1） 算法理解为解题步骤；或者看成计算序列。问学生并让学生齐声回答：是什么的样的步骤和计算序列？算法的目的：是什么？解决一类问题。（2）反问我们要解决解决一类问题，我们可以抽象出其解题步骤或计算序列，他们有什么样的要求？ 提示学生注意其中的关键词：规定的运算顺序、完整的、解题步骤；设计好的、有限的、确切的、计算序列；解决一类问题。 深化对定义的理解。
教学环节 内容 师生互动 设计意图
例题精选 例1一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少只小兔多少只鸡？算法1：解 ：S1 首先计算没有小兔时，小鸡的数为：17只，腿的总数为34条。S2 再确定每多一只小兔、减少一只小鸡增加的腿数2条。 S3 再根据缺的腿的条数确定小兔的数量： (48-34)/2=7只S4 最后确定小鸡的数量：17-7=10只.算法2：S1 首先设x只小鸡，y只小兔。S2 再列方程组为： S3 解方程组得：S4 指出小鸡10只，小兔7只。 本题讲解紧扣算法的定义，层层诱导，提示学生如何设计步骤，可以先由学生提出，师生共同总结。最后提示学生，一个问题算法可能不止一个。 深化对算法概念的 理解，使学生体会到算法并不是高渗莫测的东西，实际上是我们从前解题步骤的总结。
例2写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。分析：你可能觉得，求一个整数序列的最大值是一个很简单的事。的确从10个、8个整数中找出最大值，你一眼就可以看得出来。可是要从一百万个年龄序列表中找出年龄最大的一个，要是没有算法，可就是一件很困难的事了。可计算机利用软件瞬间就可以找出最大值，计算机要靠软件（程序）支持，编写程序要依赖算法，因此我们要编写出合理的、高效的算法就非常必要了。 请大家思考：如何写出这个问题的一个算法呢？算法1：S1 先假定序列中的第一个数为"最大值"。S2 将序列的第二个整数值与"最大值"比较，如果第二个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S3 将序列的第三个整数值与"最大值"比较，如果第三个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S4 将序列的第四个整数值与"最大值"比较，如果第四个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值”依此类推Sn 将序列的第n个整数值与"最大值"比较，如果第n个整数大于"最大值"，这时就假定这这个数为"最大值"。Sn+1 直到序列中没有可比的数为止，"最大值"就是序列的最大值。 带领学生分析题目，找出算法。让学生观察算法1，思考如何简化算法？ 使学生体会到学习算法的意义和必要性。使学生体会顺序结构的简单直观，但有时却很繁琐的特点。促使学生产生改进方法的欲望。
教学环节 内容 师生互动 设计意图
例题精讲 算法2S1 先假定序列中的第一个数为"最大值"。S2 将序列中的下一个整数值与"最大值"比较，如果大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S3 如果序列中还有其它整数，重复S2。S4 直到序列中没有可比的数为止，这时假定的"最大值"就是序列的最大值。 让学生体会到算法的特点是：“机械的、呆板的、可以按部就班执行”。 使学生体会到算法优化的意义。指出算法要设计合理，运行要高效。
例2举例：写出一个求整数a、b、c最大值的算法解：S1 max=a。S2 如果b>max，则max=b。S3 如果c>max，则max=c。S4 max就是a、b、c的最大值。 由学生分析写出，老师指导、讲评。可能有些学生不能完全、清晰地理解其全部的过程，老师可以让a、b、c分别取：1、2、33、2、1、3、1、2等数据，让学生体会算法的运行过程。 加深对上述算法的理解。
例3、写出解二元一次方程组的一个算法：解：算法1 ：S1 假定a110，① ②，得到： 分析：本例是把实际问题解决抽象成二元一次方程组的求解问题，求解二元一次方程组有两种算法：
教学环节 内容 师生互动 设计意图
例题精讲 原方程组化为：S2 如果，输出方程组无解或有无数组解如果，解（4）得S3 将（5）代入（3），整理得：S4 输出结果x1，x2、方程组无解或有无数组解算法2 ：S1计算D=S2 若D=0 输出方程组无解或有无数组解，否则（D）时S3输出结果x1，x2、方程组无解或有无数组解。 ⑴首先讲清高斯消去法的思路。⑵把高斯消去法用算法表述出来。⑶提使学生分析解题的关键所在，再用公式法表示出来。 从二元一次方程组的算法知：求解某个问题的算法不是唯一的。 加深对算法的非唯一性的理解。同时还提醒学生算法并非越复杂越好，而恰恰相反，越简洁、高效越好。让学上体会到算法可以不用展现详细的解体过程，只要最后结果就行。
例4见课本P6例3展示本题的解体过程。A=[3,-2;1,1];B=[14;-2];linsolve(A,-B)ans =! 2. !! - 4. ! 老师输入数据，并讲述个数据的来源，强调输入的规范性。 让学生体会计算机解题的便捷性。激发学生的学习兴趣
教学环节 内容 师生互动 设计意图
练习 课本P7练习A 1、2、4题课本P8练习B 4、5题 巩固所学知识
小结（师生共同总结） 1、算法的定义：算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。2、算法的五大特征：⑴逻辑性： 算法应具有正确性和顺序性。算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的基础，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都有确切的含义，组成了具有很强的逻辑性的序列。⑵概括性： 算法必须能解决一类问题，并且能重复使用。⑶有限性： 一个算法必须保证执行有限步后结束⑷非唯一性：求解某个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑸普遍性： 许多的问题可以设计合理的算法去解决。如：如用二分法求方程的近似零点，求几何体的体积等等。3、算法的表述形式：⑴用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）各处精确的说明。⑵程序框图（简称框图）。⑶程序语言。
作业 课本P8练习B 1、2题3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、教学目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
五、学法与教学用具
学法：讲授式教学
六、教学设想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．
例1、试以表示．
解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
因为，可以得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
例３、求函数的周期，最大值和最小值．
解：这种形式我们在前面见过，，
所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
作业：3.2.1 直线的点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。 学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。
2、直线经过点，且斜率为。设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。 学生根据斜率公式，可以得到，当时，，即 （1） 教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
3、（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。
问 题 设计意图 师生活动
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。 学生分组互相讨论，然后说明理由。
5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ （3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。 教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。
6、例1的教学。 学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。
7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。 学生独立求出直线的方程： （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
8、观察方程，它的形式具有什么特点？ 深入理解和掌握斜截式方程的特点？ 学生讨论，教师及时给予评价。
问 题 设计意图 师生活动
9、直线在轴上的截距是什么？ 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。 学生思考回答，教师评价。
10、你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中和的几何意义是什么？你能说出一次函数图象的特点吗？ 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。
11、例2的教学。 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中的几何意义。 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）时， 有何关系？（2）时，有何关系？在此由学生得出结论：且；
12、课堂练习第100页练习第1，2，3，4题。 巩固本节课所学过的知识。 学生独立完成，教师检查反馈。
13、小结 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
14、布置作业：第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题 巩固深化 学生课后独立完成。4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象，周期性；
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x|
例2 用五点法作函数的简图.
例3　分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象
六、板书设计：3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？ 使学生理解直线和二元一次方程的关系。 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论： 关于的二元一次方程，它都表示一条直线。 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 使学生理解直线方程的一般式的与其他形 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：
问 题 设计意图 师生活动
式的不同点。 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。 使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。 教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学 已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。 学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。 使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在轴上的截距。求直线与轴的截距，即求直线与轴交点的横坐标，为此可在方程中令=0，解出值，即为与直线与轴的截距。 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。
7、课堂练习 第105练习第2题和第3（2） 巩固所学知识和方法。 学生独立完成，教师检查、评价。
问 题 设计意图 师生活动
8、小结 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。 （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 （3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业 第106页习题3.2第10题和第11题。 巩固课堂上所学的知识和方法。 学生课后独立思考完成。课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
1、 引入课题
（备选引例）
1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
到2050年我国的人口将达到多少？
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2． 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
4． 上面的几个函数有什么共同特征？
2、 新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
5． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
3、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
4、 作业布置
1． 必做题：教材P69习题2．1（A组） 第5、6、8、12题．
2． 选做题：教材P70习题2．1（B组） 第1题．
——————————————第 1 页 （共 4页）——————————————4-1.2.1任意角的三角函数（3）
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复习课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值时,有意义
4．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
2、 讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1）； （2）
2、已知，则为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号；
（2）若tan(cosθ)cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出的取值范围.
4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．
3、 巩固与练习
1 求函数的值域
2 设是第二象限的角，且的范围.
四、小 结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα2、
3、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称，角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.
六、板书设计：课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
1、 引入课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
3．f(x) = x2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
2、 新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
课本P38练习第3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
3、 归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
4、 作业布置
1． 书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
2． 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
y
x
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
x
y
-1
1
-1
1
x
y
-1
1
-1
1
x
y
-1
1
-1
1
x
y
-1
1
-1
1
x
y
第 1 页 （共 3页）教学设计案例
4.3.1空间直角坐标系
1． 教学任务分析
使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。
通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。
2． 教学重点和难点
重点：空间直角坐标系中点的坐标表示
难点：空间直角坐标系中点的坐标表示
3． 教学基本流程
设情景引入空间直角坐标系的建立
空间中任意一个点的坐标表示
通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解
教师讲评小节
学生完成课后练习1、2
4． 学情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？ 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。
问题 问题设计意图 师生活动
（2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1] 体会空间直角坐标系的建立过程 师：引导学生看图[1]，单位正方体，让学生认识该空间直角坐标系O—中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系。
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2] 学生从（1）中的感性向理性过渡 师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标师：如果给定了有序实数组，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答
（4）例1、例2 学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性 师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。
（5）练习2 学生在原宥小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成
（6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？ 让学生的自信心得到增强 生：谈收获师：总结秦九韶算法
一、教学目标：使学生掌握秦九韶算法的基本思想方法，并会设计其程序框图，且会将其转化为程序语句。
二、德育目标：通过学习使学生了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。
三、教学重点和难点：程序框图的设计。
四、教学过程：
1、引入：秦九韶简介：秦九韶 （公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种。即f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5
在x=-0.2的值
2、新授：
（1） 问题的转化：
先由学生直接代入计算的结果；然后再代入
f(x)=1+(1+(0.5+（0.16667+（0.04167+0.00833x）x）x)x)x
计算并把两算法进行比较，显然后者的计算量要少的多。因此计算类似问题可以用逐次提取的办法，然后利用递推公式：
进行计算，于是可以利用循环结构设计出算法。
（2）程序及框图：
（3）Scilab语言：
x=input("Please Enter x:");
n=input("Please Enter n:");
result=input("The first xishu");
for i=1:1:n
a=input("xishu: ");
result=result*x+a;
end
disp(result,"The result is:");
3、课堂小结：
4、课堂练习：
（1） 用秦九韶算法求多项式
f(x)=9x6+21x5+7x4+64x3+34x2+8x+1的值时，需要的乘法运算次数是 ，加法运算次数是 。
（2）写出求x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的一个算法。
5、课后作业：
课本39页习 题1—3A组 第4题
开始
输入 x,n;a0,a1,a2,…,an
k=n,s=an
k>0
否
是
k=k-1
S=ak+Sx
输出S
结束4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y= 都是奇函数。
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z
y=cosx的对称轴为x= k∈Z
（1）写出函数的对称轴；
（2）的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x;
(3)
（4）
（5）；
例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)函数图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5).
例4 已知
(1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性；
(3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线对称，求b的值.
例6 已知，试确定函数的奇偶性、单调性.
1. 有关奇偶性
（1）
（2）
有关单调性
（1）利用公式，求证在上是增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①；
②
（3）比较大小；
（4）求函数的单调递增区间；
2、 巩固与练习
练习讲评
（1）化简：
（2）已知非零常数满足，求的值；
（3）已知
求值：（1）；（2）
解：
（1）
（2）
（3）两式平方相加得；
两式平方相加得
即
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材
六、板书设计：4-1.1.2弧度制（2）
教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
二、由公式： 比相应的公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例一 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解： ⑴：
⑵： ∴
例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例四 计算
解：∵ ∴
∴
例五 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
三、练习：
四、作业：
o
R
S
l
o
A
B
R=45
604-1.2.1任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
．
2．三角函数的符号：
练习2：已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）， （2）， （3）．
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan 3 cot与cot
解： 如图可知：
tan tan
cot cot
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1 sin≥ 2 tan
解： 1 2
30≤≤150 3090或210270
例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）．
六、板书设计：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
x
y
o
T
A
210
30
x
y
o
P1
P2案例：1.2.3 循环语句
一、教学目标：
1．知识与技能：（1）通过具体的实例理解，了解循环语句的结构特征，掌握循环语句的具体应用；
（2）利用循环语句表达结局具体问题的过程，体会算法的基本思想；
2．过程与方法：借助框图中的循环结构，借助Scilab语言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性
3．情感、态度与价值观：在学习过程及解决实际问题的过程中，尽可能的用基本算法语句描述算法、体会算法思想的作用及应用，增进对算法的了解，形成良好的数学学习情感、积极的学习态度。
二、教学的重点、难点：
1．重点：理解for 语句与while语句的结构与含义，并会应用
2．难点：应用两种循环语句将具体问题程序化，搞清for循环和while循环的区别和联系
三、教学方法与手段：
采用观察、分析、抽象、概括、自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 请同学们思考以下的问题：1．期末考试后，我们要求求出全班60名同学的数学成绩的总分，你采用什么方式进行计算？2．某单位在1000名职工中寻找年龄最小的人参加某项活动，你采用什么方法进行筛选？问题1：逐个相加计算得到总分；问题2：逐个鉴别分析，得到最小值； 学生思考回答 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生的解决实际问题的能力
概念形成 解决以上两个问题时采用的方法有怎样的共同特点 应选用何种结构来实现共同特点：有规律的重复计算，或者在程序中需要对某些语句进行重复的执行，即对不同的运算对象进行若干次的相同的运算或处理选用结构方式：循环结构Scilab程序语言中提供两种循环语句：for循环和while循环 学生独立思考，交流讨论、教师予以提示，协助梳理、点拨指导 由特殊到一般培养学生的观察、归纳、概括能力
概念深化 I 、for循环语句请同学们看下面的一个例子：例1．求1+2+3+…+1000= (教材P27)分析：算法思想：可以采用重复计算，而且数字1、2、3、…、1000是有规律的一列数，逐渐循环递增，每次增幅为1解答：用for循环语句来实现计算 步骤：这个程序一共四步：第一步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0。第二步开始进入for循环语句，首先设i为循环变量，分别设定其初值、步长、终值。这里初值为1，步长为1（步长是指循环变量i 每次增加的值。步长为1，可以省略不写，若为其他值，则不可省略），终值为1000。第三步为循环表达式（循环体）。第四步用“end”控制结束一次循环，开始一次新的循环。循环体认识：第三步循环表达式“S=S+i”的理解：i=1 S=S+i 是 S=S+1,并把0+1赋值给S,第一次循环结束S为1，此时S记录了第一个数的值，遇到“end”开始第二次循环； i=2 S=S+i 是 S=S+2,并把1+2赋值给S,第二次循环结束S为1+2=3，此时S记录了前两个数的和，遇到“end”开始第三次循环； i=3 S=S+i 是 S=S+3,并把（1+2）+3赋值给S,第三次循环结束S为1+2+3=6，此时S记录的是前三个数的和，遇到“end”开始第四次循环；…结果输出：把上述程序存到一个文件（“C：/gao/instum.sci”），点击菜单中的“Load into Scilab”就会在Scilab中执行你写的程序：（教材P28——P29)相关内容总结：for循环语句的格式课堂练习：教材P31 练习A 1II、while循环语句请同学们看下面一个例子：例2 求平方值小于1000的最大整数分析：算法思想、正数范围、逐个比较，若小于1000，循环继续；若大于等于1000，结束循环，输出结果。while 语句格式 循环体认识：首先要求对表达式进行判断，如果表达式为真，则执行循环体部分，每次开始执行循环体前，都要判断表达式是否为真。这样重复执行，一直到表达式值为假时，就跳过循环体部分，结束循环。解答：Scilab的格式来解决这个问题在输入完程序的第二行后，击Enter键，再在提示符下输入j，击Enter键后，输出最大的j值步骤：第一步是选择一个变量j表示数值，并赋给初值1；第二步开始进入while循环语句循环体：j*j<1000,j=j+1;解释：j=1时，1*1=1<1000, j=1+1=2；遇到end开始第二次循环； j=2时，2*2=4<1000, j=2+1=3;遇到end开始第三次循环；… 第三步单击Enter键，再在提示符输入j，击Enter键，输出最大j值课堂练习：教材P31 练习B 2 学生探讨思考，算法思想渗透，教师归纳整理，给出语句结构激发学生兴趣，引导学生猜想，思考、观察、归纳，教师诱导、点评 使学生在具体实例中掌握算法思想、细化通过步骤分析、归纳、整理、使学生再次经历由特殊到一般、由具象到抽象的思维过程，培养学生的归纳、概括能力
应用举例 例3 教材P30 例题（略）课堂练习：练习：P31 A 2，3，4 B 3,4 通过学生思考、解答交流，教师巡视，注意个别指导，发现普遍性问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论 加强学生对于概念的理解，培养学生独立解决问题的能力，并加强学生的相互纠错能力。使学生深入了解课堂内容。
归纳小结 引导学生回归本节课所学的知识及数学思想方法：（1）循环语句：for循环语句，while循环语句 （2）培养学生观察、归纳、概括能力，深入理解算法思想的应用 （3）善于用算法思想解决实际问题 学生先自觉回忆本节收获并交流，教师板书，并加强归纳整理 通过师生合作总结，使学生对本节课所学的知识结构有一个明确的认识，抓住本节的重点。
作业 教材 P31 1-2 A 4 ; B 3
--> j=1;
--> while j*j<1000,j=j+1; end
--> j=j-1;
--> j
j=
31.
while 表达式
循环体
end
for 循环变量=初值；步长；终值
循环体
end
S=0
for i=1:1:1000
S=S+i;
end课题:赋值,输入和输出语句
(1) 教学目标
1.知识与技能目标
(1)初步了解基本的算法语句中的赋值,输入和输出语句特点.
(2)理解基本算法语句是将算法的各种控制结构转变成计算机能够理解的程序语言.
(3)结合Scilab的程序语言,初步掌握赋值,输入和输出语句的结构以及如何编写对应的Scilab程序及在计算机上实现算法.
2.过程与方法目标
(1) 通过上机编写程序,在了解三种语句的应用规则的基础上,运用算法语句实现运算.
(2) 通过模仿,操作,探索的过程,体会算法的基本思想和基本语句的用途,提高学生应用数学软件的能力.
3.情感,态度和价值观目标
(1) 通过对三种语句的了解和实现,发展有条理的思考,表达的能力,提高逻辑思维能力.
(2) 学习算法语句,帮助学生利用计算机软件实现算法,活跃思维,提高学生的数学素养.
(3) 结合计算机软件的应用, 增强应用数学的意识,在计算机上实现算法让学生体会成功的喜悦.
(2) 教学重点和难点
1.教学重点:赋值,输入和输出语句的基本结构特点及用法.
2.教学难点:三种语句的意义及作用.
(3) 教学方法
引导与合作交流相结合,学生在体会三种语句结构格式的过程中,让学生积极参与,讨论交流,充分挖掘三种算法语句的格式特点及意义,在分析具体问题的过程中总结三种算法语句的思想与特征.运用计算机教学,
(4) 教学过程
教学环节1:提出问题
教学内容:
教师提出前面的例子:鸡兔同笼问题的一个算法:
S1: 输入鸡和兔的总数量M
S2: 输入鸡兔腿的总数N
S3: 鸡的数量
S4: 兔的数量B=M-A
如何才能把这些文字语言写成计算机识别的程序语言并能够运行呢
对于题目中的输入,输出及鸡和兔的数量的表示A,B的表示使同学们对程序语言的表述产生了兴趣,抓住时机进入下一个环节,介绍定义.
在上一节,我们学习算法和程序框图时,就指出了用顺序结构,条件分支结构和循环结构就可以表示任何算法.如何将算法的这些控制结构,转变成计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序呢 现在计算机能够直接或间接理解的程序语言有很多种,这些程序语言都包含了一些基本的语句结构:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句和循环语句.本节课我们就结合Scilab的程序语言,学习赋值语句,输入和输出语句进行分析,帮助大家更好地理解这些语句地结构以及在解决数学问题中的应用.
教学环节.2.概念形成及深化
(1)赋值语句:在表述一个算法时,经常要引入变量,并赋给该变量一个值,用来表明赋给某一个变量的一个具体的确定值的语句叫做赋值语句.
赋值语句的一般格式:变量名=表达式
教师引导对于赋值语言的格式和意义进行进一步的探究.
①“=”的意义和作用:赋值语句中的“=”号,称作赋值号.
教师指出:赋值号与等式中等号的区别.
②赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把该值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的值.
教师指出:赋值语句是程序中是最常用的一种语句.例如:
关于赋值语句,需要注意几点:
①赋值号左边只能是变量名,而不是表达式.例如都是错误的.
②赋值号左右不能对换.
教师指出:赋值语句是将赋值号右边的表达式赋值给赋值号左边的变量.例如:,表示用的值替代变量原先的取值,不能改写成,因为后者表示用Y的值替代变量X的值.
③不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算.
教师指出:在赋值语句中的赋值符号右边的表达式中的每一个变量都必须事先赋值给确定的值,不能用赋值语句进行如化简,因式分解等演算,如是不能实现的.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或多个“=”.
④赋值号和数学中的等号的意义不同.
教师指出:赋值号左边的变量如果原来没有值,则在执行赋值语句后,获得一个值.例如等;如果原来已经有值,则执行该语句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将原值“冲掉”.例如:在数学中是不成立的,但在赋值语句中,意思是将的原值加1再赋给,即的值增加1.
⑤在一些程序中,也可以在界面窗口中直接赋值.
教师指出:比如在Scilab窗口界面内赋值并计算三个数的平均数,可在窗口中输入:
-->a=5;b=7;c=9
-->aver=(a+b+c)/3
aver=
7
这个程序中前2行是给变量赋值,后两行是显示变量aver的值.
(2)输入语句
在某些算法中,变量的初值要根据情况经常的改变,一般我们把程序和初始数据分开,每次算题时,即使初始数据改变,也不必改变程序部分,只要每次程序运行时,输入相应的数据即可,这个过程在程序语言中,用输入语言来控制.
教师指出:输入语句的意义是,在编写程序中可以把程序和初始数据分开,达到用程序解决一类问题的目的,也就是说在程序中用字母(变量)代替数,在解决具体问题时,对变量赋值.下面以Scilab为例,说明输入语句的用法.
输入语句的一般格式:变量=input(“提示内容”)
教师指出:我们来看一个例子
我们要计算任一个学生的语文,数学和外语三门考试的平均成绩,就要输入这个学生三门课的成绩,在Scilab文本编辑器中写出如下程序:
a=input(“Chinese”);
b= input(“math”);
b= input(“foreign language”);
av er=(a+b+c)/3
程序中分别请求输入语文,数学,英语成绩并分别赋值给a,b,c,并把(a+b+c)/3的值赋给aver.把程序保存在一个文件中,点击打开时立即会在Scilab截面中运行:
-->exec(`c:\gaobook\aver.sci`)
chinese--> 这时输入一个学生的语文成绩例如90,点“Enter”,界面出现:
math--> 这时输入一个学生的语文成绩例如80,点“Enter”,界面出现:
foreign language--> 这时输入一个学生的语文成绩例如79,点“Enter”,界面出现:
aver=83
学生通过这个例题的讲解,结合计算机程序上机运用,可以掌握在Scilab语言程序中,input叫做键盘输入语句,体会到输入语句在程序中的意义和作用.
几点说明:
①输入语句中a=input(“Chinese”)中,真正起作用的是a=input( ),它将键盘输入的数值赋给a,括号中的chinese仅仅是提示作用,提醒用户输入的是语文成绩.
②输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数,变量或者表达式,例如等都不行;另外输入语句可以输入单个或者多个字符,例如:x=input(“I am a student”); x=input(“what is your name ”)等等.
③在Scilab中,还有“read”等其他输入语句,在其他各种语言程序中,一般都有自己的输入控制语言,它们的作用是相同的,只是每种语言的控制代码和表现形式不同.
④以鸡兔同笼为例写出一个算法程序,并写出每步程序语句的作用.解体过程见课本,巩固赋值语言和输入语言的作用和意义.
(3)输出语句
任何求解问题的算法,都要把求解的结果输出,因此任何的程序语言也都有自己的输出语句来控制输出,不同的程序语言都有自己的输出语句和表现形式,但功能是一样的,就是以某种形式把求解结果输出出来.以Scilab为例,有各种输出语句,入print,write,format,printf,disp.
输出语言一般格式: print(%io(2),表达式)
课本对“print”语句举例说明.
例题:一个算法是,用Scilab中的rand()函数,首先生成一个0~1之间的随机数并把它赋值给变量a,再把3赋值给变量b,把a+b赋值给变量c,最后把它们都输出到屏幕上.这个算法用Scilab程序写出,并用print(%io(2),a,b,c)语句控制输出,运行界面内写出程序如下:
a=rand();b=3;c=a+b; print(%io(2),a,b,c)
c=
307560439
b=
3.
a=
.7560439
教师指出:
①print(%io(2),表达式)中的表达式指程序要输出的数据,输出语句可以输出常量,变量或表达式的值,例如print(%io(2),B), print(%io(2),4*3)等.
②print(%io(2),a,b,c)在屏幕上输出的顺序是c,b,a
③print(%io(2),a,b,c)中的io表示input-output(输入-输出)
教学环节3:概念的初步应用.
教学内容:关于赋值,输入和输出三种语言的基本格式,应用和意义在概念深化中已经有所体现,并结合例题的讲解进行了适当的说明和补充,此处借助课本的课后练习对三种语言进行初步的应用,仿照课本例题的结构内容写出相应的程序,并按照要求写出每个语句的作用和意义,并借助计算机进行程序的实现.
练习1.课本25页A组第3题.
a=input(“a=”)
b= input(“h=”)
S=a*h
print(%io(2),S)
教师讲解:让学生自主发现每步程序的意义,体会赋值,输入和输出语句的意义和作用.
练习2.课本25页B组第4题
x1=input(“x1=”);
x2=input(“x2=”);
y1=input(“y1=”);
y2=input(“y2=”);
d=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1))
教师讲解:注意Scilab程序语言中一些常用的规定,比如表达式中的乘号*一定不能省略,也不能用原点或者代替;表达式中的括号一律用小括号,方括号[]另有它用;除法用符号“/”,不能写成分式的形式,被除式与除式必要时应各自加小括号,以免混淆;标准函数的自变量应放在小括号内,如sin(x),圆周率写成“%pi”,自然对数的底写成“%e”,绝对值写成abs(x),x的平方写成x*x或x^x.
教学环节4.归纳总结
学生总结:赋值语句,输入语句,输出语句的一般格式
教师介绍:本节课通过通过分析具体实例,掌握三种语言的特点和一般格式,会用三种语言编写最基本的程序.
课后作业:课本25页练习A组第1,2,4题,B组第3题.课题：条件语句
1、 教学目标：
1、 知识与技能目标：通过实例掌握条件语句的格式及程序框图的画法、程序的编写.
2、 过程与方法目标：在教学过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。
(1)逻辑思维能力：通过实例使学生体会算法的思想加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。
(2)转化的思想方法：通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成计算机语言，体现转化的思想方法。
3、 情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神
2、 教学重点与难点：
重点：程序框图的画法、程序的编写.
难点：程序的编写
3、 教学方法：诱思探究.
4、 教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 提问：画程序框图的图形符号及规则是什么？一个实例：某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3min，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3min，则超过部分以0.1元/min收取通话费（t以分钟计，不足1min按1min计），试设计一个算通话费用的算法，用Scilab语句描述.3、怎样设计这个算法呢？ 师问生答.学生思考并且再想一些生活中、数学中的其他例子并回答. 画程序框图是解决问题的必要的一步，能使问题得到简化，所以有必要复习一遍。现实生活中的实际例子可以使同学们对数学产生更大的兴趣.学生带着问题听课可以提高听课效率.
概念形成教学环节 条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句叫条件语句.Scilab语言中的条件语句分为if语句和select━case语句.if语句的一般格式是：if 表达式 语句序列1；else 语句序列2end该语句的功能：如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句教学内容 学生从这些例子中得到：这些问题所牵扯到的算法都包含了一种基本逻辑结构━条件分支结构.老师讲过if语句的格式后，可以问if语句最简单的格式是什么？ if表达式 语句序列1； end师生互动 先让学生知道概念并理解概念，然后指导解题.设计意图
序列1；如果表达式结果为假，则执行else后面的语句序列2
概念深化 任给一个实数，求它的绝对值. 开始 解：a=input(“a=”) if a 0 输入a x=a else a 0 x=--a 是 否 end x=a x=-a print(%io(2),x) 输入x 结束 学生自阅课本P26第二段、第三段及例子。 加深对概念的理解.
应用举例应用举例 儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m，则无须购票; 若身高超过1.1m不超过1.4m,英买全票.试设计一个购票的算法,写出程序并划出程序框图.程序:h=input(“h=”)if h<=1.1print(%io(2), “免费乘车”)else if h<=1.4 print(%io(2), “半票乘车”)else print(%io(2), “全票乘车”) endend程序框图如图:开始输入hh≦1.1是 否输出“免费乘车” h≦1.4 是 否输出“半票乘车” 输出“全票乘车结束 可以师生共同分析得此题的算法步骤为:S1测量儿童身高hS2如果h≦1.1,那么免费乘车; 如果h≦1.4,那么购半票乘车;否则,购买全票.仿照例子由学生做这节课刚开始的引例及课本P27A2、B1师生共同完成P27B4 实际问题要先建立模型
归纳小结 条件语句的基本形式、应用范围及对应的程序框图。条件语句与算法中的条件结构相对应，语句形式较为复杂，要借助框图写出程序。 有一位学生总结，其他同学补充，教师完善。 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
布置作业 看课本必做题：P27　B2，3选做题:（1）P27　　B4　(2)从生活中找出一个例子，写出它的程序及框图。 作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、投影问题
直线a与平面α平行吗？
若α内有直线b与a平行，
那么α与a的位置关系如何？
是否可以保证直线a与平面α平行？
学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成
该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维
练习：教材第57页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
α
a
α
a
b
EMBED PBrush4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
1、 教学目标：
2、 使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
4、 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
5、 教学重点和难点：
6、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
7、 难点：确定五个关键点。
8、 教学过程：
9、 思考探究
10、 复习
（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
（2） 观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？
（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。
（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
描点、连线，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)
（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。
　　　解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosｘ 1 0 -1 0 1
　　 描点、连线，画出简图。
1、 自主学习
例1． 画出下列函数的简图：
（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
1+ Sinｘ 1 2 1 0 1
描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosx 1 0 -1 0 1
- Cosx -1 0 1 0 -1
描点、连线，画出简图。
2、 合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
3、 归纳小结
1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点
横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π
2、图形变换
平移、翻转等
4、 布置作业
P53：A组1 P54：B组1§1.1.3 集合的基本运算
教学目的：
1、深刻理解并掌握交集与并集的概念及有关性质；
2、掌握全集与补集的概念及其表示法.
教学重难点：交集与并集的概念、性质及运算
教学过程：
（1） 复习：子集的概念及有关符号与性质
提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系.
解： A=1，2，3，6}， B={1，2，5，10}， C={1，2} CA，CB
（二） 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，
集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合.
（三） 补集
1、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合.集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合.
结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集
记作： CsA 即 CsA ={x xS且 xA}
2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} CsA ={2，4，6}
（四）并集与交集
1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
2、 定义：
（1）交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A和集合B的交集，记作A∩B，即A∩B ={x|xA且xB}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A和集合B的并集，记作A∪B ，即A∪B={x|xA或xB}.
（五）例题与练习
例1、(1) 若S={2，3，4}，A={4，3}，则CsA= .
(2) 若S={三角形}，A={锐角三角形} ，则CsA= 。
(3) 若U={1，3，a2+2a+1 }，A={1，3} ，则a= 。
(4) 若A={0，2，4}，CUA={-1，2}， CUB={-1，0，2}，求B= 。
练习1：判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}，则CUA={平行四边形}
（2）若U是全集，且AB，则CUACUB
（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=
思考：已知A={x|x<3}，B={x|x（1）若AB，CRBCRA是否成立？
（2） CRACR(CR(CRB)，求a的取值范围.
例2、新华中学开运动会，设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B .
例3、设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，用集合的运算表示l1、l2的位置关系.
练习2：
1、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形}， 求A∩B.
2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5} ， 分别求出满足下列条件的a的取值范围 : (1) A∩B= (2) A∩B=A
例4、已知集合A={4，5，6，8},B={3，5，7，8}，求A∪B.
例5、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B.
例6、已知U={x|x是小于9的正整数}, A={1，2，3} ，B= {3，4，5，6}，求CUA，CUB.
练习3：
2、 全集U={x|x≤8,且x∈N*},A U,B U 且A∩B={4,5},
(CUB)∩A={1,2,3} ,(CUA)∩(CUB)={6,7,8},求集合A和B.
3、已知A={x|-1＜x＜3},A∩B=,A∪B=R,求B.
4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0} ，C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值.
（六）小结
全集、补集、交集、并集的有关概念和性质及其运算
（七）作业
S
CsA
A
c d a b e f
c d a b e f两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
　 (一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(二)能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
(三)学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
　 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
　 教学过程
　 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．
即　 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出　: α1=90°+α2． L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1　 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94 练习 1. 2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
布置作业
P94 习题3.1 5. 8.
板书设计第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵ ∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成 ∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
（1） 、算出样本数据的平均数。
（1） 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（1） 、算出（２）中的平方。
（1） 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（1） 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１ 练习 1. 2. 3　４
【课堂小结】
1． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
（1） 用样本平均数估计总体平均数。
（1） 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
1． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
1． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２ 习题2.2 A组 ３、 ４、１０§1.1.2 集合间的基本关系
教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.
教学重难点：1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；
2、空集的概念以及与一般集合间的关系.
教学过程：
一、 复习（结合提问）：
1．集合的概念、集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．关于“属于”的概念
二 、新课讲授
（一）子集的概念
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB (或BA)，读作“A含于B”（或“B包含A”）.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB 已(或BA)
（二）空集的概念
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.
（三）“相等”关系
1、实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果AB 同时 BA 那么A=B）.
2、 ① 任何一个集合是它本身的子集. AA
② 真子集：如果AB ,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A B
③ 空集是任何非空集合的真子集.
④ 如果 AB, BC ,那么 AC.
证明：设x是A的任一元素，则 xA
AB,xB 又 BC xC 从而 AC
同样；如果 AB, BC ,那么 AC
（三）例题与练习
例1、 设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}
AB，求a的值
练习1：写出集合A={a，b，c}的所有子集，并指出哪些是真子集？有多少个？
例2 、 求满足{x|x2+2=0} M{x|x2-1=0}的集合M.
例3、 若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|ax+1=0}
且B A，求a的值.
练习2： 集合M={x|x=1+a2，aN*}， P={x|x=a2-4a+5，aN*}
下列关系中正确的是（ ）
A M P B P M
C M=P D M P 且 P M
三、小结
子集、真子集、空集的有关概念.
四、作业§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（五）作业：4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360=2rad ∴180= rad
∴ 1=
例一 把化成弧度
解： ∴
例二 把化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合
解：1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业：
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
正角
零角
负角
正实数
零
负实数3．3．3两条直线的位置关系
―点到直线的距离公式
三维目标：
知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；??
能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学方法：学导式
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程
?一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：
.
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
可证明，当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：d=
例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
解：设AB边上的高为h，则
S=
，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=，
因此，S=
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：114页第1，2题。
4．拓展延伸，评价反思。
（1） 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为
又
即，∴d＝
的距离.
解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥
例3 求两平行线：，：，所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：∥又.
由两平行线间的距离公式得
四、课堂练习：
1， 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。
五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.
14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：
15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
七．板书设计：略1.5函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin(wx+)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。
教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
1、 复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2. 函数y = sin(xk)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右)平移k个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的倍。
4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0二、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x3 +)的图像，再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y = sin(2x +)的图像，再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +)图像。
归纳2：函数y = Asin(wx+)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(>0)或向右(>1)平移||个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(01. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。四、指导创新
上面我们学习了函数y = Asin(wx+)的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+)的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+)的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+)的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+) (A>0，w>0)图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+)图像的一般公式。
原因：y = sinx y =Asinwx
y = sinw(x+) = sin(wx+w)y = Asin(wx+w)
一般公式：将平移变换单位改为：即可。
五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+)的图像由y = sinx图像的得到。
六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx的图像而得到的。
⑴y = 5sin(x+)；⑵y =sin(3x)
2. 完成下列填空
⑴函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑵函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑶函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？
⑷函数y = 2tg(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
七、布置作业(略)课题：§1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示
教学目标 1．知识与技能：通过设计流程图来表达解决问题的过程，了解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。理解掌握前两种，能设计简单的流程图。
2．过程与方法：通过模仿、操作和探索，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力。
3．情感与价值观：通过算法实例，体会构造的数学思想方法；提高学生欣赏数学美的能力，培养学生学习兴趣，增强学好数学的信心；通过学生的积极参与、大胆探索，培养学生的探索精神和合作意识。
教材分析 重点：顺序结构和条件分支结构的理解及应用。
难点：条件分支结构的应用。
教学方法 根据本节课的特点，贯彻“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采用“启发引导”、“自主探究”的教学方法；通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，通过适当例题、习题的练习，引导学生积极思考、归纳总结，灵活掌握知识，使学生从“知”到“会”到“悟”再到“用”，提高学生的数学素养。
教具学具 利用多媒体提高课堂效率
教学过程
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 以学生比较熟悉的公园导游图、医院的导医图及商场的导购图为背景提出图的结构。 教师提出问题，学生思考、回答并互相补充。 以学生熟悉的图引入，体现数学来源于现实并应用于现实。
复习引入 1. 复习框图的符号和意义.2. 复习画流程图的规则3. 出示上节课的流程图。4. 引入流程图的逻辑结构。 教师提问，学生回答，并相互补充，学生思考、探究、抽象。 落实上节课的基本知识；利用上节课的流程图，学生很熟悉，易于集中精力思考、抽象新问题；从另一角度、层次提出问题，激发学生的求知欲，培养学生“多思、勤思”的习惯。
概念形成 1. 顺序结构的概念2. 顺序结构一般形式例1. 课本11页例1 教师出示概念和结构图的一般形式。学生理解、记忆。学生做，教师启发，师生共同完成，规范做题格式，简化解题步骤。注意：课本的图有点小错误，且不够简洁 规范学生的语言和作图形式，培养学生的语言表达能力和作图能力，培养学生的抽象概括能力。使学生加深对概念的理解，培养学生应用知识的能力
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 1. 条件结构分支结构的概念2. 条件结构分支结构的一般形式 教师出示概念、结构图的一般形式，学生观察、理解、记忆，比较和顺序结构的区别。 规范学生的语言和作图形式，培养学生的语言表达能力和作图能力，培养学生的抽象概括能力。
应用举例 例2 课本12页例3 课本13页小结：两种结构的共性1）一个入口，一个出口。特别注意：一个判断框可以有两个出口，但一个条件分支结构只有一个出口。2）结构中每个部分都有可能被执行，即对每一个框都有从入口进、出口出的路径。以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法（当然，学习循环结构后，循环结构也有此特点） 学生做，教师启发，师生共同完成，规范做题格式，简化解题步骤。注意：例2和例3分别反映了条件分支结构的两种情况。 使学生加深对概念的理解，培养学生应用知识的能力。
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
练习反馈 练习：课本13页练习A组1，2，3，4 14页练习B组 1，2，3思考题超市购物：购物不足250元的，无折扣购物满250元（含，下同），不足500元的，打九五折购物满500元，不足1000元的，打九二折购物满1000元，不足2000元的，打九折购物满2000元的，打八五折试画出此算法的流程图（多分支）解：略 学生练习，教师巡视，发现问题，个别指导，增进师生感情。 通过学生亲手练习，巩固所学知识，并能在练习中发现学生存在的问题，及时补救，培养当堂问题当堂解决的好习惯。思考题是一个比较综合利用顺序结构、条件分支结构的题目，为提高学生的综合应用能力；为学有余力的学生准备，体现教学中尊重学生的个性差异，不同层次的学生有不同的要求。
归纳总结 1. 通过本节课的学习，我们掌握了算法框图的顺序结构和条件分支结构及利用这两种结构设计算法流程图。2. 通过模仿、操作、探索，体会了构造性的思想方法、数学的模式化思想以及分类讨论的思想。3. 数学上学习算法应注意从算理、思想方法以及思维形式的高度理解问题。 学生总结，教师补充。 通过学生在知识、方法、应用几方面总结，使所学知识条理化、系统化，这也是知识的内化过程。同时培养学生概括、归纳能力，注重数学思想方法的提炼，
课后作业 作业：课本13页练习A组 5 14页练习B组 4课本 19页习题1——1A 组3，4选做题：19页习题1——1B 组2 巩固本节课知识、技能，培养良好学习习惯，提高学生综合应用的能力。设计选做题使不同学生都得到提高
A
B
C
条件
处理
是
否
条件
处理1
处理2
是
否中国古代数学中的算法案例
教学目标：
1． 知识与技能目标：
（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；
（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
2． 过程与方法目标：
（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
3． 情感与价值目标：
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：　
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设　　　情境引入新课 引导学生回顾人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。 教师引导，学生回顾。教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。 通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
阅读课本探究新知 求两个正整数最大公约数的算法学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：例１：求７８和３６的最大公约数利用辗转相除法步骤：计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。理论依据： ，得与有相同的公约数更相减损之术指导阅读课本P----P，总结步骤步骤：以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数即，理论依据：由，得与有相同的公约数算法： 输入两个正数； 如果，则执行，否则转到； 将的值赋予； 若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行； 输出最大公约数程序:a=input(“a=”)b=input(“b=”)while a<>b if a>=ba=a-b;else b=b-aendendprint(%io(2),a,b) 学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。教师巡视，加强对学生的个别指导。由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。 数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用举例 例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。（1）225，135 （2）98，280例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。 学生练习，教师巡视检查。学生回答。 巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化算法应用举例 2．割圆术魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。阅读课本P----P，步骤：第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：，，，…，。第四，圆面积满足不等式　估计的近似值，即圆周率的近似值。算法：设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得，则图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即 （）利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。程序：n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for I=1:1:16h=sqrt(1-(x/2) 2);s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt((x/2) 2+(1-h) 2);endprint(%io(2),n,s) 学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。 割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。
归纳小结 1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；2．割圆术的算法 学生小结并相互补充，师生共同整理完善。 学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业 习题1—3 1，2选作 习题1—3 巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4 如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排
PAGE
44-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
（5）比值叫做α的正割，记作，即；
（6）比值叫做α的余割，记作，即．
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.?
3．例题分析
例1．已知角α的终边经过点，求α的六个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
； ；
； ．
例2．求下列各角的六个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（3）因为当时，，，所以
， ，
不存在， ，
不存在， ．
例3．已知角α的终边过点，求α的六个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
为正 全正
为正 为正
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、巩固与练习
1 确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
2 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
五、课后作业：
补充：1已知点，在角的终边上，求、、的值。
2已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值
解：由定义 ： sin= cos= ∴2sin+cos=
六、板书设计：课题：§1.2.2函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
教学过程：
1、 引入课题
1. 复习：函数的概念；
2. 常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
2、 新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：是否连线；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
课本P27练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
本例能否用解析法？为什么？
巩固练习：
课本P27练习第2题
例3．画出函数y = | x | ．
解：（略）
巩固练习：课本P27练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
课本P27练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
()
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
3、 归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
4、 作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第8—12题 （B组）第2、3题
第 1 页 （共 4页）高中数学新课标必修5第一章
数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
1、 课本第23页练习第6、7、8题
2、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第三课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离 (角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10，
ADC =180-4，
= 。
因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30
=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= --------- ①
在RtADE中，sin4=, --------- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
●板书设计
●授后记
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海口十四中课题：§1.3.2函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
1、 引入课题
1．实践操作：（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
2．观察思考（教材P39、P40观察思考）
2、 新课教学
（一）函数的奇偶性定义
象上面实践操作中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1．（教材P36例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：（略）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
巩固练习：（教材P41例5）
例2．（教材P46习题1．3 B组每1题）
解：（略）
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
（教材P41思考题）
规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
巩固练习：（教材P42练习1）
3．函数的奇偶性与单调性的关系
（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
3、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
4、 作业布置
1． 书面作业：课本P46 习题1．3（A组） 第9、10题， B组第2题．
2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：
；
；
（）
3． 课后思考：
已知是定义在R上的函数，
设，
试判断的奇偶性；
试判断的关系；
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
第 1 页 （共 4页）4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．生：看图，并说出自己的看法．
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？ 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．
问 题 设计意图 师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．
3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力． 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法． 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．
5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？ 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系． 师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．
6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤． 生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？ 进一步深化“数形结合”的数学思想． 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．通过例2的学习，你发现了什么？ 明确弦长的运算方法． 师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4． 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系． 师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
作业：习题4．2A组：1、3．3.1 函数与方程
§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目的：
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；
2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。
课时安排：3课时
教学过程：
1、 引入课题
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y= x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y= x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y= x2-2x+3的图象之间的关系.
二、新课教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的图象有如下关系：
判别式△=b2-4ac △>0 △0 △<0
二次函y=ax2+bx+c 的图象
与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0) 与x轴有唯一的交点（x1,0） 与x轴没有交点
一元一次方程ax2+bx+c=0 的根 有两个不等的实数根x1，x2 x12、函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴 有交点 函数y=f(x)有零点
3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
练习：P103 第1、2题．
思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(a) · f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(b)· f(x1)<0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到0.1）。
练习：P106 第1、2题．
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或
计算机用二分法求相应方程的近似解。
四、作业布置
1． 必做题：教材P108习题3．1（A组） 第1－6题．
2． 选做题：教材P109习题3．1（B组） 第2题
y
x1=x2
y
x
x
x2
x1
y
x
——————————————第 3 页 （共 3页）——————————————4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象
定义域：
值域：R，
当时，当时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间上函数单调递减
6.讲解范例：
例1比较与的大小
解：，，
又：内单调递增，
例2讨论函数的性质
略解：定义域：
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
图象：可看作是的图象向左平移单位
例3求函数y＝tan2x的定义域
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P．71．练习2，3，6
求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z
即x≠＋，ｋ∈Z
∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝
（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x
∴y＝tan2x的周期为．
（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
五、课后作业：
六、板书设计：
y
0
x§2.1.3 分层抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行 （ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）
A． B. C. D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用范 围
简 单随 机抽 样 （1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少
将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取 在起始部分样时采用简随机抽样 总体个数较多
系 统抽 样
将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
分 层抽 样
【例选精析】
例1、 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×2/15=100（人），300×2/15=40（人），300×2/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。
（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。
4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5年至10年 10年以上
人数 300 500 200
试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（投影片）
例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题
（投影）
让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教材P49 练习1、2
充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
共面直线
=>a∥c2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量2.5+3.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）
从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ① ②（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期
例2先化简，再求函数的周期
①
②
③证明函数的一个周期为，并求函数的值域；
例3 求下列三角函数的周期：
1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)
解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z)
f [(x+2)+ ]=f (x+) ∴周期T=2
2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]
即：f (x+)=f (x) ∴T=
3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)
=3sin()=f (x+4) ∴T=4
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-)
2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=
y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2
2 T= 作图
注意小结这两种类型的解题规律
3 y=sin2x+cos2x ∴T=
三、巩固与练习
1． y=2cos()-3sin()
2． y=-cos(3x+)+sin(4x-)
3． y=|sin(2x+)|
4． y=cossin+1-2sin2
四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期：
1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
2． 求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
六、板书设计：
课题一、知识点（一） （二） 例题：1． 2．
七、课后反思：
题选
求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
–
–
y
x
o
1
-1
2
3
-