兴文县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则
A． B． C． D．
2．已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是
A．0 B．1 C．-1 D．
3．已知直线l经过点，且与直线的倾斜角互补，则直线l的方程为
A． B． C． D．
4．在四面体中，，且，则
A． B．
C． D．
5．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第75百分位数是
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
6．若过椭圆的上顶点与左顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为
A． B． C． D．
7．已知圆与圆，则两圆的位置关系是
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
8．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为
A．或 B．或 C．或 D．或
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的有
A．直线在y轴上的截距是2
B．直线经过第一、二、三象限
C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为
D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有
A． B．B，D为对立事件
C．A，C为互斥事件 D．A，D相互独立
11．已知椭圆的左 右两个焦点分别为为椭圆上一动点，则下列说法正确的是
A．的周长为6
B．的最大面积为
C．存在点使得
D．的最大值为7
12．如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ．
14．若方程表示圆，则的取值范围为 .
15．若方程所表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是 .
16．已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点
18．（12分）四川某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
男生人数 2 16 18 18 6 3
女生人数 3 20 9 2 2 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
19．（12分）在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)求直线的方程;
(3)求点的坐标.
20．（12分）在平面直角坐标系中，的顶点分别为.
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程.
21．（12分）如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.
22．（12分）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.兴文县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案：
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A
9．BC 10．ABC 11．BD 12．ABC
13． 14．或 15． 16．
17．解：（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，
又，所以，
所以，椭圆方程为.
（2）椭圆的焦点为，
设所求椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求椭圆方程为.
18．解：（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，
若将频率视为概率，该校3500名学生中“锻炼达人”的人数为
（人）；
（2）① 由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有12人，其中男生9人，女生3人.
从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，则男生抽取6人，女生抽取2人.
② 抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次编号为，
2名女生依次编号为，则8人中随机抽取2人的所有结果为,,，，，
，，，,,有28种结果，且每种结果发生的可能性相等.
记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件，则事件包含的结果有12个，
故.
19．解：（1）直线和直线的交点是，
即点的坐标为.
（2）因为直线为BC边上的高，由垂直关系得，
所以直线的方程为，即.
（3）因为角的平分线所在直线的方程为，，
所以，
设点的坐标为，则，，
解得，即点C的坐标为.
20．解：（1）设圆的方程为，
因为圆过三点，
所以有，解得，，
∴外接圆的方程为，
即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立，
得或，此时弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆心到该直线的距离为，
故，解得，
∴直线的方程为，即.
综上可得，直线的方程为或.
21．（1）证明：∵，，为中点，
∴，，
∴是平行四边形，，
又∵，，
∴面，∴面面.
∵，为中点，面，
∴面，∵面，∴平面平面.
（2）建立如图所示坐标系，
，，，，，，.
由（1）知面，
∴，.
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴由得.
设为面的法向量，则，.
由得，，
∵面，，设二面角为，为锐角，
则，∴.
22．解：（1）由已知可得椭圆的离心率，
，
∴，
∴椭圆方程为；
（2）如图， 由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率，
设直线的方程为，设，
联立得：，
，∴，
则，
又，，，，
∴，
，为定值.
