1.1.2 集合的基本关系 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.2 集合的基本关系
基础知识
给定集合 A={1，3}，B= {1，3，5，6} ，容易看出，集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素。
一般地，如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记作
1. 子集
对应地，如果 A 不是 B 的子集，则记作 A B(或 B A)读作“A 不包含于B”(或“B 不包含A”).
A B(或B A)，
读作“A 包含于B”(或“B包含A”).
尝试与发现
根据子集的定义判断，如果 A={1，2，3} ，那么A A 吗
(2) 你认为可以规定空集 是任意一个集合的子集吗？为什么
不难看出，依据子集的定义，任意集合 A 都是它自身的子集，即A A.
因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合 A 的子集，即 A.
一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于A，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记作 A B (或B A)，读作“A 真包含于B”(或“B真包含A”)。
1. 真子集
例如，分析集合A={1，2)，B={1，2, 3，4}之间的关系，可知 A 是 B 的子集(即A B)，而3∈B且3 A，因此A是B的真子集，即A B.
B
A
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图，例如，A是B的真子集，可用右图表示。
根据子集、真子集的定义可知:
对于集合A，B，C，如果 A B，B C，则A C；
对于集合A，B，C，如果 A B，B C，则A C.
典例精析
例1.写出集合 A={6，7，8}的所有子集和真子集。
分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A 含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为 0，1，2，3。可依下列步骤来完成此题：
写出元素个数为0的子集，即 ；
(2) 写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8};
(3) 写出元素个数为 2 的子集，即______________________;
(4) 写出元素个数为 3 的子集，即______________________.
解：集合 A 的所有子集是
， {6}，{7}，{8} ，{6，7}，{6，8}，{7，8} {6，7，8}。
在上述子集中，除去集合 A 本身，即{6，7，8}，剩下的都是 A 的真子集。
{6，7}，{6，8}，{7，8}
{6，7，8}
例2.已知区间A=(－∞，2]和B=(－∞ ，a)，且B A，求实数a的取值范围。
解：因为集合 B 的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示。
从而可知a≤2.
3.集合的相等与子集的关系
情境与问题
已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={－1，－2}，这两个集合的元素有什么关系？S T吗？T S吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗
上述问题中，组成 S 的元素与组成T的元素完全相同，即 S=T；另外，由子集的定义可知
S T且T S.
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
如果 A B且B A，则A=B；
(2) 如果 A=B，则A B 且B A.
典例精析
例3.写出下列每对集合之间的关系：
(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5};
(2)C={x|x2=1}，D= {x | |x|=1} ；
(3) E=(－∞，3)，F=(－1，2];
(4)G={x| x是对角线相等且互相平分的四边形}，
H={x| x是有一个内角为直角的平行四边形).
分析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，
所以只要针对集合中的元素进行分析即可。
解：(1) 因为 B 的每个元素都属于A，而4∈A且4 B，所以
B A
(2) 不难看出，C和D 包含的元素都是1和－1，所以
C=D.
(3)在数轴上表示出区间 E 和 F，如图所示
由图可知
F E
(4) 如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此
G H.
反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此
H G.
综上可知，G=H.
由上可以看出，当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等。
基础自测
1．已知A＝{1,2}，则A的子集共____个．
解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有 ，{1}，{2}，{1,2}，共4个。
2．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中具有相等关系的是__________.
解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的为在函数y＝(x－1)(x＋2)图像上的点构成的集合，故M＝N.
4　
M和N　
3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝______.
解析：由题意知1－a＝2，∴a＝－1.
4．若A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系．
解析：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图所示．
－1　
集合间关系的判断
下列各个关系式中，正确的是(　　 )
D 　
A． ＝{0}　 B．∈Q
C．{3,5}≠{5,3}　 D．{1} {x|x2＝x}
归纳提升：1.判断集合间关系的常用方法
2．已知集合相等求参数的方法
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系。首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解。当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论。求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性。
对点训练
1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
B 　
2.设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a－b＝______.
－2　
确定集合的子集、真子集
集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．16　 B．8　　
C．7　 D．4
C 　
解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，
所以A的真子集的个数为23－1＝7.
归纳提升：求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合。
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出。
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身。
另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个。
对点训练
1.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为 (　　)
A．2　 B．4　　
C．6　 D．8
2.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集。
B 　
解析：1.根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
2.∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，
∴A的子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
混淆集合间的属于和包含关系
误区警示：判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但当以集合为元素组成集合时，集合间也可能为属于关系。解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么。
根据子集的关系，确定参数的值
对于两个集合A、B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法。
1．分类讨论是指：
(1)A B在未指明集合A非空时，应分A＝ 和A≠ 两种情况来讨论。
(2)因为集合中的元素是无序的，由A B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论。
2．数形结合是指对A≠ 这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数。
3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证。
验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值。
由集合相等求参数
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值。
思路探究：集合A与集合B中除公共元素a外，另外两个元素应分别对应相等。
完成课后相关练习
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