浙江省高中联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

浙江省高中联盟2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为，圆柱的高为，底面圆的直径为，则该毛帐的侧面积（单位）是（ ）
（第3题图）
A. B. C. D.
4.已知是公差为（）的无穷等差数列的前项和，设甲：数列是递增数列，乙：对任意，均有，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.已知抛物线：（）的焦点为，点为抛物线上一点，，若，则点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A.18 B.24 C.32 D.64
7.函数（，，）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，与的图象关于轴对称，则可能的取值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A.5 B.6 C.8 D.12
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分）
9.已知平面向量，，下列叙述正确的是（ ）
A.与的夹角为45° B.与的夹角为135°
C. D.在上的投影向量为
10.已知函数，满足有三个不同的实数根，，，则（ ）
A.实数的取值范围是
B.关于点中心对称
C.
D.的值与有关
11.四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且，，为线段上一动点（不包含端点），则（ ）
A.存在点使得平面
B.存在点使得
C.四棱锥外接球的表面积为
D.为中点时，过点，，作截面交于点，则四棱锥的体积为
12.人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（ ）
A. B.
C.直线与椭圆相切时， D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）
13.展开式中常数项为______.（用数字作答）
14.已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为______.（写出一个即可）
15.已知在时恒成立，则实数的最小值为______.（注：为自然对数的底数）
16.已知数列的首项为1，且（），则的值是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，，的角平分线交于，求的值.
18.（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动.
（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：
天 1 2 3 4 5
成交额（万元） 9 12 17 21 27
求成交额（万元）与时间变量的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；
（2）小明分别获得、两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为、，两次抽奖结果互不影响.记小明中奖的次数为.求的分布列及；
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线的斜率和茷距的最小二乘估计分别为，.
19.（12分）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，.
（第19题图）
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）已知数列是公差为（）的等差数列，是的前项和，.
（1）若，且，求公差的取值范围；
（2）若，数列的首项为，满足，求数列的前项和.
21.（12分）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于，两点.
（1）求的面积；
（2）点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值.
22.（12分）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
注：为自然对数的底数.
浙江省高中联盟2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C B A A C A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB BCD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.54 14.或（写出一个即可） 15. 16.759
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）∵，∴
∴
∴
∴，∴.
∵，∴；
（2）∵
∴，∴或（舍去）
∵，
∴
∴.
18.（1）由已知可得，
，
.
所以，
所以，所以.
当时，（万元），
所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；
（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.
，，
所以的分布列为
0 1 2
∴.
19.（1）证明：∵平面，过的平面交平面于，
∴，又∵，∴四边形为菱形
∴，∵平面，平面，∴平面.
又∵四边形为菱形，∴同理平面
∵，∴平面平面
又平面，∴平面；
（2）设与平面所成角为
连接交于点，连接，
∵，∴
又∵平面平面，且交线为
∴平面
∵，∴
∴
∴.
法一：常规法：作于，连接，作于，∴平面，
∵，∴，∴
∵到平面的距离是到平面距离的两倍，∵
∵，∴，∴.
法二：建系：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系
∴，，，，
∴，，，
令平面的法向量为，则
，，∴
∴
20.（1）由题意得，
即，得
化简得，∵，解得
∴公差的取值范围为；
（2）由题意得，
∵为等差数列，满足，即
又∵，∴，
化简得
∴是以2为首项，公比为2的等比数列
∴，即，∴.
21.（1）∵，∴，∴
设，，则过点的切线方程为：
∴交轴于点，联立直线与圆的方程
消得，∴
∴；
（2）设，，，则
过点，的双曲线的切线方程分别为，
又两切线均过点，则，
因此，直线的方程为
联立直线与双曲线的方程，
消可得，故
所以
因为，则，则
所以.
22.（1）∵，∴
当时，∴，∴的递增区间是；
当时，∴的递增区间是，递减区间是；
（2）∵
∴，∴，
设，
∴
当，，在上单调递增，
∴，，不符合题意
当，则存在唯一的，使得.
当，使得，当，使得.
当，单调递减，当，单调递增
∴
∴，这与矛盾.
当，，在上单调递减，
∴
∴，
综上，（注：第2问若猜出答案，无具体过程，只给1分）