宁波市北仑区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D 7.C 8.B
9.ACD 10.ACD 11ACD 12.AD
6．以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，，
，，
所以，A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，B正确；
，
所以，
所以，C正确；
，
当时，，
此时为钝角，故D错误.
故选：D
7．由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
8.
首先,取AB中点P,连接P，易知它为两个垂直平面的交线，结合已知O为垂足，可知，O的轨迹是以PN为直径的圆（一部分）上运动，当如图M与上端点重合时候，弧长PO即所求.经简单计算得弧长为π.
9．ACD
设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
10．ACD
解：当时，曲线的方程为：，表示直线，故A正确；
由，得，
令，得，所以曲线经过定点，故C正确；
当时，曲线的方程为：，即，
此时曲线表示圆，且圆心为，半径，
因为到直线的距离，
所以直线与曲线不相切，故B错误；
到直线的距离，
所以直线与曲线相交，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
由题设，四边形为等腰梯形，且，
由，
所以，
又，结合题图知：，即，
所以，则，即，
由题设面，面，则，
，面，故面，面，
所以，A对；
由两两垂直，可构建如下图示的空间直角坐标系，
若，则，
所以，则，
所以不可能为，B错；
由，则，故，
令，则，
所以，C对；
时，显然，即，D对.
故选：ACD
12.
13．
由直线与平行，
则，即，
故直线，化为，
又，
故与之间的距离为，
故答案为：
14．
解：的圆心，半径，
四边形面积，
要使最小，则需最小，
当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，
联立，解得，
则以为直径的圆的方程为，
则两圆方程相减可得直线的方程为．
故答案为：．
15．0.236
设为独孤队第局取胜，
由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，，
所以独孤队取胜的概率
．
故答案为：
16.
17．（1）,；（2）.
解：（1）；
.
（2）件仿制的工艺品中，重量范围在的工艺品有件，
重量范围在的工艺品有件，
所以从重量范围在的工艺品中随机抽选件方法数（种），
所以所求概率.
18．（1）；（2）.
（1）∵直线与直线平行，
∴直线斜率为， 其方程为，
即直线的方程为；
（2）由，消去得，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，满足，
∴.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，
因为，所以且，
由正方形，，得且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）
若，则可设，所以．
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向是为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)
(2)证明见解析
（1）解：
如上图，由题意，∵，，
∴即为点与点的距离，
即为点与点的距离，
∴由可得，
∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
且长轴长为，，则，
∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为.
（2）解：
如上图，由题意，直线是曲线：的切线，
∴由可得：，
则，化简得：.
由题意，直线交椭圆：于、两点，
∴由可得：，
设、，则，，
∴，
又∵，∴.
且由知，
∴.
又∵中边上的高即为点到直线的距离，
∴由点到直线距离公式得，又∵，
∴，
即的面积为定值.
21．(1)；
(2)是，.
（1）在图2中，取中点，中点，连接，，
因为即，所以,
所以,又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
由题意可知,
以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，
所以，，，，
所以，，
因为直线与垂直，
所以，
即，解得：（舍）或，
所以，，
所以图1中点在靠近点的三等分点处，
所以，
所以；
（2）设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，，，
设平面的法向量，
则，即，取，得，,
得，所以，
所以，
所以无论点的位置如何，平面与平面的夹角余弦值都为定值．
22.
答案第16页，共17页宁波市北仑区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（ ）
A．(－a，－b) B．(－b，－a)
C．(－a－1，－b－1) D．(－b－1，－a－1)
3．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（ ）
A．B． C．D．
4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
5．若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．是锐角
7．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形， , 为棱的中点，为棱上的动点，过作平面的垂线段，垂足为点，当点从点运动到点时，点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A． B．与互斥 C．与相互独立 D．与互为对立
10．已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可能是直线 B．当时，直线与曲线相切
C．曲线经过定点 D．当时，直线与曲线相交
11．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（ ）
A． B．可能为
C．的最大值为 D．当时，
12．已知是椭圆上两个不同点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.的最大值为
B.的最小值为
C.的最大值为
D.的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线与平行，则与之间的距离为
14．已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为 .
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
16.已知正方体的棱长为1,，为底面的中心，分别为棱和的中点，则四面体的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）．某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的件工艺品测得重量（单位：）数据如下表：
分组 合计
频数 4 26 28 10 2 100
频率
（1）求出频率分布表中实数，的值；
（2）若从仿制的件工艺品重量范围在的工艺品中随机抽选件，求被抽选件工艺品重量均在范围中的概率.
18（12分）．已知直线过点，并且与直线平行．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，为原点，且，求实数的值．
19（12分）．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，．
(1)证明： 平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20（12分）．设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.
21（12分）．如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．
(1)若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；
(2)当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；
22（12分）.椭圆：的上顶点为，圆在椭圆内（1）求的取值范围；
（2）过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另外一个交点为，切线与椭圆的另外一个交点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的最大值，并求出此时圆的半径.
