1.1.1 第2课时 集合的表示方法 课件（共52张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.1.1 第2课时 集合的表示方法 课件（共52张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 704.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 15:32:40 | ||
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文档简介
(共52张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示方法
基础知识
列举法
把集合中的元素一一列举出来 (相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。
思考1：用列举法可以表示无限集吗？
提示：可以。但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．
例如，由两个元素 0，1 组成的集合可用列举法表示为
{0，1};
又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24 组成的集合可用列举法表示为
{ 1，2，3，4，6，8，12，24 };
再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为
{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.
用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如，{1，2}与{2，1} 表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于 100 的自然数组成的集合，可表示为
{0，1，2，3，...，100}，
无限集有时也可用列举法表示。例如，自然数集 N可表示为
{0，1，2，3，...，n，…}，
值得注意的是，只含一个元素的集合{a}也是一个集合，要将这个集合与它的元素 a 加以区别，事实上，
a∈{a}
描述法
尝试与发现
以下集合用列举法表示方便吗 如果不方便，你觉得可以怎样表示
满足x>3的所有数组成的集合 A;
(2)所有有理数组成的集合Q.
显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合 A 中的元素x都具有性质“x 是大于 3 的数”，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质所以可以把集合 A 表示为
{x |x 是大于3的数} 或{x| x >3},
即A= {x | x是大于3的数)或A= { x | x>3 }.
类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为
Q＝{x |x是两个整数的商}
或 Q={x |x =，m∈Z， n∈Z，n≠0}.
上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。
一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合 A 的一个特征性质。此时，集合 A 可以用它的特征性质p(x)表示为
{x | p(x)}
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。
例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为
{x| x 是一组对边平行且相等的四边形}
又如，所有能被 3 整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为
{x| x=3n，n∈Z}
类似地，所有被 3 除余 1 的自然数组成的集合可以表示为
{x| x=3n+1，n∈N}
不过这一集合通常也表示为
{x∈N | x=3n+1，n∈Z}
这就是说，集合{x| p(x)} 中所有在另一个集合 I 中的元素组成的集合，可以表示为
{x∈I | p(x)}
典例精析
用适当的方法表示下列集合：
方程x(x－1)=0的所有解组成的集合A；
平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.
(1)因为0和1是方程x(x－1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以
A={0，1}.
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此
B={(x，y) | x>0，y>0)}.
思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？
提示：
列举法 描述法
一般形式 {a1，a2，a3，…，an} {x∈I | p(x)}
适用范围 有限集或规律性较强的无限集 有限集、无限集均可
特点 直观、明了 抽象、概括
习惯上，如果a集合{x | a ＜ x ＜ b}可简写为(a，b)，并称为开区间；
集合{x | a ≤ x ＜ b}可简写为[a，b)，集合{x | a ＜ x ≤ b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间。
上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b－a 称为区间的长度，区间可以用数轴形象地表示。 例如，区间[-2，1) 可用下图表示，注意图中-2 处的点是实心点，而1处的点是空心点。
如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集 R可表示为区间 (－∞，+∞);
集合{x | x ≥a}可表示为区间[a，+∞);
集合{x | x＞a}可表示为区间____________；
集合{x | x≤a}可表示为区间____________；
集合{x | x＜a}可表示为区间____________；
(a，+∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示。例如，区间[7，+∞)可以用下图表示。
7
x
思考3：区间与数集有何关系？
提示：
(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；
(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；
(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算。
典例精析
用区间表示不等式2x－＞x的所有解组成的集合A.
解：由2x－＞x可知x＞，所以A=(，+∞).
基础自测
1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．
D
2．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}
解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．
C
3.能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为____________________.
4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．
其中，集合表示方法正确的是_____(填序号)．
5.(1){x|－1≤x≤2)}可用区间表示为___________；
(2){x|1(3){x|x>2}可用区间表示为____________；
(4){x|x≤－2}可用区间表示为______________.
{x|x＝2n，n∈N*}
③
[－1,2]
(1,3]
(2，＋∞)
(－∞，－2]
典例剖析
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数构成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－＋的图像的交点构成的集合．
思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；
(3)要写成点集形式。
解析：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}．
(3)方程y＝x－1与y＝－＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，
则方程组 所求集合可表示为{(，)}．
x－y=1
2x+3y=4
的解是
x =
y =
归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素。
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次。
(3)用花括号括起来。
2．在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。
(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示。又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合。
对点训练
1．用列举法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合。
(2)式子 (a≠0，b≠0)的所有值组成的集合。
解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)因为a≠0，b≠0，
所以a与b可能同号也可能异号，
所以①当a>0，b>0时，＝2；
②当a<0，b<0时，＝－2；
③当a>0，b<0或a<0，b>0时，＝0.
故所有的值组成的集合为{－2,0,2}．
用描述法表示集合
用描述法表示以下集合：
(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合；
(4)200以内的正奇数组成的集合；
(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合。
思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件。
解析：(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y) | x<0且y>0}．
(3)要使该式有意义，需有
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0}．
x≠0
2－x≥0，
归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式。
2．准确说明集合中元素所满足的特征。
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号。
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系。
对点训练
2．给出下列说法：
①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0}；
②所有奇数组成的集合为{x|x＝2n＋1}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
解析：①正确；②不正确，应为{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正确，{(x，y)|y＝1－x}表示的是点集，而{x|y＝1－x}表示的为数集．
集合与方程的综合问题
(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2 C．0 D．0或1
D
(2)设∈{x | x2－ax－＝0}，则集合{x}x2－x－a＝0}中所有元素之积为_____.
思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；
(2)先求出a的值，再求元素之积。
解析：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素．
(2)因为∈{x|x2－ax－＝0}．
所以()2－a－＝0，解得a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝(－)2－4×＝>0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以{x|x2－x＋＝0}＝{，9}，故集合{x|x2－x＋＝0}的所有元素的积为×9＝
归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根。
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。
对点训练
3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。
(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，
求a的取值范围。
解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，
∴
4－2a+b=0，
9－3a+b=0，
解得
a=5，
b=6，
因此a=5， b=6
(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素。由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]。
对集合中的代表元素认识不到位
用列举法表示下列集合：
(1)A＝{y | y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(3)C={方程组 的解}.
x＋y=3
x－y=－1
错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y，习惯认为是x，误认为A＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C＝{1,2}．
解析：(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以当x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以用列举法表示为A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有 满足条件，
所以用列举法表示为
B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
x=0,
y=6,
x=1,
y=5,
x=2,
y=2,
(3)方程组 的解是有序实数对，其解的集合可以表示为 ，用列举法表示为{(1,2)}．
x＋y=3,
x－ y=－1,
(x，y)|
x=1,
y=2,
误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么。
集合中的“新定义”问题
“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题。
由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解。
典例剖析
定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义。
D
解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，
∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可。
∵1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，
∴A*B＝{0,2,4}，
∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.
规律方法：(1)理解新定义。例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的。
(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B。
(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×” “÷”一样，用符号表示运算法则。
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示方法
基础知识
列举法
把集合中的元素一一列举出来 (相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。
思考1：用列举法可以表示无限集吗？
提示：可以。但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．
例如，由两个元素 0，1 组成的集合可用列举法表示为
{0，1};
又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24 组成的集合可用列举法表示为
{ 1，2，3，4，6，8，12，24 };
再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为
{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.
用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如，{1，2}与{2，1} 表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于 100 的自然数组成的集合，可表示为
{0，1，2，3，...，100}，
无限集有时也可用列举法表示。例如，自然数集 N可表示为
{0，1，2，3，...，n，…}，
值得注意的是，只含一个元素的集合{a}也是一个集合，要将这个集合与它的元素 a 加以区别，事实上，
a∈{a}
描述法
尝试与发现
以下集合用列举法表示方便吗 如果不方便，你觉得可以怎样表示
满足x>3的所有数组成的集合 A;
(2)所有有理数组成的集合Q.
显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合 A 中的元素x都具有性质“x 是大于 3 的数”，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质所以可以把集合 A 表示为
{x |x 是大于3的数} 或{x| x >3},
即A= {x | x是大于3的数)或A= { x | x>3 }.
类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为
Q＝{x |x是两个整数的商}
或 Q={x |x =，m∈Z， n∈Z，n≠0}.
上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。
一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合 A 的一个特征性质。此时，集合 A 可以用它的特征性质p(x)表示为
{x | p(x)}
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。
例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为
{x| x 是一组对边平行且相等的四边形}
又如，所有能被 3 整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为
{x| x=3n，n∈Z}
类似地，所有被 3 除余 1 的自然数组成的集合可以表示为
{x| x=3n+1，n∈N}
不过这一集合通常也表示为
{x∈N | x=3n+1，n∈Z}
这就是说，集合{x| p(x)} 中所有在另一个集合 I 中的元素组成的集合，可以表示为
{x∈I | p(x)}
典例精析
用适当的方法表示下列集合：
方程x(x－1)=0的所有解组成的集合A；
平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.
(1)因为0和1是方程x(x－1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以
A={0，1}.
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此
B={(x，y) | x>0，y>0)}.
思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？
提示：
列举法 描述法
一般形式 {a1，a2，a3，…，an} {x∈I | p(x)}
适用范围 有限集或规律性较强的无限集 有限集、无限集均可
特点 直观、明了 抽象、概括
习惯上，如果a
集合{x | a ≤ x ＜ b}可简写为[a，b)，集合{x | a ＜ x ≤ b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间。
上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b－a 称为区间的长度，区间可以用数轴形象地表示。 例如，区间[-2，1) 可用下图表示，注意图中-2 处的点是实心点，而1处的点是空心点。
如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集 R可表示为区间 (－∞，+∞);
集合{x | x ≥a}可表示为区间[a，+∞);
集合{x | x＞a}可表示为区间____________；
集合{x | x≤a}可表示为区间____________；
集合{x | x＜a}可表示为区间____________；
(a，+∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示。例如，区间[7，+∞)可以用下图表示。
7
x
思考3：区间与数集有何关系？
提示：
(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；
(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；
(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算。
典例精析
用区间表示不等式2x－＞x的所有解组成的集合A.
解：由2x－＞x可知x＞，所以A=(，+∞).
基础自测
1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．
D
2．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}
解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．
C
3.能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为____________________.
4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．
其中，集合表示方法正确的是_____(填序号)．
5.(1){x|－1≤x≤2)}可用区间表示为___________；
(2){x|1
(4){x|x≤－2}可用区间表示为______________.
{x|x＝2n，n∈N*}
③
[－1,2]
(1,3]
(2，＋∞)
(－∞，－2]
典例剖析
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数构成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－＋的图像的交点构成的集合．
思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；
(3)要写成点集形式。
解析：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}．
(3)方程y＝x－1与y＝－＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，
则方程组 所求集合可表示为{(，)}．
x－y=1
2x+3y=4
的解是
x =
y =
归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素。
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次。
(3)用花括号括起来。
2．在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。
(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示。又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合。
对点训练
1．用列举法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合。
(2)式子 (a≠0，b≠0)的所有值组成的集合。
解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)因为a≠0，b≠0，
所以a与b可能同号也可能异号，
所以①当a>0，b>0时，＝2；
②当a<0，b<0时，＝－2；
③当a>0，b<0或a<0，b>0时，＝0.
故所有的值组成的集合为{－2,0,2}．
用描述法表示集合
用描述法表示以下集合：
(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合；
(4)200以内的正奇数组成的集合；
(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合。
思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件。
解析：(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y) | x<0且y>0}．
(3)要使该式有意义，需有
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0}．
x≠0
2－x≥0，
归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式。
2．准确说明集合中元素所满足的特征。
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号。
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系。
对点训练
2．给出下列说法：
①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0}；
②所有奇数组成的集合为{x|x＝2n＋1}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
解析：①正确；②不正确，应为{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正确，{(x，y)|y＝1－x}表示的是点集，而{x|y＝1－x}表示的为数集．
集合与方程的综合问题
(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2 C．0 D．0或1
D
(2)设∈{x | x2－ax－＝0}，则集合{x}x2－x－a＝0}中所有元素之积为_____.
思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；
(2)先求出a的值，再求元素之积。
解析：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素．
(2)因为∈{x|x2－ax－＝0}．
所以()2－a－＝0，解得a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝(－)2－4×＝>0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以{x|x2－x＋＝0}＝{，9}，故集合{x|x2－x＋＝0}的所有元素的积为×9＝
归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根。
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。
对点训练
3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。
(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，
求a的取值范围。
解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，
∴
4－2a+b=0，
9－3a+b=0，
解得
a=5，
b=6，
因此a=5， b=6
(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素。由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]。
对集合中的代表元素认识不到位
用列举法表示下列集合：
(1)A＝{y | y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(3)C={方程组 的解}.
x＋y=3
x－y=－1
错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y，习惯认为是x，误认为A＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C＝{1,2}．
解析：(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以当x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以用列举法表示为A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有 满足条件，
所以用列举法表示为
B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
x=0,
y=6,
x=1,
y=5,
x=2,
y=2,
(3)方程组 的解是有序实数对，其解的集合可以表示为 ，用列举法表示为{(1,2)}．
x＋y=3,
x－ y=－1,
(x，y)|
x=1,
y=2,
误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么。
集合中的“新定义”问题
“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题。
由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解。
典例剖析
定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义。
D
解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，
∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可。
∵1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，
∴A*B＝{0,2,4}，
∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.
规律方法：(1)理解新定义。例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的。
(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B。
(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×” “÷”一样，用符号表示运算法则。
完成课后相关练习
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