新疆维吾尔自治区塔城地区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 新疆维吾尔自治区塔城地区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 844.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 12:56:18 | ||
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文档简介
塔城地区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A． B．4 C． D．3
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．，1 B．，3 C．，3 D．，1
3．已知直线（）过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：（）的左 右焦点分别为，，点A，B在C上，四边形是等腰梯形，，，则C的离心率的e取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知直线：，：，且，则（ ）
A． B．
C．与直线垂直 D．与与间的距离为
10．已知，分别是双曲线C：的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为
11．已知圆：，圆：，则下列说法不正确的是（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．圆与圆有两条公切线
C．是圆与圆的一条公切线
D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
12．已知椭圆M：（）的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点P，使得 B．若，则
C．满足为等腰三角形的点P只有2个 D．的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知倾斜角为45°的直线经过点，，则m的值为 ．
14．过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ．
15．在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角的余弦弦值为 ．
16．已知直线l过抛物线C：的焦点，与C相交于A，B两点，且．若线段AB的中点的横坐标为3，则 ；直线l的斜率为 ．
四、解答题
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求AB边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的一般方程．
18．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，，，，．
（1）证明：EFP平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
19．
（1）求焦点在x轴上，离心率为，短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
20．已知抛物线C：过点，焦点为F．
（1）求过点P的抛物线C的切线方程；
（2）从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程．
21．在直三棱柱中，AB⊥AC，，，点D是线段BC的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点P满足．记P的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）直线交M于A，B两点，C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
塔城地区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
答案
一、单选题
1．【答案】A
【详解】直线l的斜率为．故选：A．
2．【答案】B
【详解】将圆化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径为3．
3．【答案】C
【详解】直线（）过定点M，
由，解得，则定点为．
设点关于直线的对称点为，则，解得，则关于直线的对称点的坐标为．
4．【答案】C
【详解】抛物线的焦点F的坐标为，则．
5．【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率．
【详解】根据题意：，，解得，，故离心率．
6．【答案】A
【详解】由，设双曲线的方程为（），∴，∴，∴．
7．【答案】D
【详解】设是该平面内的任意一点，则
过点且法向量为的平面的方程为，整理得
．
8．【答案】B
【详解】令椭圆C的半焦距为c，依题意，，如图，
由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，，
在中，，显然，解得，所以C的离心率的e取值范围是．
二、多选题
9．【答案】ACD
【详解】当时，则，解得或．
若，则：，：，，重合，故不符合题意；
若，则：，：，，所以与间的距离为．
由，得与直线垂直．
10．【答案】BCD
【详解】由题意，，，且，所以，解得，故A错误；因为，由双曲线定义知，故B正确；因为，，所以，故离心率，故C正确；双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确．
11．【答案】ABD
【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径．因为，所以圆与圆外切，对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2．
12．【答案】BD
解：由椭圆M：（）的左右焦点分别为、，则，将代入，则，解得，则，，由，则，即，将其代入，可得，化简可得，由，解得，所以M：．
对于A，当点P为椭圆的上顶点时，最大，如下图：
由椭圆M：，则，，在中，，易知此时，所以的取值范围为，故A错误；
对于B，根据题意可作图如下：设，，则，，在中，根据余弦定理，，所以，整理可得，，故B正确；
对于C，设，，则，，当时，为等腰三角形，易知此时P的坐标为或，当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去y化简可得，由，则方程有解，故C错误；
对于D，设，，则，则，在中，根据余弦定理可得：，
则，化简得，
由选项A可，则，，所以，得，故D正确．
三、填空题
13．【答案】4
14．【答案】
15．解：设异面直线与所成角为，所以．
16．【答案】4
【详解】抛物线C：的焦点，，令，，由，
可得
又，则，则，此时抛物线C：，其焦点，由题意可得直线l的斜率存在，则其方程可设为，
由，整理得
则，则，
即，即，解之得
四、解答题
17．【答案】（1）
【详解】（1）∵，，
∴线段AB的中点坐标为，又∵，
∴AB边中线所在直线的方程为，即；
【详解】（2）设△ABC的外接圆为，
代入，解得，；；
18．【答案】（1）证明见解析 （2）．
【详解】
（1）由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则，，，，所以，．
∵PB⊥底面ABCD，底面ABCD，
∴PB⊥BC又
∵BC⊥BA，，且PB，平面ABP，
∴BC⊥平面ABP，所以是平面ABP的一个法向量．
因为，
所以．又平面ABP，所以EFP平面ABP．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面ADF的法向量为，则由，解得，令，得平面ADF的一个法向量为．
设直线PC与平面ADF所成的角为，则．
故：直线PC与平面ADF所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）由题设所求椭圆标准方程为（），由题，即，
又，，解得，所以，所求椭圆的标准方程为．
（2）法1：
（1）当焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为（a，），
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
由①②解得，，，此时，所求双曲线方程为．
（2）当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为（a，），
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
不存在同时满足①②的a，b．
综上所述，所求双曲线的标准方程为．
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为（），
又双曲线经过点，则有，
∴所求双曲线的标准方程为．
20．【答案】（1） （2）
【详解】（1）由抛物线C：过点得，
解得，所以，所求抛物线C的方程为．
由题可设切线方程为，联立，
消去x并整理得：，
令，解得，所以，所求切线方程为．
（2）由题点F发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于点P处的切线l对称，
设点F关于点P处的切线l的对称点为，
则由FQ的中点在l上及FQ⊥l得：，解得，即，
所以，所求反射光线所在的直线方程为．
21．【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】
（1）直三棱柱中，平面ABC，又AB⊥AC，所以AC，AB，两两互相垂直，以A为原点，以AC，AB，为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
则，，，，
∴，，
∴，即．
（2）由点D是线段BC的中点，可得，
则，，设平面的法向量，
则，令，则，，所以，
又平面的一个法向量可取，
所以．
所以平面和平面夹角的余弦值为．
22．【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）因为，由椭圆定义，轨迹C是以点，为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为（），则，
∴
又∵，则，
∴椭圆C的方程为；
（2）由，解得或，
因此．
设直线CD的方程为，，．
由得．，
故．
又AB，CD的交点在A，B之间，故．
因为直线CD的斜率为1，
所以．
又四边形ACBD的面积，
当时，S取得最大值，最大值为，
所以四边形ACBD面积的最大值为．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A． B．4 C． D．3
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．，1 B．，3 C．，3 D．，1
3．已知直线（）过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：（）的左 右焦点分别为，，点A，B在C上，四边形是等腰梯形，，，则C的离心率的e取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知直线：，：，且，则（ ）
A． B．
C．与直线垂直 D．与与间的距离为
10．已知，分别是双曲线C：的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为
11．已知圆：，圆：，则下列说法不正确的是（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．圆与圆有两条公切线
C．是圆与圆的一条公切线
D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
12．已知椭圆M：（）的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点P，使得 B．若，则
C．满足为等腰三角形的点P只有2个 D．的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知倾斜角为45°的直线经过点，，则m的值为 ．
14．过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ．
15．在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角的余弦弦值为 ．
16．已知直线l过抛物线C：的焦点，与C相交于A，B两点，且．若线段AB的中点的横坐标为3，则 ；直线l的斜率为 ．
四、解答题
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求AB边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的一般方程．
18．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，，，，．
（1）证明：EFP平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
19．
（1）求焦点在x轴上，离心率为，短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
20．已知抛物线C：过点，焦点为F．
（1）求过点P的抛物线C的切线方程；
（2）从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程．
21．在直三棱柱中，AB⊥AC，，，点D是线段BC的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点P满足．记P的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）直线交M于A，B两点，C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
塔城地区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
答案
一、单选题
1．【答案】A
【详解】直线l的斜率为．故选：A．
2．【答案】B
【详解】将圆化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径为3．
3．【答案】C
【详解】直线（）过定点M，
由，解得，则定点为．
设点关于直线的对称点为，则，解得，则关于直线的对称点的坐标为．
4．【答案】C
【详解】抛物线的焦点F的坐标为，则．
5．【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率．
【详解】根据题意：，，解得，，故离心率．
6．【答案】A
【详解】由，设双曲线的方程为（），∴，∴，∴．
7．【答案】D
【详解】设是该平面内的任意一点，则
过点且法向量为的平面的方程为，整理得
．
8．【答案】B
【详解】令椭圆C的半焦距为c，依题意，，如图，
由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，，
在中，，显然，解得，所以C的离心率的e取值范围是．
二、多选题
9．【答案】ACD
【详解】当时，则，解得或．
若，则：，：，，重合，故不符合题意；
若，则：，：，，所以与间的距离为．
由，得与直线垂直．
10．【答案】BCD
【详解】由题意，，，且，所以，解得，故A错误；因为，由双曲线定义知，故B正确；因为，，所以，故离心率，故C正确；双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确．
11．【答案】ABD
【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径．因为，所以圆与圆外切，对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2．
12．【答案】BD
解：由椭圆M：（）的左右焦点分别为、，则，将代入，则，解得，则，，由，则，即，将其代入，可得，化简可得，由，解得，所以M：．
对于A，当点P为椭圆的上顶点时，最大，如下图：
由椭圆M：，则，，在中，，易知此时，所以的取值范围为，故A错误；
对于B，根据题意可作图如下：设，，则，，在中，根据余弦定理，，所以，整理可得，，故B正确；
对于C，设，，则，，当时，为等腰三角形，易知此时P的坐标为或，当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去y化简可得，由，则方程有解，故C错误；
对于D，设，，则，则，在中，根据余弦定理可得：，
则，化简得，
由选项A可，则，，所以，得，故D正确．
三、填空题
13．【答案】4
14．【答案】
15．解：设异面直线与所成角为，所以．
16．【答案】4
【详解】抛物线C：的焦点，，令，，由，
可得
又，则，则，此时抛物线C：，其焦点，由题意可得直线l的斜率存在，则其方程可设为，
由，整理得
则，则，
即，即，解之得
四、解答题
17．【答案】（1）
【详解】（1）∵，，
∴线段AB的中点坐标为，又∵，
∴AB边中线所在直线的方程为，即；
【详解】（2）设△ABC的外接圆为，
代入，解得，；；
18．【答案】（1）证明见解析 （2）．
【详解】
（1）由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则，，，，所以，．
∵PB⊥底面ABCD，底面ABCD，
∴PB⊥BC又
∵BC⊥BA，，且PB，平面ABP，
∴BC⊥平面ABP，所以是平面ABP的一个法向量．
因为，
所以．又平面ABP，所以EFP平面ABP．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面ADF的法向量为，则由，解得，令，得平面ADF的一个法向量为．
设直线PC与平面ADF所成的角为，则．
故：直线PC与平面ADF所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）由题设所求椭圆标准方程为（），由题，即，
又，，解得，所以，所求椭圆的标准方程为．
（2）法1：
（1）当焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为（a，），
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
由①②解得，，，此时，所求双曲线方程为．
（2）当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为（a，），
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
不存在同时满足①②的a，b．
综上所述，所求双曲线的标准方程为．
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为（），
又双曲线经过点，则有，
∴所求双曲线的标准方程为．
20．【答案】（1） （2）
【详解】（1）由抛物线C：过点得，
解得，所以，所求抛物线C的方程为．
由题可设切线方程为，联立，
消去x并整理得：，
令，解得，所以，所求切线方程为．
（2）由题点F发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于点P处的切线l对称，
设点F关于点P处的切线l的对称点为，
则由FQ的中点在l上及FQ⊥l得：，解得，即，
所以，所求反射光线所在的直线方程为．
21．【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】
（1）直三棱柱中，平面ABC，又AB⊥AC，所以AC，AB，两两互相垂直，以A为原点，以AC，AB，为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
则，，，，
∴，，
∴，即．
（2）由点D是线段BC的中点，可得，
则，，设平面的法向量，
则，令，则，，所以，
又平面的一个法向量可取，
所以．
所以平面和平面夹角的余弦值为．
22．【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）因为，由椭圆定义，轨迹C是以点，为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为（），则，
∴
又∵，则，
∴椭圆C的方程为；
（2）由，解得或，
因此．
设直线CD的方程为，，．
由得．，
故．
又AB，CD的交点在A，B之间，故．
因为直线CD的斜率为1，
所以．
又四边形ACBD的面积，
当时，S取得最大值，最大值为，
所以四边形ACBD面积的最大值为．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
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