第1章 直角三角形的边角关系单元测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第1章 直角三角形的边角关系单元测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 832.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 18:12:16 | ||
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文档简介
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2023-2024学年北师大版九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试题
一、选择题（共10题，共30分）
1．在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．无法确定
4．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点是轴正半轴上的一点，且满足，现有以下4个结论：①的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于；④.其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．西周时期，丞相周公且设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即的长约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高(单位：米)为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共8题，共24分）
11．计算cos60°+ sin30°=
12．在中，若，满足，则的度数是 ．
13．已知sinα=0.2，cosβ=0.8，则α+β= （精确到1′）．
14．如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为 ．
15．如图，在中，.将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则 ．
16．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
17．如图所示，拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长 .
18．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
三、解答题（共8题，共66分）
19．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
20．（6分）如图，在中，，，求的大小和的长．
21．（7分）如图，四边形为菱形，，，点C，D在坐标轴上．
（1）点C的坐标为 ；点D的坐标为 ； ．
（2）求，的长．
22．（7分）某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯的高度如图，已知观测点，与路灯底端位于同一直线的水平线上，在点处测得路灯顶端的仰角为，在点处测得路灯顶端的仰角为，两个观测点，相距，求路灯的高度结果精确到．
参考数据：，
23．（8分）如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
24．（10分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为：参考数据：，，．
（1）求小明从点走到点的过程中，他上升的高度；
（2）大树的高度约为多少米？
25．（10分）我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机的正东方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上，其中，米
（1）求无人机的飞行高度结果保留根号
（2）求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
26．（12分）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操，王老师周末到公园爬山，山的形状如图，爬山路线示意图如图，王老师从山脚出发，沿走米到点，再沿到山顶点，已知山高为米，，，交的延长线于点，，图中所有点均在同一平面内
（1）求的长；
（2）求王老师从山脚点到达山顶点共走了多少米？结果精确到米参考数据：，，
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：地毯的长度为AB+AC长
∵BC=2，∠BAC=30°
则
∴
故答案为：D
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数定义可求出AB长，再根据地毯的长度为AB+AC的长即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sin30°= ，
∴∠A＝30°．
故答案为：C.
【分析】由特殊角的三角函数值计算即可解答．
4．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：科学计算器计算，按键顺序是，
故答案为：D．
【分析】 根据科学计算器的使用方法知：按键顺序是.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵△ABC的外接圆的圆心一定在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB=45°，
∴由圆周角定理得弧AB所对的圆心角一定为90°，
∵∠AEB=90°，
∴点E必为圆心，即AE、BE为半径，
∵A（4，0），B（-6，0），
∴AB=10，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴AE=，故③正确；
∵AB=10，DE⊥AB，
∴AD=BD=5，
又∵OB=6，
∴OD=1，
∵∠EDO=∠DOF=∠OFE=90°，
∴四边形EDOF是矩形，
∴EF=OD=1，ED=OF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=7，
∴OF=12，故④正确；
∵，
∴∠ABC≠60°，故②错误.
故答案为：C.
【分析】作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，由垂径定理可得圆心一定在弦的垂直平分线上可判断①；再根据圆周角定理证出点E为△ABNC外接圆的圆心，利用勾股定理求出半径可判断③；判断出四边形EDOF是矩形，得EF=OD=1，ED=OF=5，再在Rt△ECF中利用勾股定理算出CF，可求出OC的长及∠ABC的正切值，从而即可判断②④.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，
故答案为：D.
【分析】利用正切的定义可得，再求出即可.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G；
∵AF⊥BE于点F，BG⊥CD于点G，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
在Rt△ABF中，，∴，
在Rt△BCG中，，
∴，
∴点A到桌面的最大高度为AF+BG= .
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G；在Rt△ABF中，利用∠ABF的正弦函数可表示出AF，在Rt△BCG中，利用∠BCG的正弦函数可表示出BG，最后根据点A到桌面的最大高度为：AF+BG，可算出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴，
又∵BC=20米，∠C=37°，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，由∠C的正切函数可直接求出AB的长.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可知，∠BAD=30°，∠CAD=60°，
在Rt△ABD中，
，
在Rt△ACD中
，
∴.
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用解直角三角形分别求出BD，CD的长，然后根据BC=CD+BD，代入计算求出BC的长.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
11．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
12．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：75°.
【分析】根据题意先求出，，再利用特殊角的锐角三角函数值求出∠A=60°，∠B=45°，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
13．【答案】48°24′
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：48°24′．
【分析】根据已知一个角的三角函数值求这个角的算法：先按MODE，选择模式．再键入数字，最后按2ndF和sin或cos，得到这三个角的度数．
14．【答案】6m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵河坝横断面迎水坡的坡度为，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
故答案为：6.
【分析】先利用坡度比可得，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥AC于点D，如图，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴∠BAB'=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BC∥AB'，
∴∠B'AD=∠ACB，
在Rt△ABC中，，
，
，
在Rt△AB'D中，
，，
设AD=m，B'D=2m，
∴，
∴，
解得：m=2，
∴AD=2，B'D=4，
∴CD=AC-AD=5-2=3，
在Rt△B'CD中，
B'D=4，CD=3，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】过点B'作B'D⊥AC于点D，由旋转得∠BAB'=90°，因此BC∥AB'，得∠B'AD=∠ACB，在Rt△ABC中得AC长和，在Rt△AB'D中，得AD、B'D长，在Rt△B'CD中，求得CD、B'C的长，即可求解.
16．【答案】60
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
【分析】根据已知和三角函数的定义，得到BC=BD+CD的值，求出AD的值.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OC、OD，过点O作OG⊥CD于点G，
∵∠COD=，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
又∵OG⊥CD，
∴∠COG=∠COD=30°，CD=2CG=a，OG=b=10mm，
∴CG=tan∠COG×OG=tan30°×10=mm，
∴a=CD=2CG=mm.
故答案为：.
【分析】设该六边形的中心为O，连接OC、OD，过点O作OG⊥CD于点G，由正多边形的中心角求法可得∠COD=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△COD是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得∠COG=∠COD=30°，CD=2CG=a，根据正多边形的对称性得OG=b=10mm，从而由∠COG的正切函数可求出CG，此题得解.
18．【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
19．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后利用特殊角三角函数值求出x值，然后代入计算即可.
20．【答案】解：
；
，
；
答：，．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B，再运用三角函数求出AC，也可根据含有30度角的直角三角形的性质求出AC。
21．【答案】（1）；；60
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴OA=，OB=1，
∵四边形为菱形，
∴OC=OA=，OB=OD=1，∠BAD=2∠BAO，∠AOB=90°，
∴点C的坐标为（-，0），点D的坐标为（0，-1），
∵tan∠BAO=，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAD=2∠BAO=60°，
故答案为：，，60.
【分析】（1）利用菱形的性质求出OC=OA=，OB=OD=1，∠BAD=2∠BAO，∠AOB=90°，可得点C、D的坐标，再利用解直角三角形的性质求出∠BAO=30°，可得∠BAD=2∠BAO=60°；
（2）利用勾股定理求出AB的长，再结合点A、C的坐标求出AC的长即可.
22．【答案】解：由题意得：，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设米，先求出，再利用解直角三角形的方法可得，，可得，再求出x的值即可.
23．【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，DE=12，tan47°≈1.07，则可求出CE=12.8，再根据BE=1.5，BC=CE+BE即可求解。
24．【答案】（1）解：作于，如图．
在中，，
，
，
，
．
故他上升的高度为米；
（2）解：如图，延长交于点，设，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
，
，
解得．
答：大树的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理即可求出答案.
（2）在直角三角形中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
25．【答案】（1）解：由题意得：
，
，
在中，米，
米，
无人机的飞行高度为米；
（2）解：过点作，垂足为，
则米，，
在中，，
米，
米，
米，
米，
河流的宽度约为米．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，可得，在中，解直角三角形即可求出答案。
（2）过点作，垂足为， 可得米，，在中，解直角三角形即可求出答案。
26．【答案】（1）解：在中，米，，
米，
的长为米；
（2）解：由题意得：米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
王老师从山脚点到达山顶点共走了约米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）由题意得：米，在中，，根据正弦的定义求得BC，即可求解．
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2023-2024学年北师大版九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试题
一、选择题（共10题，共30分）
1．在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．无法确定
4．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点是轴正半轴上的一点，且满足，现有以下4个结论：①的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于；④.其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．西周时期，丞相周公且设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即的长约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高(单位：米)为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共8题，共24分）
11．计算cos60°+ sin30°=
12．在中，若，满足，则的度数是 ．
13．已知sinα=0.2，cosβ=0.8，则α+β= （精确到1′）．
14．如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为 ．
15．如图，在中，.将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则 ．
16．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
17．如图所示，拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长 .
18．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
三、解答题（共8题，共66分）
19．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
20．（6分）如图，在中，，，求的大小和的长．
21．（7分）如图，四边形为菱形，，，点C，D在坐标轴上．
（1）点C的坐标为 ；点D的坐标为 ； ．
（2）求，的长．
22．（7分）某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯的高度如图，已知观测点，与路灯底端位于同一直线的水平线上，在点处测得路灯顶端的仰角为，在点处测得路灯顶端的仰角为，两个观测点，相距，求路灯的高度结果精确到．
参考数据：，
23．（8分）如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
24．（10分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为：参考数据：，，．
（1）求小明从点走到点的过程中，他上升的高度；
（2）大树的高度约为多少米？
25．（10分）我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机的正东方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上，其中，米
（1）求无人机的飞行高度结果保留根号
（2）求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
26．（12分）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操，王老师周末到公园爬山，山的形状如图，爬山路线示意图如图，王老师从山脚出发，沿走米到点，再沿到山顶点，已知山高为米，，，交的延长线于点，，图中所有点均在同一平面内
（1）求的长；
（2）求王老师从山脚点到达山顶点共走了多少米？结果精确到米参考数据：，，
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：地毯的长度为AB+AC长
∵BC=2，∠BAC=30°
则
∴
故答案为：D
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数定义可求出AB长，再根据地毯的长度为AB+AC的长即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sin30°= ，
∴∠A＝30°．
故答案为：C.
【分析】由特殊角的三角函数值计算即可解答．
4．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：科学计算器计算，按键顺序是，
故答案为：D．
【分析】 根据科学计算器的使用方法知：按键顺序是.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵△ABC的外接圆的圆心一定在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB=45°，
∴由圆周角定理得弧AB所对的圆心角一定为90°，
∵∠AEB=90°，
∴点E必为圆心，即AE、BE为半径，
∵A（4，0），B（-6，0），
∴AB=10，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴AE=，故③正确；
∵AB=10，DE⊥AB，
∴AD=BD=5，
又∵OB=6，
∴OD=1，
∵∠EDO=∠DOF=∠OFE=90°，
∴四边形EDOF是矩形，
∴EF=OD=1，ED=OF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=7，
∴OF=12，故④正确；
∵，
∴∠ABC≠60°，故②错误.
故答案为：C.
【分析】作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，由垂径定理可得圆心一定在弦的垂直平分线上可判断①；再根据圆周角定理证出点E为△ABNC外接圆的圆心，利用勾股定理求出半径可判断③；判断出四边形EDOF是矩形，得EF=OD=1，ED=OF=5，再在Rt△ECF中利用勾股定理算出CF，可求出OC的长及∠ABC的正切值，从而即可判断②④.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，
故答案为：D.
【分析】利用正切的定义可得，再求出即可.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G；
∵AF⊥BE于点F，BG⊥CD于点G，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
在Rt△ABF中，，∴，
在Rt△BCG中，，
∴，
∴点A到桌面的最大高度为AF+BG= .
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G；在Rt△ABF中，利用∠ABF的正弦函数可表示出AF，在Rt△BCG中，利用∠BCG的正弦函数可表示出BG，最后根据点A到桌面的最大高度为：AF+BG，可算出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴，
又∵BC=20米，∠C=37°，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，由∠C的正切函数可直接求出AB的长.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可知，∠BAD=30°，∠CAD=60°，
在Rt△ABD中，
，
在Rt△ACD中
，
∴.
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用解直角三角形分别求出BD，CD的长，然后根据BC=CD+BD，代入计算求出BC的长.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
11．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
12．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：75°.
【分析】根据题意先求出，，再利用特殊角的锐角三角函数值求出∠A=60°，∠B=45°，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
13．【答案】48°24′
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：48°24′．
【分析】根据已知一个角的三角函数值求这个角的算法：先按MODE，选择模式．再键入数字，最后按2ndF和sin或cos，得到这三个角的度数．
14．【答案】6m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵河坝横断面迎水坡的坡度为，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
故答案为：6.
【分析】先利用坡度比可得，再求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥AC于点D，如图，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴∠BAB'=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BC∥AB'，
∴∠B'AD=∠ACB，
在Rt△ABC中，，
，
，
在Rt△AB'D中，
，，
设AD=m，B'D=2m，
∴，
∴，
解得：m=2，
∴AD=2，B'D=4，
∴CD=AC-AD=5-2=3，
在Rt△B'CD中，
B'D=4，CD=3，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】过点B'作B'D⊥AC于点D，由旋转得∠BAB'=90°，因此BC∥AB'，得∠B'AD=∠ACB，在Rt△ABC中得AC长和，在Rt△AB'D中，得AD、B'D长，在Rt△B'CD中，求得CD、B'C的长，即可求解.
16．【答案】60
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
【分析】根据已知和三角函数的定义，得到BC=BD+CD的值，求出AD的值.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OC、OD，过点O作OG⊥CD于点G，
∵∠COD=，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
又∵OG⊥CD，
∴∠COG=∠COD=30°，CD=2CG=a，OG=b=10mm，
∴CG=tan∠COG×OG=tan30°×10=mm，
∴a=CD=2CG=mm.
故答案为：.
【分析】设该六边形的中心为O，连接OC、OD，过点O作OG⊥CD于点G，由正多边形的中心角求法可得∠COD=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△COD是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得∠COG=∠COD=30°，CD=2CG=a，根据正多边形的对称性得OG=b=10mm，从而由∠COG的正切函数可求出CG，此题得解.
18．【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
19．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后利用特殊角三角函数值求出x值，然后代入计算即可.
20．【答案】解：
；
，
；
答：，．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B，再运用三角函数求出AC，也可根据含有30度角的直角三角形的性质求出AC。
21．【答案】（1）；；60
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴OA=，OB=1，
∵四边形为菱形，
∴OC=OA=，OB=OD=1，∠BAD=2∠BAO，∠AOB=90°，
∴点C的坐标为（-，0），点D的坐标为（0，-1），
∵tan∠BAO=，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAD=2∠BAO=60°，
故答案为：，，60.
【分析】（1）利用菱形的性质求出OC=OA=，OB=OD=1，∠BAD=2∠BAO，∠AOB=90°，可得点C、D的坐标，再利用解直角三角形的性质求出∠BAO=30°，可得∠BAD=2∠BAO=60°；
（2）利用勾股定理求出AB的长，再结合点A、C的坐标求出AC的长即可.
22．【答案】解：由题意得：，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设米，先求出，再利用解直角三角形的方法可得，，可得，再求出x的值即可.
23．【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，DE=12，tan47°≈1.07，则可求出CE=12.8，再根据BE=1.5，BC=CE+BE即可求解。
24．【答案】（1）解：作于，如图．
在中，，
，
，
，
．
故他上升的高度为米；
（2）解：如图，延长交于点，设，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
，
，
解得．
答：大树的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理即可求出答案.
（2）在直角三角形中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
25．【答案】（1）解：由题意得：
，
，
在中，米，
米，
无人机的飞行高度为米；
（2）解：过点作，垂足为，
则米，，
在中，，
米，
米，
米，
米，
河流的宽度约为米．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，可得，在中，解直角三角形即可求出答案。
（2）过点作，垂足为， 可得米，，在中，解直角三角形即可求出答案。
26．【答案】（1）解：在中，米，，
米，
的长为米；
（2）解：由题意得：米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
王老师从山脚点到达山顶点共走了约米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）由题意得：米，在中，，根据正弦的定义求得BC，即可求解．
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